Rozważamy skończone grafy \(\mathfrak{G}\) (ta litera to gotyckie G, w rozwiązaniu można pisać zwykłe G) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\).
Napisać zdanie \(\varphi\) logiki egzystencjalnej drugiego rzędu (tzn. postaci \(\exists R_{1}\ldots\exists R_{k}\psi(R_{1},\ldots,R_{k}),\) w którym \(\psi\) jest zdaniem pierwszego rzędu) takie, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) ma cykl Eulera.
Pokazać, że żadne zdanie \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu nie ma tej własności, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) ma cykl Eulera.
Niech wyrażenie \(E\) algebry relacyjnej ma taką właściwość, że żadne podwyrażenie \(E\) nie ma więcej niż \(k\) kolumn. Pokazać, że istnieje algorytm obliczający wartość \([\![E]\!]\) w bazie strukturze \(\mathfrak{A}\), który działa w czasie \(O(n^{k}\log n),\) gdzie \(n\) to liczność dziedziny aktywnej \(\mathfrak{A}\).
Przy projektowaniu algorytmu należy założyć, że dziedzina aktywna składa się z liczb całkowitych typu integer, a do dyspozycji są jednowymiarowe tablice indeksowane nieujemnymi liczbami całkowitymi i zawierające takież liczby. Dostęp do komórki tablicy jest wykonywany w czasie jednostkowym, podobnie jak operacje arytmetyczne i porównania na liczbach całkowitych. Relacje z \(\mathfrak{A}\) są przekazywane do algorytmu właśnie w takich tablicach: relacja o \(l\) kolumnach jest reprezentowana przez \(l\) tablic, a dane zajmują początkowe indeksy.
Rozważamy skończone drzewa binarne \(\mathfrak{T}\) (ta litera to gotyckie T, w rozwiązaniu można pisać zwykłe T) nad sygnaturą składającą się z dwóch dwuargumentowych symboli relacyjnych \(L\) i \(P\), przy czym \(L(x,y)\) oznacza że \(y\) to lewy syn ojca \(x\), podobnie dla \(P\) oznaczającego prawego syna. Każdy wiechołek może mieć 0, 1 lub 2 synów, zawsze najwyżej jednego lewego jednego prawego.
Udowodnić, że dla każdego naturalnego \(n\) istnieje zdanie \(\varphi _{n}\) logiki pierwszego rzędu, w którym występują tylko dwie zmienne (które można rekwantyfikować tak często jak potrzeba), takie że dla każdego skończonego drzewa binarnego \(\mathfrak{T}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{T}\models\varphi _{n}\) wtw \(\mathfrak{T}\) jest pełnym drzewem binarnym o głębokości \(n\).
Sygnatura składa się z dwuargumentowego symbolu funkcyjnego \(\circ\), jednoargumentowego symbolu funkcyjnego \(inv\) i symbolu stałej \(id\). Model \(\mathfrak{F}\) (ta litera to gotyckie F, w rozwiązaniu można pisać zwykłe F) nad tą sygnaturą nazywamy grupą bijekcji, gdy jego uniwersum stanowi zbiór wszystkich bijekcji \(f:A\to A\) dla pewnego zbioru \(A,\) a operacje mają następujące interpretacje: \(\circ^{\mathfrak{F}}\) to operacja składania funkcji, \(inv^{\mathfrak{F}}\) to operacja brania funkcji odwrotnej, a \(id^{\mathfrak{F}}\) to funkcja indentycznościowa z \(A\) w \(A\).
Udowodnić, że nie istnieje zbiór \(\Gamma\) zdań logiki pierwszego rzędu taki, że \(\mathfrak{B}\models\Gamma\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{B}\) jest izomorficzny do pewnej grupy bijekcji.