Przestrzenie afiniczne II

Podprzestrzenie afiniczne

---

Niech \(V_0\) będzie podprzestrzenią przestrzeni \(V\), zaś \(X_0\) - niepustym podzbiorem \(X\). Mówimy, że \(X_0\) jest podprzestrzenią \(X\) o kierunku \(V_0\), jeśli spełnione są dwa następujące warunki:

PA 1) \(\overrightarrow {xy}\in V_0\) dla każdych \(x,y\in X_0\).

PA 2) \(x+v\in X_0\) dla każdych \(x\in X_0\) i \(v\in V_0\).

Jest oczywiste, że jeśli spełnione są te warunki, to \((X_0,V_0)\) z operacjami zaczepiania wektora w punkcie i wyznaczania wektora przez parę punktów zawężonymi z przestrzeni \((X,V)\) jest przestrzenią afiniczną.

Przykład 1.1

Podzbiór składający się z jednego (dowolnego) punktu przestrzeni \(X\) jest podprzestrzenią afiniczną o kierunku \(\{0\}\). Cała przestrzeń \(X\) jest podprzestrzenią o kierunku \(V\).

Przykład 1.2

Niech \(x_0\in X\) i \(V_0\) będzie podprzestrzenią wektorową \(V\). Rozważmy zbiór

Niech \(x=x_o+ v\), \(y=x_0+ w\), gdzie \(v,w\in V_0\). Z Twierdzenia 1.1 wiemy, że

Podobnie, jeśli \(x_0 +v\), gdzie \(v\in V_0\), to

dla \(w\in V_0\). A zatem zbiór zdefiniowany przez(1.1) jest podprzestrzenią afiniczną o kierunku \(V_0\).

Przypomnijmy sobie, że zbiór rozwiązań układu równań liniowych jest właśnie postaci (1.1). A zatem mamy twierdzenie.

Twierdzenie 1.3

Jeśli układ równań liniowych ma rozwiązanie, to zbiór wszystkich rozwiązań tego układu jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni \({\mathbb K} ^n\) o kierunku będącym przestrzenią rozwiązań odpowiadającego układu jednorodnego.

W szczególności podprzestrzeń dana jednym równaniem, tzn. równaniem

jest \((n-1)\) wymiarową podprzestrzenią \({\mathbb K} ^n\) (lub dowolnej \(n\)-wymiarowej przestrzeni afinicznej \(X\) z wprowadzonym okładem współrzędnych), o ile któryś ze skalarów \(a_1,..., a_n\) jest różny od zera. Podprzestrzeń \((n-1)\)-wymiarową nazywa się hiperpłaszczyzną. Równanie (1.2) nazywa się równaniem ogólnym hiperpłaszczyzny.

Podprzestrzeń jednowymiarową nazywamy prostą afiniczną. Podprzestrzeń dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną afiniczną.

Mamy następujący lemat.

Lemat 1.4

Jeśli \((X_0,V_0)\) oraz \((X_0,W_0)\) są podprzestrzeniami afinicznymi to \(V_0=W_0\).

Dowód

Niech \(x\in X_0\) i \(v\in V_0\). Wtedy \(x+v\in X_0\). Ponieważ \((X_0,W_0)\) jest podprzestrzenią afiniczną, więc \(v=\overrightarrow {x (x+v)}\in W_0\).

Dzięki temu lematowi wystarczy mówić " niech \(X_0\) będzie podprzestrzenią afiniczną", bo kierunek podprzestrzeni \(X_0\) jest wyznaczony jednoznacznie.

Zauważmy teraz, że każda podprzestrzeń afiniczna jest taka jak w (Przykładzie 1.2).

Twierdzenie 1.5

Niech \(X_0\) będzie podprzestrzenią afiniczną o kierunku \(V_0\). Dla dowolnego punktu \(x_0 \in X_0\) mamy

Dowód

Z definicji podprzestrzeni afinicznej wynika, że \(x_0+V_0\subset X_0\). Odwrotnie, jeżeli \(x\in X_0\), to \(\overrightarrow {x_0x}\in V_0\), a zatem \(x=x_0+\overrightarrow {x_0 x}\in x_0 +V_0\).

Kierunek dowolnej podprzestrzeni afinicznej \(X_0\) jest równy przestrzeni

\(\{ \overrightarrow {x_o x}\, |\, x\in X_0\},\)      (1.3)

gdzie \(x_0\) jest dowolnie wybranym punktem przestrzeni \(X\), lub, co na jedno wychodzi, przestrzeni

Załóżmy, że mamy dwie podprzestrzenie tej samej przestrzeni afinicznej \((X,V)\).

Mówimy, że podprzestrzeń afiniczna \((X_0, V_0)\) jest równoległa do podprzestrzeni \((X_1, V_1)\), jeśli \(V_0\subset V_1\). Podprzestrzenie \((X_0,V_0)\), \((X_1,V_1)\) są równoległe, jeśli \(V_0=V_1\).

