Uwaga 12.20.
Klasyczny schemat badania przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej obejmuje:
(1) Wyznaczenie dziedziny funkcji.
(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa, parzysta, nieparzysta.
(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów, z których w sumie składa się dziedzina funkcji, z wyszczególnieniem końców przedziałów, w których funkcja jest ciągła.
(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych, ukośnych.
(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych wykresu funkcji, np. miejsc zerowych, wartości w zerze; wyznaczenie zbioru, w którym funkcja przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.
(6) Badanie pierwszej pochodnej:
(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.
(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.
(9) Badanie drugiej pochodnej funkcji:
(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punktów przegięcia funkcji.
(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.
(12) Sporządzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.
Powstaje oczywiste pytanie, na ile ten klasyczny schemat jest aktualny i potrzebny dziś, gdy dysponujemy komputerami z zainstalowanymi programami do obliczeń symbolicznych (np. MATHEMATICA, MAPLE) i zamiast wykonywać żmudne rachunki wymienione w punktach od (1) do (11) możemy od ręki obejrzeć wykres interesującej nas funkcji, czyli zacząć i skończyć badanie funkcji na punkcie (12).
Wszystkich, którzy podzielają pogląd, że klasyczny schemat badania funkcji jest przeżytkiem, prosimy o skonstruowanie wykresu funkcji
\( \displaystyle f(x)=\left\{\begin{align*} (x+3)\exp\frac{x+1}{x-1}, \text{ dla } x\neq 1 \\ 0, \text{ dla } x=1\end{align*} \right. \)
np. za pomocą programu MATHEMATICA przez wypisanie w tym programie poleceń
f = (x+3)Exp[(x+1)/(x-1)] oraz Plot[f, x, -5.0, 5.0]
a następnie prosimy o odczytanie z otrzymanego rysunku jakichkolwiek punktów charakterystycznych funkcji \( \displaystyle f \).
Wobec oczywistej porażki (z wykresu, który przedstawia fragment niemal pionowej linii w pobliżu punktu \( \displaystyle x=1 \) można jedynie odczytać, że w zaproponowanym przedziale \( \displaystyle [-5, \ 5] \) funkcja przyjmuje duże wartości) powstaje potrzeba co najmniej powierzchownej analizy, która pozwoliłaby oszacować przedział, w którym funkcja może osiągać ekstrema. Próba poszukiwania po omacku metodą wybierania przedziału argumentów na chybił trafił być może po wielu próbach przyniosłaby zadawalający wynik w postaci przybliżonej, jednak prosta analiza znaku pochodnej danej funkcji znacznie szybciej prowadzi do znalezienia wszystkich ekstremów i innych punktów charakterystycznych danej funkcji i to w postaci dokładnej. Prześledźmy więc następujący przykład:
Przykład 12.21.
Klasyczny schemat badania funkcji
\( \displaystyle f(x)=\left\{\begin{align*} (x+3)\exp\frac{x+1}{x-1}, \text{ dla } x\neq 1 \\ 0, \text{ dla } x=1\end{align*} \right. \)
Obliczenia możemy wykonać samodzielnie, bądź wykorzystać procedury, które oferuje program do obliczeń symbolicznych (MATHEMATICA, MAPLE lub inny).
(1) Dziedziną \( \displaystyle f \) jest zbiór liczb rzeczywistych, na który składa się suma przedziałów \( \displaystyle (-\infty, 1)\cup(1, +\infty) \), w których funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła (będąc złożeniem funkcji ciągłych w obu przedziałach) oraz punkt \( \displaystyle \{1\} \), w którym funkcja \( \displaystyle f \) może nie mieć granicy.
(2) Funkcja \( \displaystyle f \) nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ani okresowa.
(3) Wyznaczmy granice funkcji \( \displaystyle f \) na końcach przedziałów ciągłości
\( \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty, \\ \displaystyle \lim_{x\to 1-} f(x)=0, \\ \displaystyle \lim_{x\to 1+} f(x)=\infty, \\ \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty. \end{array} \)
Funkcja nie ma granicy w punkcie \( \displaystyle x=1 \), nie jest więc ciągła w tym punkcie.
