Definicja 13.1.
Niech \( \displaystyle D\subseteq \mathbb{R} \) będzie przedziałem oraz niech \( \displaystyle f\colon D\longrightarrow\mathbb{R} \) będzie funkcją.
Funkcję \( \displaystyle F\colon D\longrightarrow\mathbb{R} \) nazywamy pierwotną funkcji \( \displaystyle f, \) jeśli \( \displaystyle F \) jest różniczkowalna i \( \displaystyle F'=f. \)
Twierdzenie 13.2.
Dwie dowolne pierwotne funkcji \( \displaystyle f\colon \mathbb{R}\supseteq D\longrightarrow\mathbb{R} \) różnią się o stałą, to znaczy
(1) Jeśli \( \displaystyle F \) i \( \displaystyle G \) są pierwotnymi funkcji \( \displaystyle f, \) to \( \displaystyle F-G=c \) dla pewnego \( \displaystyle c\in\mathbb{R}. \)
(2) Jeśli \( \displaystyle F \) jest pierwotną funkcji \( \displaystyle f \) oraz \( \displaystyle F-G=c \) dla pewnego \( \displaystyle c\in\mathbb{R}, \) to \( \displaystyle G \) też jest pierwotną funkcji \( \displaystyle f. \)
Dowód 13.2.
(Ad (1)) Jeśli \( \displaystyle F \) i \( \displaystyle G \) są pierwotnymi funkcji \( \displaystyle f, \) to mamy \( \displaystyle (F-G)'=F'-G'=f-f=0. \) Ponieważ pochodna różnicy \( \displaystyle F-G \) wynosi \( \displaystyle 0, \) więc różnica ta musi być stała. Zatem istnieje \( \displaystyle c\in\mathbb{R} \) takie, że \( \displaystyle F-G=c. \)
(Ad (2)) Załóżmy, że \( \displaystyle F \) jest pierwotną funkcji \( \displaystyle f \) oraz funkcje \( \displaystyle F \) i \( \displaystyle G \) różnią się o stałą, to znaczy \( \displaystyle G=F+c \) dla pewnej stałej \( \displaystyle c\in\mathbb{R}. \) Ponieważ \( \displaystyle F \) jest różniczkowalna (jako pierwotna) oraz funkcja stała jest różniczkowalna, więc także funkcja \( \displaystyle G \) jest różniczkowalna. Licząc pochodną sumy, dostajemy
\( \displaystyle G' \ =\ (F+c)'=F' \ =\ f, \)
zatem \( \displaystyle G \) jest także pierwotną funkcji \( \displaystyle f. \)
Definicja 13.3. [całka nieoznaczona, całkowanie]
Całką nieoznaczoną funkcji \( \displaystyle f \) nazywamy zbiór jego pierwotnych i oznaczamy
\( \displaystyle \int f(x)\,dx \) lub \( int f\,dx. \)
Całkowaniem nazywamy wyznaczanie całki.
Oczywiście, jeśli zmienna funkcji \( \displaystyle f \) nazywa się \( \displaystyle t, \) to piszemy \( \displaystyle \int f(t)\,dt \) lub \( \displaystyle \int f\,dt \), a jeśli zmienna funkcji \( \displaystyle f \) nazywa się na przykład \( \displaystyle \xi, \) to piszemy \( \displaystyle \int f(\xi)\,d\xi \) lub \( \displaystyle \int f\,d\xi \).
Wniosek 13.4.
Jeśli \( \displaystyle F \) jest pierwotną funkcji \( \displaystyle f, \) to
\( \displaystyle \int f(x)\,dx \ =\ F(x)+c. \)
Uwaga 13.5.
Jeśli \( \displaystyle F \) jest jedną z pierwotnych funkcji \( \displaystyle f \) oraz \( \displaystyle (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2, \) to pierwotna \( \displaystyle G \) funkcji \( \displaystyle f \) spełniająca \( \displaystyle G(x_0)=y_0 \) (to znaczy której wykres przechodzi przez punkt \( \displaystyle (x_0,y_0) \)) jest równa
\( \displaystyle G(x) \ =\ F(x)+c, \)
gdzie \( \displaystyle C=y_0-F(x_0). \)
Przykład 13.6.
Funkcja pierwotna nie zawsze istnieje.
Rozważmy następującą funkcję \( \displaystyle f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \)
\( \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lll} 0 & \textrm{gdy} & x\ne 0, \\ 1 & \textrm{gdy} & x= 0. \end{array} . < br> \right. \)
Pokażemy, że \( \displaystyle f \) nie ma pierwotnej. Dla dowodu niewprost, przypuśćmy, że funkcja ta posiada pierwotną \( \displaystyle F\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}. \) Wówczas \( \displaystyle F'=f. \) Na przedziale \( \displaystyle (-\infty,0), \) funkcja \( \displaystyle f \) jest tożsamościowo równa \( \displaystyle 0, \) zatem jej pierwotna jest stała, powiedzmy \( \displaystyle F|_{(-\infty,0)}\equiv a. \) Podobnie na przedziale \( \displaystyle (0,+\infty), \) powiedzmy \( \displaystyle F|_{(0,+\infty)}\equiv b. \) Ponieważ funkcja pierwotna jest ciągła (jako różniczkowalna), zatem
\( \displaystyle a \ =\ \lim_{x\to 0^-}F(x) \ =\ \lim_{x\to 0^+}F(x) \ =\ b \)
oraz \( \displaystyle a=F(0)=b. \) Zatem pokazaliśmy, że \( \displaystyle F\equiv a. \) Ale wówczas \( \displaystyle F'=0\ne f, \) sprzeczność. Zatem tak zdefiniowana funkcja \( \displaystyle f \) nie ma pierwotnej.
Zachodzi natomiast następujące twierdzenie (które podajemy tutaj bez dowodu).
Twierdzenie 13.7.
Każda funkcja ciągła ma pierwotną.