Algebra liniowa z geometrią analityczną

Opis

Zapoznanie z podstawowymi pojęciami algebry liniowej dla przestrzeni skończenie wymiarowych. Wprowadzenie do geometrii analitycznej \(R^n\)

Sylabus

Autorzy

  • Barbara Opozda — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
  • Małgorzata Downarowicz — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
  • Dominik Kwietniak — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki

Wymagania wstępne

  • Podstawy logiki i teorii mnogości
  • Wiadomości ze szkoły

Zawartość

  • Ciała i przestrzenie wektorowe:
    • grupa, ciało (przemienne), charakterystyka ciała
    • przykłady ciał, ciało liczb zespolonych
    • definicja przestrzeni wektorowej
    • podprzestrzenie, operacje na podprzestrzeniach
    • kombinacja liniowa, podzbiór generujący, układ liniowo niezależny, baza, przestrzeń skończenie wymiarowa, wymiar przestrzeni
  • Odwzorowania liniowe:
    • definicja odwzorowania liniowego
    • jądro i obraz odwzorowania liniowego, rząd odwzorowania liniowego
    • monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm
    • przestrzeń dualna, baza dualna, odwzorowanie dualne
  • Macierze:
    • podstawowe pojęcia
    • działania na macierzach
    • macierz odwzorowania liniowego
    • mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych
    • macierz dualna a odwzorowanie dualne
    • rząd macierzy
    • macierz przejścia, macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy
    • ślad macierzy i endomorfizmu
  • Układy równań liniowych:
    • twierdzenie Kroneckera-Capellego
    • zbiór rozwiązań układu równań liniowych
    • badanie układu równań
  • Wyznacznik:
    • wyznacznik macierzy i endomorfizmu, metody obliczania wyznacznika, własności wyznacznika
    • minory i rząd macierzy
    • wzory Cramera
    • wzory na wyrazy macierzy odwrotnej
  • Endomorfizmy:
    • wartość własna i wektor własny
    • wielomian charakterystyczny
    • bazy i macierze Jordana
  • Formy kwadratowe:
    • macierz i rząd odwzorowania dwuliniowego
    • twierdzenie Lagrange'a i Sylvestera, sygnatura formy kwadratowej
  • Euklidesowe przestrzenie wektorowe:
    • iloczyn skalarny
    • norma wyznaczona przez iloczyn skalarny
    • nierówność Schwarza
    • baza ortonormalna, ortonormalizacja Grama-Schmidta
    • macierz i wyznacznik Grama, miara układu wektorów
    • izometrie liniowe, macierz ortogonalna
  • Geometria analityczna:
    • przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna, euklidesowa przestrzeń afiniczna \(R^n\)
    • układ bazowy, ukośnokątny (prostokątny) układ współrzędnych
    • podprzestrzeń afiniczna, operacje na podprzestrzeniach afinicznych
    • równoległość podprzestrzeni afinicznych
    • podprzestrzeń rozwiązań układu równań liniowych
    • opisy analityczne podprzestrzeni afinicznych
    • odległość punktów i niektórych figur
    • zbiory wypukłe
    • odwzorowania afiniczne, izometrie, postać macierzowa

Literatura

  1. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Biblioteka Matematyczna t.48, Warszawa 1979.
  2. J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii, Wydawnicwo Naukowe UJ, Kraków, 2001.
  3. J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
  4. K. Nomizu, Fundamentals of Linear Algebra, McGraw-Hill, Inc., New York 1966.
  5. K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I - Geometria, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Biblioteka Matematyczna t.53, Warszawa 1979, Warszawa 2006.