Ćwiczenia 2: sumy

Zadanie 1

Oblicz sumy
(a) \( \sum_{0\leq i < n} (-1)^i i^3 \)
(b) \(\sum_{0 < i < n}i\,(i-1) 3^i\)
(c) \(\sum_{k=2}^n \frac{1}{(k-1)k(k+1)}\)

Zadanie 2

Oblicz następujące sumy podwójne:
(a) \(\sum_{1\le j\le i \le n} 2^i \)
(b) \(\sum_{1\le i\le j\le n}(j-i) \)
(c) \(\sum_{1\le k, j\le n} k\cdot j\)
(d) \(\sum_{1 \le j< k \le n}\frac{1}{k-j}\)

Zadanie 3

Oblicz sumę \(\sum_{0 \le i \le n} \left\lceil \sqrt{i} \right\rceil\)

Zadanie 4

Pokaż następującą równość, sumując przez części:
\[
\sum_{0\le i < n}i\, H_i \,=\, \frac{n^{\underline{2}}}{2}\,\Bigl(H_n-\frac{1}{2} \Bigr)\ .
\]