Oblicz, na ile sposobów można zapisać liczbę naturalną n jako sumę k nieujemnych całkowitych składników, gdzie rozkłady \(n=s_1+\cdots+s_k\) i \(n=t_1+\cdots+t_k\) są różne, gdy \(s_i\ne t_i\) dla pewnego \(1\le i\le k\).
Niech n będzie liczbą naturalną. Znajdź liczbę rozwiązań równania
\[
x_1+2\cdot x_2+2\cdot x_3 = n
\]
w~liczbach naturalnych \(x_1,x_2,x_3\).
Niech \(a_n\) oznacza liczbę ciągów długości n złożonych z liter A, B, C i nie zawierających dwóch sąsiednich liter A, ani dwóch sąsiednich liter B. Znajdź zwarty wzór na~\(a_n\).
Z kostek o wymiarach 1x2 układamy prostokąt o pionowej krawędzi długości 2 i poziomej krawędzi długości n. Kostki nie mogą na siebie
nachodzić; każda z połówek kostki może być pomalowana na jeden z dwóch kolorów (biały lub czarny). Kostki układamy od strony lewej do prawej: pierwszą kostkę kładziemy pionowo, a pozostałe tak, aby cała lewa krawędź każdej nowo kładzionej kostki dotykała kostek ułożonych wcześniej. Obowiązuje przy tym zasada, że kładziona kostka wzdłuż lewej krawędzi musi mieć takie same kolory, jak występujące na sąsiadujących z nią z lewej strony polach. Oblicz, na ile sposobów można ułożyć taki prostokąt.
Niech \(h_n\) oznacza liczbę sposobów pokolorowania szczebli n-szczeblowej drabiny na cztery kolory (czerwony, biały, niebieski i zielony) tak, że liczba szczebli czerwonych jest parzysta, a białych --- nieparzysta. Znajdź wykładniczą funkcję tworzącą ciągu \(h_n\) i oblicz \(h_{2001}\).
`
Na ile sposobów można rozdzielić 33 tys. zł. premii pomiędzy 22 pracowników firmy, w tym prezesa i jego zastępcę, jeśli szeregowy pracownik może dostać 1000 lub 1500 zł., a członek kierownictwa - nic, 1500 lub 3000 zł.?