Zwróciliśmy już uwagę na fakt, że reguła de l'Hospitala -- podobnie jak każde twierdzenie -- wymaga przed zastosowaniem tezy sprawdzenia, czy spełnione są założenia twierdzenia. Jednak nawet w przypadku, gdy są spełnione założenia, nie ma gwarancji, czy rachunki w oparciu o wzór z tezy prowadzą krótką drogą do celu, jakim jest stwierdzenie czy istnieje oraz ile wynosi granica ilorazu dwóch funkcji.
Rozważmy następujący
Przykład 11.18.
Sprawdźmy, czy istnieje granica
\( \displaystyle \lim_{t\to 1}\frac{8t-\sqrt{63+t}}{4t-\root{3}\of{63+t}}. \)
Zauważamy, że iloraz funkcji \( \displaystyle f(t)=8t-\sqrt{63+t} \) oraz \( \displaystyle g(t)=4-\root{3}\of{63+t} \) stanowi w punkcie \( \displaystyle t=1 \) symbol nieoznaczony \( \displaystyle \frac{0}{0} \). Obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu, więc pozostaje zbadanie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych \( \displaystyle \frac{f'(t)}{g'(t)} \) w punkcie \( \displaystyle t=1 \). Próba wyznaczenia ilorazu pochodnych prowadzi do otrzymania ułamków piętrowych, które nie zachęcają do dalszych przekształceń. Zauważmy jednak, że podstawienie \( \displaystyle u:=\root{6}\of{63+t} \) sprowadza zadanie do zbadania, czy istnieje granica
\( \displaystyle \frac{8t-\sqrt{63+t}}{4t-\root{3}\of{63+t}}=\frac{8(u^6-63)-u^3}{4(u^6-63)-u^2} \)
ilorazu dwóch wielomianów \( \displaystyle F(u)=8(u^6-63)-u^3 \) oraz \( \displaystyle G(u)=4(u^6-63)-u^2 \) w punkcie \( \displaystyle u=2 \), ponieważ \( \displaystyle u(t)=\root{6}\of{63+t}\to 2 \), gdy \( \displaystyle t\to 1 \). Iloraz \( \displaystyle \frac{F(u)}{G(u)} \) stanowi symbol nieoznaczony \( \displaystyle \frac{0}{0} \) w punkcie \( \displaystyle u=2 \). Sprawdzenie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych tych wielomianów jest bardzo proste
\( \displaystyle \frac{F'(u)}{G'(u)}=\frac{48u^5-3u^2}{24u^5-2u} =\frac{48u^4-3u}{24u^4-2}\to \frac{381}{191}, \) gdy \( u\to 2. \)
Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje granica \( \displaystyle\lim_{t\to 1}\frac{8t-\sqrt{63+t}}{4t-\root{3}\of{63+t}} \) i jest równa \( \displaystyle \frac{381}{191} \).
Przykład 11.19.
Zbadajmy, czy funkcja \( \displaystyle f(x)=(x+2)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big) \) ma asymptotę ukośną. Stwierdzamy, że iloraz \( \displaystyle \frac{f(x)}{x}\to e \), gdy \( \displaystyle x\to\infty \). Następnie stajemy przed zadaniem wyznaczenia granicy różnicy \( \displaystyle f(x)-ex \) przy \( \displaystyle x\to \infty \). Wyrażenie to stanowi symbol nieoznaczony typu \( \displaystyle \infty-\infty \). Przekształćmy je:
\( \displaystyle \begin{align*} f(x)-ex & = (x+2)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-ex \\ & =x\bigg(\big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e\bigg) \\ & =\frac{\big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e}{\frac{1}{x}}. \end{align*} \)
Ułamek o liczniku \( \displaystyle \big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e \) oraz mianowniku \( \displaystyle \frac{1}{x} \) stanowi symbol nieoznaczony typu \( \displaystyle \frac{0}{0} \) przy \( \displaystyle x\to \infty \). Licznik i mianownik są funkcjami różniczkowalnymi w sąsiedztwie nieskończoności, tj. w przedziale typu \( \displaystyle (M, \infty) \), dla pewnego \( \displaystyle M \). Jednak już próba policzenia i uproszczenia pochodnej licznika jest dość nieprzyjemnym zadaniem. Zauważmy jednak, że podstawienie za \( \displaystyle \frac{x+1}{x-1}=:u \) nowej zmiennej, znacznie uprości rachunki. Mamy bowiem
\( \displaystyle \begin{align*} f(x)-ex & =x\bigg(\big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e\bigg) \\ & =\frac{u+1}{u-1}\bigg[\big(1+2\frac{u-1}{u+1}\big)\exp u-e\bigg] \\ & =\frac{(3u-1)\exp u-(u+1)e}{u-1}. \end{align*} \)
Stwierdzenie, czy istnieje granica ilorazu
\( \displaystyle \frac{(3u-1)\exp u-(u+1)e}{u-1} \) przy \( u\to 1 \)
(ponieważ \( \displaystyle u(x)=\frac{x+1}{x-1}\to 1 \), gdy \( \displaystyle x\to\infty \)) jest prostym zadaniem. Iloraz funkcji
\( \displaystyle F(u)=(3u-1)\exp u-(u+1)e \) oraz \( G(u)=u-1 \)
stanowi symbol nieoznaczony typu \( \displaystyle \frac{0}{0} \) w punkcie \( \displaystyle u=1 \); obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu. Wyznaczamy iloraz pochodnych i potrzebną granicę
\( \displaystyle \frac{F'(u)}{G'(u)}=\frac{3\exp u+(3u-1)\exp u -e}{1}\to 4e, \) gdy \( u\to 1. \)
Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje granica ilorazu \( \displaystyle \lim_{u\to 1}\frac{F(u)}{G(u)} \) i jest równa \( \displaystyle 4e \). Stąd ostatecznie wnioskujemy, że prosta \( \displaystyle y=ex+4e \) jest asymptotą ukośną funkcji \( \displaystyle f \) przy \( \displaystyle x\to \infty \). Podobne obliczenia pozwalają stwierdzić, że ta sama prosta jest także asymptotą funkcji \( \displaystyle f \) przy \( \displaystyle x\to -\infty \).