Rachunek zbiorów

\(\def\RR{\mathbb{R}}
\def\pot#1{{\sf P}(#1)}
\def\<{\langle}
\def\>{\rangle}
\def\incl{\subseteq}
\def\A{{\cal A}}
\def\B{{\cal B}}
\def\tz{\;\;|\;\;}
\)

Zadanie 1

Zaznacz na rysunku zbiory:

1. \(\{\< x, y\> \in \RR^2 \tz (x^2+y^2 > 1) \Rightarrow (y+x > 0)\}\),
2. \(\{x \in \RR \tz (x^2<0) \Rightarrow (x^2 >0)\}\),
3. \(\{x \in \RR \tz \forall x \; (x^2 > 0)\}\),
4. \(\{x \in \RR \tz \exists z \forall y \;(y > (x-z)^2)\}\),
5. \(\{\< x, y\> \in \RR^2 \tz (x^2+y^2 > 1) \Rightarrow \exists z (x^2 + (y-z)^2 < \frac{1}{4})\}\).

Zadanie 2

Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\), \(C\) zachodzi równość:

1. \(A = (A \cap B) \cup (A - B) \),
2. \(A \cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C) \),
3. \(A - (B \cup C)= (A - B) \cap (A - C) \),
4. \((A \cup B) - C = (A - C) \cup (B - C) \).

Zadanie 3

Sprawdź czy dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\), \(C\) zachodzi następująca implikacja:

1. jeśli \(A \cup B = A \cup C\) to \(B = C\),
2. jeśli \(A - B = A - C\) to \(B = C\),
3. jeśli \(A - B = B - A\) to \(A = B\).

Zadanie 4

Sprawdź czy dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) zachodzi następująca implikacja:

1. jeśli \(A \incl B\) to \(A \cap B = A\),
2. jeśli \(A \incl B\) i \(C \incl D\) to \(A \cap C \incl B \cap D\),
3. jeśli \(A \incl B\) to \(C- B \incl C - A\),
4. jeśli \(A \incl B\) to \( -A \supseteq -B\).

Zadanie 5

Sprawdź czy dla dowolnych zbiorów \(A\) i \(B\) zachodzi:

1. \(\pot{A \cup B} = \pot{A} \cup \pot{B}\),
2. \(\pot{A \cap B} = \pot{A} \cap \pot{B}\).

Zadanie 6

Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów \(A\) i \(B\), zawieranie \(A \incl B\) zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy \(\pot{A} \incl \pot{B}\).

Zadanie 7 (przykład z wykładu)

Udowodnij, że dla dowolnego zbioru \(A\) zachodzi \(\bigcup\pot{A} = A\).

Zadanie 8

Niech \(\A \incl \pot{\RR}\) będzie rodziną zbiorów spełniających warunek \(\forall B \in \A \;\forall C \incl \RR (C \incl B \Rightarrow C \in A)\). Udowodnij, że \(\bigcup \A = \{z \in \RR \tz \{z\} \in \A\}\).

Zadanie 9

Sprawdź czy dla dowolnych rodzin zbiorów \(\A\) i \(\B\) zachodzi implikacja:

1. jeśli \(\A \incl \B\) to \(\bigcup \A \incl \bigcup \B\),
2. jeśli \(\A \incl \B\) to \(\bigcap \A \supseteq \bigcap \B\).

Zadanie 10

Udowodnij, że dla dowolnych rodzin zbiorów \(\A\) i \(\B\) zachodzi \(\bigcup (\A \cup \B) = (\bigcup \A) \cup (\bigcup \B)\). Czy zachodzi równość \(\bigcup (\A \cap \B) = (\bigcup \A) \cap (\bigcup \B)\)?

Zadanie 11

Rodzina zbiorów \(\A\) jest łańcuchem jeśli dla każdych \(X,Y \in \A\) zachodzi \(X \incl Y\) lub \(Y \incl X\). Udowodnij, że:

1. iloczyn dowolnej niepustej rodziny łańcuchów jest łańcuchem,
2. suma łańcucha łańcuchów jest łańcuchem.