Wyrazić przez podłogi i sufity moc zbioru \(\mathbb{Z}\cap[a,b]\), \(\mathbb{Z}\cap[a,b)\), \(\mathbb{Z}\cap(a,b]\), \(\mathbb{Z}\cap(a,b)\), dla dowolnych rzeczywistych a, b.
Czy dla każdego rzeczywistego \(x\ge 1\) zachodzi równość \(\lceil\lg\lceil x\rceil\rceil = \lceil\lg x\rceil\)? Co jeśli wszystkie/niektóre sufity zamienimy na podłogi?
Spróbuj udowodnić przez indukcję nierówność \(\sum_{k=1}^n 1/k^2\le 2\). Jeśli nie wychodzi, to spróbuj wzmocnić tezę.
Udowodnij przez indukcję dolne oszacowanie dla liczb harmonicznych: \(H_{2^n}\ge \frac{n}{2}+1\).
Udowodnij przez indukcję nierówność Bernoulli'ego:
\[
1+nh\le (1+h)^n\ ,
\]
która zachodzi dla rzeczywistego \(h\ge-1\) i naturalnego \(n\).
Do problemu wież z Hanoi dokładamy dodatkowe ograniczenie: nie wolno przekładać krążka bezpośrednio między słupkami A i C. Ile teraz potrzeba ruchów? W oryginalnym problemie pojawia się \(2^n\) konfiguracji krążków na słupkach, podczas gdy wszystkich jest \(3^n\). Jak rozpoznać, czy dana konfiguracja wystąpi podczas przekładania krążków w oryginalnym problemie?