Sformułujmy parę uwag, które wynikają bezpośrednio z definicji wypukłości funkcji.
Uwaga 12.3.
a) Jeśli \( \displaystyle f \) jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), to jest również wypukła w dowolnym mniejszym przedziale \( \displaystyle (a_1, b_1) \) zawartym w \( \displaystyle (a,b). \)
b) Funkcja \( \displaystyle x\mapsto f(x) \) jest wypukła (odpowiednio: ściśle wypukła) w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja \( \displaystyle x\mapsto -f(x) \) jest wklęsła (odpowiednio: ściśle wklęsła) w tym przedziale.
c) Jeśli \( \displaystyle C>0 \) jest stałą dodatnią, to funkcja \( \displaystyle x\mapsto C f(x) \) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle f \) jest wypukła.
d) Jeśli \( \displaystyle C \) jest dowolną stałą, to funkcja \( \displaystyle x\mapsto C+ f(x) \) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle f \) jest wypukła.
e) Suma funkcji wypukłych jest funkcją wypukłą.
Kolejne elementarne własności funkcji wypukłych podaje
Twierdzenie 12.4.
a) Złożenie \( \displaystyle g\circ f \) funkcji wypukłych \( \displaystyle f \) i \( \displaystyle g \) jest funkcją wypukłą, jeśli \( \displaystyle g \) jest funkcją rosnącą.
b) Funkcja \( \displaystyle g \) odwrotna do funkcji \( \displaystyle f \) wypukłej rosnącej jest wklęsła rosnąca.
c) Funkcja ściśle wypukła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) nie osiąga maksimum w żadnym punkcie tego przedziału.
d) Funkcja ściśle wklęsła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) nie osiąga minimum w żadnym punkcie tego przedziału.
Dowód 12.4.
a) Funkcja \( \displaystyle f \) jest wypukła w \( \displaystyle (a,b) \), więc
\( \displaystyle f\big((1-t)x+ty\big)\leq (1-t)f(x)+tf(y) \)
dla dowolnych \( \displaystyle x,y\in (a,b) \), \( \displaystyle t\in [0,1] \). Mamy następnie nierówność
\( \displaystyle g\bigg(f\big((1-t)x+ty\big)\bigg)\leq g\big((1-t)f(x)+tf(y)\big), \)
ponieważ funkcja \( \displaystyle g \) jest rosnąca. Zuwagi na wypukłość \( \displaystyle g \) mamy
\( \displaystyle g\big((1-t)f(x)+tf(y)\big)\leq (1-t)g(f(x))+tg(f(y)), \)
czyli
\( \displaystyle (g\circ f)\big((1-t)x+ty\big)\leq (1-t)(g\circ f )(x)+t(g\circ f )(y) \)
dla dowolnych \( \displaystyle x,y\in (a,b) \) i \( \displaystyle 0\leq t\leq 1 \). Stąd złożenie \( \displaystyle g\circ f \) jest funkcją wypukłą.
b) Niech \( \displaystyle a < x_1 < x_2 < b \) i niech \( \displaystyle y_1=f(x_1) \), \( \displaystyle y_2=f(x_2) \). Wówczas \( \displaystyle g(y_1)=x_1 \) oraz \( \displaystyle g(y_2)=x_2 \). Funkcja odwrotna do rosnącej jest rosnąca, gdyż
\( \displaystyle \begin{align*} x_1 & < x_2 & & \Leftrightarrow \ \ f(x_1) < f(x_2) \\ & & \Updownarrow & \\ g(y_1) & < g(y_2) & & \Leftrightarrow \ \ y_1 < y_2.\end{align*} \)
Z wypukłości funkcji \( \displaystyle f \) mamy
\( \displaystyle f\big((1-t)x_1 +t x_2\big) \leq (1-t)f(x_1)+tf(x_2) \ \ \text{ dla } t\in [0,1], \)
co jest równoważne nierównościom
\( \displaystyle \begin{align*} & g\bigg(f\big((1-t)x_1 +t x_2\big)\bigg) & \leq & g\big((1-t)y_1+ty_2\big) & \\ & (1-t)x_1 +t x_2 & \leq & g\big((1-t)y_1+ty_2\big) & \\ & (1-t)g(y_1) +t g(y_2) & \leq & g\big((1-t)y_1+ty_2\big) & \text{ dla } t\in [0,1], \end{align*} \)
czyli \( \displaystyle g \) jest wklęsła.
