Uwaga 8.18.
Podobnie jak w przypadku granic ciągów, tak i teraz w przypadku granic funkcji w punkcie można mówić o symbolach nieoznaczonych. Z symbolem nieoznaczonym mamy do czynienia, gdy z istnienia granic dwóch funkcji w danym punkcie nie można określić jednoznacznie granicy funkcji, która powstanie z tych funkcji w wyniku wykonania danego działania (dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, potęgowania).
Kolejne twierdzenie podaje granice pewnych funkcji. Zazwyczaj mamy tu do czynienia z symbolami nieoznaczonymi, dlatego nad znakiem "=" podajemy jaki symbol nieoznaczony tu występuje.
Elementarne dowody tego twierdzenia można znaleźć w podręcznikach z analizy matematycznej. Pominiemy je w tym miejscu, gdyż będą one znacznie łatwiejsze, gdy zapoznamy się z rachunkiem różniczkowym i regułą de l'Hospitala.
Twierdzenie 8.19. [Granice specjalne]
(1) \( \displaystyle\displaystyle\lim_{x \to +\infty}x^{\alpha} \ =\left \{ \begin{array} {ll} +\infty & \quad\textrm{dla}\ \alpha>0, \\ 1 & \quad\textrm{dla}\ \alpha=0, \\ 0 & \quad\textrm{dla}\ \alpha < 0. \end{array} . \right. \)
(2) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to +\infty}a^xx^{\alpha} \ \stackrel{0\cdot\infty}{=}\ 0. \) dla \( a\in(0,1),\displaystyle\alpha\ge 0. \)
(3) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ 1 \) oraz \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ 1. \)
(4) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} \ \stackrel{1^{\infty}}{=}\ e,\displaystyle\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (1+x)^{\frac{1}{x}} \ \stackrel{\infty^0}{=}\ 1. \)
(5) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ \ln a, \) dla \( a>0, \) (w szczególności \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ 1 \))
(6) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ \frac{1}{\ln a}, \) dla \( a>0,a\ne 1, \) (w szczególności \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ 1 \)).
(7) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} (1+\frac{a}{x})^x \ \stackrel{1^{\infty}}{=}\ e^a, \) dla \( a\in\mathbb{R}. \)
(8) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ a, \) dla \( a\in\mathbb{R}. \)
Twierdzenie 8.20.
(1) Każdy wielomian \( w\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą.
(2) Funkcja potęgowa \( \displaystyle (0,+\infty)\ni x\longmapsto x^{\alpha}\in\mathbb{R} \) (\( \displaystyle\alpha\in\mathbb{R} \)) jest ciągła.
(3) Funkcja wykładnicza \( \displaystyle (0,+\infty)\ni x\longmapsto a^x\in\mathbb{R} \) (\( a>0 \)) jest ciągła.
(4) Funkcje trygonometryczne \( \displaystyle\sin,\displaystyle\cos,\displaystyle\mathrm{tg}\,,\displaystyle\mathrm{ctg}\, \) są ciągłe.
Dowód 8.20.
[Szkic] (Ad (1)) Łatwo pokazać (na przykład z definicji Heinego), iż funkcja stała \( f(x)=c \) (gdzie \( c\in\mathbb{R} \)) oraz funkcja identycznościowa \( g(x)=x \) są ciągłe w \( \displaystyle\mathbb{R}. \) Ponieważ każdy wielomian powstaje jako sumy i iloczyny tych dwóch funkcji, zatem korzystając z twierdzenia o "arytmetyce" granic funkcji (twierdzenie 8.8.) wnioskujemy, że dowolny wielomian jest ciągły.
(Ad (2)-(4)) Dowody tych punktów wykraczają poza materiał tego wykładu.