Podobnie jak dla ciągów tak i dla funkcji możemy mówić o granicy niewłaściwej. Będziemy rozważać funkcje, których wartości zmierzają do \( +\infty \) (lub \( -\infty \)), gdy argumenty zmierzają do pewnego punktu skupienia dziedziny. Wprowadzimy następujące definicje.
Definicja 8.10. [Granica niewłaściwa funkcji]
Niech \( A\subseteq\mathbb{R} \) oraz \( x_0\in\mathbb{R} \) punktem skupienia zbioru \( A. \)
Mówimy, że \( f \) ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) \( +\infty \) w punkcie \( x_0, \) jeśli
\( \forall M\in\mathbb{R}\ \ \exists\delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[|x-x_0| < \delta \ \ \Longrightarrow\ \ f(x)>M. \bigg] \)
Mówimy, że \( f \) ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) \( -\infty \) w punkcie \( x_0, \) jeśli
\( \forall M\in\mathbb{R}\ \ \exists\delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[|x-x_0| < \delta \ \ \Longrightarrow\ \ f(x) < M. \bigg] \)
Mówimy, że \( f \) ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego) \( +\infty \) w punkcie \( x_0, \) jeśli
\( \forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n = x_0 \ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)= +\infty \bigg]. \)
Mówimy, że \( f \) ma granicę niewłaściwą (w sensie Heinego) \( -\infty \) punkcie \( x_0, \) jeśli
\( \forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n = x_0 \ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)= -\infty \bigg]. \)
W przypadku funkcji prowadzącej z podzbioru \( \displaystyle\mathbb{R} \) w \( \displaystyle\mathbb{R} \) oprócz wcześniej zdefiniowanych granic funkcji w punkcie oraz granic niewłaściwych można także rozważać tak zwane granice w "punktach niewłaściwych", to znaczy granice w \( +\infty \) lub \( -\infty \) (o ile \( +\infty \) lub \( -\infty \) są punktami skupienia dziedziny).
Podobnie jak na początku wykładu tak i tutaj wszystkie rodzaje definicji granic mają swoje odpowiedniki Cauchy'ego i Heinego. Podobnie jak miało to miejsce poprzednio obie wersje definicji są sobie równoważne.
Definicja 8.11. [Granica funkcji w punkcie niewłaściwym]
Niech \( g\in\mathbb{R} \) oraz niech \( \displaystyle f\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) będzie funkcją.
\( \begin{array} {rlclcl} \displaystyle\lim_{x \to +\infty} & f(x) & = & g & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall \varepsilon>0\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\ge M\ \Longrightarrow\ \ \big|f(x)-g\big| < \varepsilon\bigg], \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow+\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow g\bigg], \\ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} & f(x) & = & g & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall \varepsilon>0\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\le M\ \Longrightarrow\ \ \big|f(x)-g\big| < \varepsilon\bigg], \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow-\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow g\bigg], \end{array} \)
W końcu możemy także mówić o granicach niewłaściwych w punktach niewłaściwych. Odpowiednie definicje Cauchy'ego i Heinego (równoważne sobie) podane są poniżej.
Definicja 8.12. [Granica niewłaściwa funkcji w punkcie niewłaściwym]
Niech \( \displaystyle f\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) będzie funkcją.
\( \begin{array} {rlclcl} \displaystyle\lim_{x \to +\infty} & f(x) & = & +\infty & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall N\in\mathbb{R}\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\ge M\ \Longrightarrow\ \ f(x)\ge N\bigg] \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow+\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow +\infty\bigg], \\ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} & f(x) & = & -\infty & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall N\in\mathbb{R}\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\ge M\ \Longrightarrow\ \ f(x)\le N\bigg] \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow+\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow -\infty\bigg], \\ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} & f(x) & = & +\infty & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall N\in\mathbb{R}\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\le M\ \Longrightarrow\ \ f(x)\ge N\bigg] \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow-\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow +\infty\bigg], \\ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} & f(x) & = & -\infty & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall N\in\mathbb{R}\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\le M\ \Longrightarrow\ \ f(x)\le N\bigg] \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow-\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow -\infty\bigg] \end{array} \)