c) Przypuśćmy wbrew tezie, że funkcja \( \displaystyle f \) osiąga maksimum w pewnym punkcie \( \displaystyle x_0\in(a,b) \). Funkcja \( \displaystyle f \) nie jest stała, istnieje więc liczba \( \displaystyle h>0 \) taka, że \( \displaystyle f(x_0-h) < f(x_0) \) oraz \( \displaystyle f(x_0+h) < f(x_0) \). Wobec tego
\( \displaystyle \frac{1}{2}f(x_0-h)+\frac{1}{2}f(x_0+h) < f(x_0)=f\big(\frac{1}{2}(x_0-h)+\frac{1}{2}(x_0+h)\big) \)
co oznacza, że funkcja \( \displaystyle f \) nie jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (x_0-h, x_0+h) \). Sprzeczność.
d) Dowód przebiega podobnie do dowodu własności c).
Definicja 12.5.
Jeśli dla pewnej liczby \( \displaystyle h>0 \) funkcja \( \displaystyle f \), określona w przedziale \( \displaystyle (a-h, a+h) \), jest
albo na odwrót:
to mówimy, że punkt \( \displaystyle a \) jest punktem przegięcia (wykresu) funkcji \( \displaystyle f \).
Przykład 12.6.
a) Funkcja stała \( \displaystyle f(x)=C \) jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (-\infty, \infty) \); nie jest ściśle wypukła.
b) Funkcja \( \displaystyle f(x)=|x| \) jest wypukła w każdym przedziale \( \displaystyle (-\infty, \infty) \); nie jest ściśle wypukła.
c) Funkcja \( \displaystyle f(x)=x^{2n} \) jest ściśle wypukła w całym zbiorze liczb rzeczywistych, gdy wykładnik \( \displaystyle 2n \) jest dowolną parzystą liczbą dodatnią. Gdy \( \displaystyle 2n \) jest parzystą liczbą ujemną, to \( \displaystyle f \) jest ściśle wypukła w obu przedziałach \( \displaystyle (-\infty, 0) \) oraz \( \displaystyle (0, \infty) \).
d) Gdy wykładnik \( \displaystyle 2n+1 \) jest nieparzystą liczbą dodatnią lub ujemną, funkcja \( \displaystyle f(x)=x^{2n+1} \) jest ściśle wypukła w przedziale \( \displaystyle (0,\infty) \) i jest ściśle wklęsła w przedziale \( \displaystyle (-\infty, 0) \). Punkt \( \displaystyle 0 \) jest więc punktem przegięcia funkcji \( \displaystyle f(x)=x^{2n+1} \), gdy wykładnik jest dowolną liczbą nieparzystą dodatnią. Gdy wykładnik \( \displaystyle 2n+1 \) jest liczbą ujemną, liczba \( \displaystyle 0 \) nie należy do dziedziny funkcji \( \displaystyle f \), nie jest więc punktem przegięcia funkcji \( \displaystyle f \).
e) Funkcja \( \displaystyle f(x)=\sin x \) jest ściśle wypukła w każdym z przedziałów \( \displaystyle (-\pi+2k\pi, 0+2k\pi) \) i jest ściśle wklęsła w każdym z przedziałów \( \displaystyle (0+2k\pi, \pi+2k\pi) \), \( \displaystyle k\in\mathbb{Z} \). Stąd każdy punkt \( \displaystyle k \pi \), \( \displaystyle k\in\mathbb{Z} \), jest punktem przegięcia tej funkcji.