Egzamin poprawkowy z Logiki dla Informatyków, 2010

Zad. 1 (3 punkty)

Rozważamy skończone grafy \(\mathfrak{G}\) (ta litera to gotyckie G, w rozwiązaniu można pisać zwykłe G) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\).

Napisać zdanie \(\varphi\) logiki egzystencjalnej drugiego rzędu (tzn. postaci \(\exists R_{1}\ldots\exists R_{k}\psi(R_{1},\ldots,R_{k}),\) w którym \(\psi\) jest zdaniem pierwszego rzędu) takie, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) ma cykl Eulera.

Zad. 2 (3 punkty)

Pokazać, że żadne zdanie \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu nie ma tej własności, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) ma cykl Eulera.

Zad. 3 (3 punkty)

Niech wyrażenie \(E\) algebry relacyjnej ma taką właściwość, że żadne podwyrażenie \(E\) nie ma więcej niż \(k\) kolumn. Pokazać, że istnieje algorytm obliczający wartość \([\![E]\!]\) w bazie strukturze \(\mathfrak{A}\), który działa w czasie \(O(n^{k}\log n),\) gdzie \(n\) to liczność dziedziny aktywnej \(\mathfrak{A}\).

Przy projektowaniu algorytmu należy założyć, że dziedzina aktywna składa się z liczb całkowitych typu integer, a do dyspozycji są jednowymiarowe tablice indeksowane nieujemnymi liczbami całkowitymi i zawierające takież liczby. Dostęp do komórki tablicy jest wykonywany w czasie jednostkowym, podobnie jak operacje arytmetyczne i porównania na liczbach całkowitych. Relacje z \(\mathfrak{A}\) są przekazywane do algorytmu właśnie w takich tablicach: relacja o \(l\) kolumnach jest reprezentowana przez \(l\) tablic, a dane zajmują początkowe indeksy.

Zad. 4 (3 punkty)

Czy następująca formuła logiki drugiego rzędu jest tautologią dla \(n>1\):
\(\forall E\left[\left(\begin{array}{c}\forall xE(x,x)\land\\ \forall xy(E(x,y)\to E(y,z))\land\\ \forall xyz((E(x,y)\land E(y,z))\to E(x,z)))\end{array}\right)\to\forall x_{1}\dots x_{n}\ \bigvee _{{0\leq i< j\leq n}}E(x_{i},x_{j}))\right]\) \(\to\) \((\exists y_{1}\ldots y_{{n-1}}\forall z\bigvee _{{i=1}}^{{n-1}}y_{i}=z)\)

Zad. 5 (1.5 punkta)

Odpowiedz TAK lub NIE na wybrane trzy spośród poniższych pytań. Każda poprawna odpowiedź daje \(0.5\) punkta, każda niepoprawna \(-0.5\) punkta. W razie udzielenia odpowiedzi na więcej pytań, do wyniku zaliczymy trzy najgorsze z nich. Odpowiedzi proszę pisać na tej kartce!

  • Czy teoria pierwszego rzędu ciała liczb zespolonych \(\mathfrak{C}=\langle\mathbb{C},+,\cdot,0,1\rangle\) jest rozstrzygalna?
  • Czy dla każdego zbioru zdań \(\Gamma\) istnieje minimalny ze względu na zawieranie podzbiór \(\Gamma^{{\prime}}\subseteq\Gamma\) spełniający \(\Gamma^{{\prime}}\models\Gamma\)?
  • Czy problem SAT dla zdaniowej logiki trójwartościowej Bochvara jest NP-zupełny?
  • Czy formuła \(p\lor(q\to\lnot p)\) jest tautologią zdaniowej logiki intuicjonistycznej?