Zachodzi następujące (zgodne z intuicją) twierdzenie.

Twierdzenie 1.6

Jeżeli podprzestrzeń \(X_0\) jest równoległa do \(X_1\), to albo \(X_0\subset X_1\), albo \(X_0\cap X_1=\emptyset\).

Dowód

Przypuśćmy, że \(X_0\cap X_1\ne\emptyset\). Niech \(x_0\in X_0\cap X_1\). Jeżeli \(V_0\), \(V_1\) sa kierunkami \(X_0\) i \(X_1\) odpowiednio, to \(X_0=x_0+V_0\) i \(X_1= x_0+V_1\). Wobec tego \(X_0\subset X_1\).

Twierdzenie 1.7

Niech \({X_t}_{\{t\in T\}}\) będzie dowolną rodziną podprzestrzeni przestrzeni \(X\). Jeśli \(\bigcap _{t\in T}X_t\ne \emptyset\), to \(\bigcap _{t\in T}X_t\) jest podprzestrzenią afiniczną \(X\).

Dowód

Niech \(V_t\) będzie kierunkiem \(X_t\) dla każdego \(t\in T\). Jeśli \(\displaystyle x_0\in \bigcap _{t\in T} X_t\), to

a więc

Zbiory wypukłe

---

Niech dane będą dwa różne punkty \(p\), \(q\) przestrzeni afinicznej \(X\) o kierunku będącym przestrzenią wektorową nad ciałem \({\mathbb R}\). Prosta przechodząca przez te punkty może być opisana jako zbiór wszystkich punktów postaci \(y=p+t\overrightarrow {pq}\), \(t\in {\mathbb R}\). Odcinkiem wyznaczonym przez te punkty nazywamy zbiór

Jeśli \(X\) jest przestrzenią wektorową (lub w przestrzeni afinicznej ustalony jest punkt bazowy), to \(\overline {pq} = \{ (1-t)p+tq\ |\ t\in [0,1]\}\).

Zbiór \(A\subset X\) nazywamy wypukłym, jeśli dla każdej pary punktów \(p,q\in A\) odcinek \(\overline {pq}\) zawiera się w zbiorze \(A\).

Oczywiste jest następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.1

Przecięcie dowolnej rodziny zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.

Jeżeli \(A\) jest dowolnym podzbiorem przestrzeni \(X\), to przez \({\rm conv} A\) oznaczamy przecięcie wszystkich zbiorów wypukłych zawierających \(A\). Na mocy Twierdzenia 2.1 jest to zbiór wypukły o tej własności, że każdy zbiór wypukły zawierający \(A\) zawiera \({\rm conv} A\). Zbiór \({\rm conv} A\) nazywa się wypukłą otoczką zbioru \(A\).

Odwzorowania afiniczne

Niech \(V,W\) będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \({\mathbb K}\) i niech \((X,V)\), \((Y,W)\) będą przestrzeniami afinicznymi. Odwzorowanie

nazywamy odwzorowaniem afinicznym, jeśli istnieje odwzorowanie liniowe

takie, że dla każdych \(x', x''\in X\) zachodzi równość

Warunek ten można zastąpić warunkiem równoważnym:

dla każdych \(x\in X\) i \(v\in V\).

Mówimy, że \(\varphi\) jest odwzorowaniem liniowym indukowanym przez odwzorowanie afiniczne \(f\).

Odwzorowanie indukowane jest dla danego odwzorowania afinicznego jedyne. Mamy mianowicie

Lemat 3.1

Jeżeli \(f\) jest odwzorowaniem afinicznym indukującym odwzorowania liniowe \(\varphi _1\) i \(\varphi _2\), to \(\varphi _1=\varphi _2\).

Dowód

Niech \(v\in V\) i \(x\in X\). Zachodzą równości

Dowód następującego twierdzenia jest standardowy

Twierdzenie 3.2

Złóżenie odwzorowań afinicznych jest odwzorowaniem afinicznym. Jeśli odwzorowanie afiniczne jest bijekcją, to odwzorowanie odwrotne jest afiniczne.

Obraz podprzestrzeni afinicznej przez odwzorowanie afiniczne jest podprzestrzenią afiniczną.

Przeciwobraz podprzestrzeni afinicznej przez odwzorowanie afiniczne jest podprzestrzenią afiniczną.

Przykład 3.3

Odwzorowanie identycznościowe przestrzeni afinicznej \(X\) jest odwzorowaniem afinicznym indukującym odwzorowanie identycznościowe.

Przykład 3.4

Odwzorowanie stałe, tzn. \(f:X\ni x\longrightarrow y_0\in Y\), gdzie \(y_0\) jest ustalonym punktem przestrzeni \(Y\), jest odwzorowaniem afinicznym indukującym odwzorowanie zerowe. Przypomnijmy, że jedynym odwzorowaniem liniowym stałym jest odwzorowanie zerowe.

Przykład 3.5