(4) Z punktu 3. wynika, że funkcja ma asymptotę pionową prawostronną w punkcie \( \displaystyle x=1 \) i nie ma asymptot poziomych, co nie wyklucza istnienia asymptot ukośnych.
Sprawdzamy, czy istnieje granica ilorazu \( \displaystyle \frac{f(x)}{x} \) przy \( \displaystyle x\to \infty \) i przy \( \displaystyle x\to-\infty \):
\( \displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=e, \alpha=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=e. \)
Wobec istnienia tych granic wyznaczamy granice różnic (zob. przykład zastosowania reguły de l'Hospitala w poprzednim module): \( \displaystyle b=\lim_{x\to \infty}(f(x)-ex)=5e,\beta=\lim_{x\to -\infty}(f(x)-ex)=5e. \) Wynika stąd, że prosta \( \displaystyle y=ex+5e \) jest asymptotą ukośną wykresu funkcji \( \displaystyle f \) zarówno przy \( \displaystyle x\to\infty \) jak i przy \( \displaystyle x\to-\infty \). Funkcja \( \displaystyle x\mapsto ex+5e \) w przedziale \( \displaystyle [-5, 5] \) osiąga wartości w przedziale \( \displaystyle [0, 10e] \).
Stąd ograniczenie zbioru wartości na wykresie generowanym przez program MATHEMATICA do tego przedziału, nieco poprawia wygląd wykresu funkcji \( \displaystyle f \).
Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -5, 5}, PlotRange -> {0,10 Exp[1]}](5) Funkcja \( \displaystyle f \) ma dwa miejsca zerowe. Są to punkty \( \displaystyle x=-3 \) oraz \( \displaystyle x=1 \). Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, więc czynnik \( \displaystyle \exp\frac{x+1}{x-1} \) jest dodatni. Na znak funkcji \( \displaystyle f \) ma wpływ jedynie czynnik \( \displaystyle x-3 \). Wobec tego funkcja \( \displaystyle f \)
Ponadto \( \displaystyle f(0)=\frac{3}{e} \).
Z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że funkcja \( \displaystyle f \) osiąga maksimum wewnątrz przedziału \( \displaystyle [-3,1] \). Ponieważ \( \displaystyle f \) jest ciągła w przedziale \( \displaystyle (0, \infty) \) i zmierza do nieskończoności, gdy \( \displaystyle x\to 0+ \) oraz \( \displaystyle x\to\infty \), więc \( \displaystyle f \) osiąga minimum lokalne w co najmniej jednym punkcie \( \displaystyle x_1>0 \).
(6) Badanie pierwszej pochodnej
\( \displaystyle f'(x)=\frac{x^2 -4x-5}{(x-1)^2}\exp\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-5)}{(x-1)^2}\exp\frac{x+1}{x-1}. \) >
Pochodna jest dodatnia w zbiorze
\( \displaystyle \{f'>0\}=(-\infty, -1)\cup (5, \infty) \)
i jest ujemna w zbiorze
\( \displaystyle \{f' < 0\}=(-1, 1)\cup (1,5). \)
(7) W oparciu o dane z punktu (6) wnioskujemy, że funkcja \( \displaystyle f \) rośnie w przedziałach
\( \displaystyle (-\infty, -1), \ \ (5,\infty) \)
i maleje w przedziałach
\( \displaystyle (-1, 1), \ \ (1,5). \)
(8) Zbiór punktów krytycznych funkcji \( \displaystyle f \) składa się z trzech elementów:
\( \displaystyle \{-1, \ 1, \ 5\}, \)
to jest miejsc zerowych pochodnej \( \displaystyle -1 \), \( \displaystyle 5 \) oraz punktu \( \displaystyle 1 \), który należy do dziedziny funkcji i nie należy do dziedziny pochodnej. Z punktu 7. wynika, że
Widzimy więc, że rysując wykres funkcji, musimy zadbać o to, aby zbiór wartości funkcji na wykresie zawierał co najmniej wartości \( \displaystyle f(1) \) oraz \( \displaystyle f(5) \).
