Jako wstęp do tej części wykładu proponujemy proste ćwiczenia z zakresu szkoły średniej.
(1) Narysować wykres funkcji ciągłej na przedziale \( \displaystyle\bigg(0,\frac{\pi}{2}\bigg) \), która przyjmuje dowolnie duże wartości.
(2) Narysować wykres funkcji ciągłej na \( \displaystyle\mathbb{R} \), która przyjmuje dowolnie duże wartości.
(3) Narysować wykres funkcji ciągłej na przedziale \( \displaystyle\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg] \), która przyjmuje dowolnie duże wartości.
Odpowiedzi:
(Ad (1)) Przykładem takiej funkcji jest \( f(x)=\mathrm{tg}\, x. \)
(Ad (2)) Przykładem takiej funkcji jest \( f(x)=x^2. \)
(Ad (3)) Nie jest to możliwe!
Co zatem różni zbiory \( \displaystyle\bigg(0,\frac{\pi}{2}\bigg),\displaystyle\mathbb{R} \) od \( \displaystyle\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg] \)? Otóż przedział \( \displaystyle\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg] \) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym w \( \displaystyle\mathbb{R}, \) a zatem tak zwanym zbiorem zwartym, a to że nie mogliśmy narysować funkcji ciągłej na tym przedziale, która "ucieka do nieskończoności", to skutek faktu, że funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy (patrz poniższe twierdzenie Weierstrassa).
Zdefiniujemy teraz formalnie zbiory zwarte w \( \displaystyle\mathbb{R}. \)
Definicja 8.21.
Mówimy, że \( A\subseteq\mathbb{R}^N \) jest zbiorem zwartym, jeśli z każdego ciągu \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq A \) można wybrać podciąg \( \displaystyle\{x_{n_k}\} \) zbieżny do granicy \( g\in A. \)
Zazwyczaj w matematyce wprowadza się bardziej ogólną definicję zwartości. Wówczas powyżej zdefiniowaną własność nazywa się ciągową zwartością. Jednak w \( \displaystyle\mathbb{R} \) obie definicje są równoważne, zatem zbiory ciągowo zwarte będziemy krótko nazywać zwartymi.
Przykład 8.22.
Zbiór \( A=(0,1)\subseteq\mathbb{R} \) nie jest zwarty. Faktycznie dla ciągu \( \displaystyle\bigg\{\frac{1}{n}\bigg\} \) nie istnieje podciąg zbieżny do granicy w zbiorze \( A. \)
Poniższe twierdzenie mówi jakie zbiory w \( \displaystyle\mathbb{R}^N \) są zwarte (pozostawiamy je tutaj bez dowodu; będzie ono udowodnione na wykładzie z Analizy Matematycznej 2).
Twierdzenie 8.23.
Zbiór \( A\subseteq \mathbb{R}^N \) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.
Uwaga 8.24.
W tym miejscu dokończymy dowód twierdzenia o zbieżności ciągów Cauchy'ego w \( \mathbb{R}^N \) (patrz twierdzenie 3.30.).
Przypuśćmy, że ciąg \( \{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^N \) spełnia warunek Cauchy'ego. Wtedy \( \{x_n\} \) jest ciągiem ograniczonym (patrz stwierdzenie 3.28.), a zatem zawiera się w pewnej kuli domkniętej \( \overline{K}(x,R) \). Ta kula jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, zatem zwartym. W takim razie z ciągu \( \{x_n\} \) możemy wybrać podciąg zbieżny. Wobec stwierdzenie 3.29., ciąg \( \{x_n\} \) jest zbieżny.