Funkcja \( \displaystyle x\mapsto \ln x \) jest odwrotna do funkcji \( \displaystyle x\mapsto\exp x \). Stąd - na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej - mamy
Uwaga 9.15. [wzór na pochodną logarytmu naturalnego]
\( \displaystyle \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\exp y}=\frac{1}{\exp y}=\frac{1}{\exp(\ln x)}=\frac{1}{x}. \)
Zauważmy też, że pochodna \( \displaystyle \frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x} \), dla \( \displaystyle x\neq 0 \). Oznaczmy symbolem \( \displaystyle \mathrm{\,abs}\, (x)=|x| \) wartość bezwzględną liczby \( \displaystyle x \). Na mocy twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji mamy równość
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \frac{d}{dx}(\ln|x|) & = & (\ln\circ\mathrm{\,abs}\,)'(x)=(\ln)'(\mathrm{\,abs}\,(x))\cdot (\mathrm{\,abs}\,)'(x) \\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{1}{|x|}\cdot\mathrm{sgn}\, x=\frac{x}{|x|^2}=\frac{1}{x}.\end{array} \)
Ogólnie:
Uwaga 9.16.
Jeśli \( \displaystyle f \) jest funkcją różniczkowalną w punkcie \( \displaystyle x_0 \) i \( \displaystyle f(x_0)\neq 0 \), to istnieje pochodna złożenia \( \displaystyle \ln |f|=\ln\circ\mathrm{\,abs}\,\circ f \) w punkcie \( \displaystyle x_0 \) i jest równa \( \displaystyle \displaystyle (\ln|f|)'(x_0)=\frac{f'(x_0)}{f(x_0)} \).
Przykład 9.17.
Mamy
\( \displaystyle \frac{d}{dx}\ln|\sin x|=\frac{\cos x}{\sin x}=\mathrm{ctg}\, x, \)
a także
\( \displaystyle \frac{d}{dx}\ln|\cos x|=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\mathrm{tg}\, x. \)
Wniosek 9.18.
Pochodną funkcji \( \displaystyle x\mapsto g(x)^{f(x)}=\exp\big(f(x)\ln g(x)\big) \) wyznaczymy, różniczkując złożenie iloczynu funkcji \( \displaystyle x\mapsto f(x)\ln g(x) \) z funkcją wykładniczą \( \displaystyle \exp \).
Przykład 9.19.
a) Wyznaczmy pochodną funkcji wykładniczej o podstawie \( \displaystyle a>0 \). Mamy \( \displaystyle a^x=\exp (x \ln a) \), więc
\( \displaystyle \frac{d}{dx}a^x=\frac{d}{dx}\big(\exp (x \ln a)\big)= \exp (x \ln a)\cdot \frac{d}{dx} \big(x \ln a\big)=a^x \ln a, \) czyli \( \displaystyle (a^x)'=a^x \ln a \).
b) Wiemy już, że \( \displaystyle \frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1} \), gdy \( \displaystyle n \) jest liczbą naturalną. Korzystając z równości \( \displaystyle x^a=\exp(a \ln x),x>0 \) jesteśmy także w stanie wykazać, że \( \displaystyle (x^a)'=ax^{a-1} \), gdy \( \displaystyle a \) jest dowolną liczbą rzeczywistą. Mamy bowiem
\( \displaystyle \frac{d}{dx}x^a=\frac{d}{dx}\big(\exp(a \ln x)\big)=\exp(a \ln x)\cdot \frac{d}{dx}(a \ln x)=x^a \cdot \frac{a}{x}=ax^{a-1}. \)