Naturalnym uogólnieniem wielomianu (sumy skończonej ilości jednomianów) jest szereg potęgowy
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-x_0)^n & = & a_0 +a_1 (x-x_0)+a_2 (x-x_0)^2 \\ & + & a_3 (x-x_0)^3+\dots +a_n(x-x_n)^n + \dots \end{array} \)
o środku w punkcie \( \displaystyle x_0 \) i współczynnikach \( \displaystyle a_n \). Własności szeregów potęgowych omówimy szerzej w ramach analizy matematycznej 2, pomijamy więc w tej chwili szczegółowe dowody. Aby uprościć wypowiedzi potrzebnych twierdzeń, zakładamy, że istnieje granica \( \displaystyle \lim_{n\to \infty}\root{n}\of{|a_n|}\in[0,\infty ] \) (tj. skończona lub równa \( \displaystyle \infty \)).
Korzystając z kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów, można wykazać
Twierdzenie 9.11. [twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda]
Szereg potęgowy \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-x_0)^n \) jest zbieżny w przedziale otwartym \( \displaystyle (x_0 -R, x_0 +R) \), gdzie \( \displaystyle \frac{1}{R}=\lim_{n\to \infty}\root{n}\of{|a_n|}. \)
Jeśli \( \displaystyle \lim_{n\to \infty}\root{n}\of{|a_n|}=0 \), przyjmujemy \( \displaystyle R=\infty \);
jeśli zaś \( \displaystyle \lim_{n\to \infty}\root{n}\of{|a_n|}=\infty \), przyjmujemy \( \displaystyle R=0 \).
Liczbę \( \displaystyle R \) nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego.
Można wykazać następujące
Twierdzenie 9.12.
Funkcja \( \displaystyle \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-x_0)^n \) jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału otwartego \( \displaystyle (x_0-R, x_0+R) \), gdzie \( \displaystyle R \) jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego. Pochodną tej funkcji wyraża szereg potęgowy
\( \displaystyle \displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n (x-x_0)^{n-1}, \ \ |x-x_0 | < R. \)
Innymi słowy: szereg potęgowy można różniczkować wewnątrz przedziału, w którym jest zbieżny, a jego pochodną jest szereg pochodnych jego składników.
Zastosujmy twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego do wyznaczenia pochodnej funkcji wykładniczej \( \displaystyle \exp x \) oraz funkcji sinus i cosinus, które definiuje się za pomocą szeregów potęgowych.
Wniosek 9.13.
Funkcje
\( \begin{array}{lllll} \begin{displaystyle} \displaystyle \displaystyle x\mapsto \exp x & = & \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} & = & 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\displaystyle +\frac{x^5}{5!}+\dots \\ \displaystyle x\mapsto \sin x & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} & = & 0+x+0-\frac{x^3}{3!}+0+\frac{x^5}{5!}+\dots \\ \displaystyle x\mapsto \cos x & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!} & = & 1+0-\frac{x^2}{2!}+0+\frac{x^4}{4!}+0-\dots \end{displaystyle}\end{array} \)
są różniczkowalne w każdym punkcie \( \displaystyle x\in \mathbb{R} \), przy czym
\( \begin{array}{lll}\displaystyle (\exp x)' & = & \exp x, \\ (\sin x)' & = & \cos x, \\ (\cos x)' & = & - \sin x. \end{array} \)
Dowód 9.13.
Promień zbieżności każdego z powyższych szeregów definiujących odpowiednio funkcje \( \displaystyle \exp \) sinus i cosinus równy jest nieskończoności, ponieważ \( \displaystyle \lim_{n\to\infty}\root{n}\of{n!}=\infty \). Aby przekonać się o tym, możemy na przykład zastosować oszacowanie
\( \displaystyle \big(\frac{n}{3}\big)^n\leq n! \leq \big(\frac{n}{2}\big)^n, \text{ dla } n\geq 6, \)
z którego mamy
\( \displaystyle \frac{n}{3}\leq \root{n}\of{n!}\leq \frac{n}{2}. \)
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach istnieje więc granica \( \displaystyle \lim_{n\to\infty}\root{n}\of{n!}=\infty \).
Stąd w całym przedziale \( \displaystyle (-\infty, \infty) \) możemy stosować twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego i mamy
\( \displaystyle \begin{align*}(\exp x)' & =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \text{\ \ (podstawiamy }k:=n-1 \text{)} \\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}=\exp x.\end{align*} \)
W podobny sposób dowodzimy dwóch pozostałych równości: \( \displaystyle (\sin x)'=\cos x \) oraz \( \displaystyle (\cos x)'=-\sin x \).
Oszacowanie
\( \displaystyle \big(\frac{n}{3}\big)^n\leq n! \leq \big(\frac{n}{2}\big)^n, \text{ dla } n\geq 6, \)
można wykazać indukcyjnie (szczegóły dowodu znajdują się np. w podręczniku Leona Jeśmianowicza i Jerzego Łosia Zbiór zadań z algebry, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, wyd.VII, Warszawa 1976). Uogólnieniem tego oszacowania jest
Twierdzenie 9.14. [twierdzenie Stirlinga]
Dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n \) istnieje liczba \( \displaystyle \theta_n \in [0,1) \) (zależna od wyboru liczby \( \displaystyle n \)) taka, że zachodzi równość
\( \displaystyle n!=\big(\frac{n}{e}\big)^n\sqrt{2\pi n}\exp\frac{\theta_n}{12 n}. \)
Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych \( \displaystyle n \) czynnik \( \displaystyle \exp\frac{\theta_n}{12 n}\approx 1 \), stąd
\( \displaystyle n!\approx \big(\frac{n}{e}\big)^n\sqrt{2\pi n}. \)
W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet przybliżeniem
\( \displaystyle n!\approx \big(\frac{n}{e}\big)^n \)
lub (pamiętając, że \( \displaystyle 2 < e < 3 \)) oszacowaniem
\( \displaystyle \big(\frac{n}{3}\big)^n\leq n! \leq \big(\frac{n}{2}\big)^n \), dla \( \displaystyle n\geq 6, \)
które wykorzystaliśmy do wyznaczenia promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję \( \displaystyle \exp \).