Rozwiąż równanie rekurencyjne
\(f_n = \frac{2n-1}{n}f_{n-1} - \frac{n-1}{n} f_{n-2} + 1, \quad f_0 = 0, f_1 = 1\ .\)
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowej 6-permutacji 1 i 2 są w tym samym cyklu, a 3 -- w innym?
Udowodnij tożsamość
\[ {{i+j}\choose{i}}\left\{{n}\atop{i+j}\right\} = \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}}\left\{{k}\atop{i}\right\}\left\{{n-k}\atop{j}\right\}\ .\]
Znajdź \( \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{F_{2k}F_{n-k}}{10^n}, \) gdzie \(F_n\) to n-ta liczba Fibonacciego.