Można np. przyjąć \( \displaystyle -6 < x < 8 \) oraz \( \displaystyle -10 < y < 50 \) i skorzystać z polecenia programu MATHEMATICA:
Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -6, 8}, PlotRange ->{-10, 50}]które wygeneruje wykres funkcji \( \displaystyle f \) i jej asymptoty ukośnej w zadanym obszarze płaszczyzny.
Dodatkowe polecenie
PlotPoints -> 1024
zwiększa rozdzielczość rysunku
PlotStyle -> {{Hue[0.95], Thickness[0.007]}, {Hue[0.3], Dashing[{0.02,0.03}]}}rysuje wykres funkcji \( \displaystyle f \) w kolorze zadanym przez Hue[0.95] o grubości Thickness[0.007] oraz asymptotę ukośną tej funkcji kolorem Hue[0.95] linią przerywaną zefiniowaną za pomocą Dashing[0.02,0.03] natomiast
AspectRatio -> 5/2
(stosunek wysokości do szerokości \( \displaystyle 5:2 \)) zmienia format rysunku. Ostatecznie:
Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -6, 8},
PlotRange -> {-10,50},
PlotPoints -> 1024,
PlotStyle -> {{Hue[0.95], Thickness[0.007]}, {Hue[0.3], Dashing[{0.02,0.03}]}},
AspectRatio -> 5/2](9) Druga pochodna funkcji
\( \displaystyle f''(x)=\frac{4(5x-1)}{(x-1)^4}\exp\frac{x+1}{x-1} \)
jest określona w zbiorze
\( \displaystyle (-\infty, 1)\cup (1, \infty). \)
Przyjmuje wartości dodatnie w zbiorze
\( \displaystyle \{f''>0\}=\big(\frac{1}{5}, 1\big)\cup (1, \infty), \)
a ujemne w zbiorze
\( \displaystyle \{f'' < 0\}=\big(-\infty, \frac{1}{5}\big). \)
Jedynym punktem, w którym zeruje się druga pochodna, jest \( \displaystyle x=\frac{1}{5} \).
(10) W oparciu o dane (z punktu (9)) o znaku drugiej pochodnej wnioskujemy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest (ściśle) wypukła w przedziałach
\( \displaystyle \big(\frac{1}{5}, 1\big), \ \ (1, \infty) \)
i jest (ściśle) wklęsła w przedziale
\( \displaystyle \big(-\infty, \frac{1}{5}\big). \)
Stąd punkt \( \displaystyle x=\frac{1}{5} \), w którym funkcja przyjmuje wartość
\( \displaystyle f\big(\frac{1}{5}\big)=\frac{16}{5}\exp\big(-\frac{3}{2}\big)=0,71\dots , \)
jest jedynym punktem przegięcia funkcji.
Program MATHEMATICA po wpisaniu polecenia
Plot[{f, y}, {x, -1, 1.5},
PlotRange -> {-1,3},
PlotPoints -> 1024,
PlotStyle -> {{Hue[0.95],
Thickness[0.007]}, {Hue[0.5]}},
AspectRatio -> 1]kreśli w przedziale \( \displaystyle [-1, \frac{3}{2}] \) wykres funkcji \( \displaystyle f \) i stycznej do wykresu o równaniu \( \displaystyle y=f'(x_p)(x-x_p)+f(x_p) \) w punkcie przegięcia \( \displaystyle x_p=\frac{1}{5} \).
(11) Zebranie wszystkich punktów charakterystycznych funkcji \( \displaystyle f \) (miejsca punkty nieciągłości, miejsca zerowe funkcji, jej pierwszej i drugiej pochodnej, ekstrema, punkty przegięcia) w jednej tabeli usprawnia przygotowanie starannego wykresu.
(12) Na wykresie staramy się przedstawić wszystkie punkty
charakterystyczne funkcji \( \displaystyle f \) jak też jej asymptoty.