DEFINICJA 1.7.
Ciąg o wyrazach \( \displaystyle a_n=a_0 +n r, \) gdzie \( \displaystyle n=0, 1, 2, 3, \ldots \) nazywamy ciągiem arytmetycznym opoczątkowym wyrazie \( \displaystyle a_0 \) i różnicy \( \displaystyle r. \)
DEFINICJA 1.8.
Niech \( \displaystyle a_0\neq 0 \) i \( \displaystyle q\neq 0. \) Ciąg o wyrazach \( \displaystyle a_n=a_0q^n \), gdzie \( \displaystyle n=0, 1, 2, 3, ... \) nazwyamy ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie \( a_0 \) i ilorazie \( q \).
Przypomnijmy, że
Uwaga 1.9.
Jeśli \( \displaystyle a_n \) jest ciągiem arytmetycznym o początkowym wyrazie \( \displaystyle a_0 \) i różnicy \( \displaystyle r \), to
\( \displaystyle a_0 +a_1 +a_2 +\ldots+a_n=\frac{n+1}{2}(a_0+a_n ) \ =\ \frac{n+1}{2}(2a_0+nr). \)
Uwaga 1.10.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \( \displaystyle q\neq 1 \) i dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n=1, 2, 3, \ldots \) zachodzi równość
\( \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n \ =\ \frac{1-q^{n+1}}{1-q}. \)
(Jeśli \( \displaystyle q=1 \), mamy oczywistą równość \( \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n=1+1+1+\ldots +1=n+1. \))
WNIOSEK 1.11.
Jeśli \( \displaystyle a_n \) jest ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie \( \displaystyle a_0 \) i ilorazie \( \displaystyle q\neq 1 \), to
\( \displaystyle a_0 +a_1 +a_2+\ldots +a_n \ =\ a_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}. \)
PRZYKŁAD 1.12.
Rozważmy zbiór \( \displaystyle S:=\{1+q+q^2+\ldots +q^n, n=1, 2,3, \ldots \} \) skończonych sum kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \( \displaystyle 1 \) i nieujemnym ilorazie \( \displaystyle q \). Zauważmy, że jeśli \( \displaystyle 0 \leq q < 1 \), to
\( \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n \ =\ \frac{1}{1-q}-\frac{q^{n+1}}{1-q} < \frac{1}{1-q}, \)
gdyż \( \displaystyle \frac{q^{n+1}}{1-q}>0 \). Stąd zarówno liczba \( \displaystyle \frac{1}{1-q} \) jak i każda liczba większa od niej są ograniczeniami górnymi zbioru \( \displaystyle S \). Najmniejszym z ograniczeń górnych zbioru \( \displaystyle S \) jest liczba \( \displaystyle \frac{1}{1-q} \), gdyż wartość ułamka \( \displaystyle \frac{q^{n+1}}{1-q} \) może być dowolnie mała i bliska zeru dla dużych liczb naturalnych \( \displaystyle n \). Jeśli natomiast iloraz \( \displaystyle q\geq 1 \), to jedynym ograniczeniem górnym każdej z sum \( \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n \geq 1+1+1+\ldots +1=n+1 \) jest plus nieskończoność. Wówczas też kresem górnym zbioru sum \( \displaystyle S \) jest plus nieskończoność.
Do rozważań dotyczących ciągów i nieskończonych sum składników (szeregów) powrócimy w kolejnych modułach.
Odnotujmy jednak jeszcze następującą uwagę.
Uwaga 1.13.
Jeśli \( \displaystyle |q| < 1 \), to suma nieskończenie wielu składników \( \displaystyle q^n \), \( \displaystyle n=0, 1, 2, 3,\ldots , \) jest równa \( \displaystyle \frac{1}{1-q} \), co zapisujemy: \( \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n+\ldots=\frac{1}{1-q}. \)