Okazuje się, że jeśli weźmiemy obraz przez funkcję ciągłą zbioru zwartego, to otrzymamy także zbiór zwarty.
Twierdzenie 8.25.
Jeśli \( A \) jest zbiorem zwartym w \( \displaystyle\mathbb{R} \) oraz \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, to \( f(A) \) jest zbiorem zwartym w \( \displaystyle\mathbb{R}. \)
Dowód 8.25.
Aby pokazać zwartość zbioru \( f(A), \) weźmy dowolny ciąg \( \displaystyle\{y_n\}\subseteq f(A). \) Ponieważ każde \( y_n \) jest w obrazie zbioru \( A, \) więc dla każdego \( y_n \) istnieje \( x_n\in A \) takie, że \( f(x_n)=y_n. \) Ponieważ zbiór \( A \) jest zwarty (z założenia), zatem dla ciągu \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq A \) istnieje podciąg \( \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\} \) zbieżny w \( A, \) to znaczy
\( \exists a\in A:\ \lim\limits_{k \to +\infty} x_{n_k} \ =\ a. \)
Z ciągłości funkcji \( f \) wynika, że
\( \lim\limits_{k \to +\infty} y_{n_k} \ =\ \lim\limits_{k \to +\infty} f(x_{n_k}) \ =\ f(a), \)
zatem pokazaliśmy, że ciąg \( \displaystyle\{y_{n}\} \) posiada podciąg zbieżny w \( f(A), \) co kończy dowód zwartości \( f(A). \)
Twierdzenie 8.26. [Weierstrassa]
Jeśli \( A\subseteq\mathbb{R} \) jest zbiorem zwartym oraz \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, to funkcja \( f \) osiąga swoje kresy, to znaczy \( \exists x_1,x_2\in A\ \forall x\in A:\ f(x_1)\le f(x)\le f(x_2). \)
Dowód 8.26.
Ponieważ funkcja \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) jest ciągła, a zbiór \( A \) jest zwarty, więc z twierdzenie 8.25. wynika, że zbiór \( f(A) \) jest zwarty, a zatem także ograniczony (patrz twierdzenie 8.23.), to znaczy
\( \forall x\in A:\ -\infty < \inf f(A) \ \le\ f(x) \ \le\ \sup f(A) \ < \ +\infty. \)
Należy pokazać, że
\( \exists x_1,x_2\in A:\ f(x_1)=\inf f(A),\ f(x_2)=\sup f(A). \)
Pokażemy istnienie \( x_1 \) o powyższej własności (dowód istnienia \( x_2 \) jest analogiczny).
Niech \( m\ \stackrel{df}{=}\ \inf f(A) \) oraz dla dowodu niewprost, przypuśćmy, że \( \displaystyle\inf f(A) \) nie jest realizowane, to znaczy
\( \forall x\in A:\ f(x)>m. \)
Zdefiniujmy nową funkcję \( \displaystyle g\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) w następujący sposób:
\( g(x) \ =\ \frac{1}{f(x)-m} \quad\textrm{dla}\ x\in A. \)
Definicja \( g \) jest poprawna (gdyż mianownik jest niezerowy) oraz funkcja \( g \) jest ciągła (porównaj twierdzenie 8.8.). Korzystając ponownie z twierdzenie 8.25. wiemy, że zbiór \( g(A) \) jest zwarty, a zatem także ograniczony, zatem jego supremum \( M\ \stackrel{df}{=}\ \sup g(A) \) jest skończone, czyli
\( 0 \ < \ M \ < \ +\infty. \) Oczywiście \( \forall x\in A: g(x)\le M. \)
Dla dowolnego \( x\in A, \) mamy
\( f(x) \ =\ \frac{1}{g(x)}+m \ \ge\ \frac{1}{M}+m, \)
w szczególności \( m < \inf f(A), \) sprzeczność.
Wykazaliśmy zatem, że funkcja \( f \) osiąga swój kres dolny, czyli
\( \exists x_1\in A:\ f(x_1)=\inf f(A). \)
Uwaga 8.27.
Założenie zwartości w twierdzeniu Weierstrassa jest niezbędne. Rozważmy funkcję \( f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) daną wzorem \( f(x)=\mathrm{arctg}\, x. \) Jest ona ciągła,
\( \sup_{x\in\mathbb{R}}f(x)=\frac{\pi}{2},\quad \inf_{x\in\mathbb{R}}f(x)=-\frac{\pi}{2}, \)
ale dla żadnego punktu \( x\in\mathbb{R} \) funkcja \( f \) nie przyjmuje wartości \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \) i \( \displaystyle -\frac{\pi}{2}. \)
Założenia twierdzenia Weierstrassa nie są tutaj spełnione gdyż zbiór \( \displaystyle\mathbb{R} \) nie jest zwarty.