Całkowanie funkcji wymiernych

Zacznijmy od przypomnienia znanego ze szkoły twierdzenia.

Twierdzenie 13.15. [Podstawowe twierdzenie algebry (w wersji rzeczywistej)]

Dowolny wielomian można rozłożyć na czynniki nierozkładalne stopnia co najwyżej \( \displaystyle 2, \) to znaczy

\( \begin{array}{lll} \displaystyle Q(x) & = & c(x-A_1)^{k_1}(x-A_2)^{k_2}\ldots \\ & \ldots & \displaystyle (x-A_r)^{k_r} (x^2+B_1x+C_1)^{l_1}(x^2+B_2x+C_2)^{l_2}\ldots (x^2+B_sx+C_s)^{l_s}, \end{array} \)

gdzie stopień wielomianu \( \displaystyle Q \) wynosi

\( \displaystyle \deg Q\ =\ k_1+k_2+\ldots+k_r+2(l_1+l_2+\ldots+l_s) \)

oraz

\( B_i^2-4C_i < 0\ \) dla \( i=1,2,\ldots s. \)

Definicja 13.16. [ułamki proste]

Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne postaci:

\( \displaystyle \frac{a}{(x-A)^k} \) oraz \( \displaystyle \frac{bx+c}{(x^2+Bx+C)^s}, \)

gdzie \( \displaystyle a,b,c,A,B,C\in\mathbb{R},k,s\in\mathbb{N},B^2-4C < 0. \)

Podamy twierdzenie, które pozwoli na obliczanie całki z dowolnej funkcji wymiernej. Ponieważ twierdzenie to "wygląda" dość formalnie, proponujemy przestudiować najpierw poniższy przykład.

Przykład 13.17.

Obliczyć całkę z następującej funkcji wymiernej \( \displaystyle \int\frac{3x+5}{2x^2-5x-3}\,dx. \)

Rozwiązanie

Zauważmy, że trójmian w mianowniku rozkłada się na iloczyn: \( \displaystyle 2x^2-5x-3=2\bigg(x+\frac{1}{2}\bigg)(x-3). \) Spróbujmy, czy naszą funkcję wymierną można by zapisać w następującej postaci

\( \displaystyle \frac{3x+5}{2x^2-5x-3} \ =\ \frac{A}{x+\frac{1}{2}} +\frac{B}{x-3}. \)

Gdyby się to udało, to potrafilibyśmy w prosty sposób wyliczyć całkę z funkcji wymiernej (gdyż łatwo wyliczyć całki z obu składników po prawej stronie; porównaj uwaga 13.20. poniżej).

Wymnażając stronami przez wspólny mianownik \( \displaystyle (2x^2-5x-3), \) otrzymujemy

\( \displaystyle 3x+5 \ =\ 2A(x-3) +2B\bigg(x+\frac{1}{2}\bigg). \)

Porządkując powyższe wyrażenie i porównując współczynniki przy \( \displaystyle x \) oraz wyrazy wolne po obu stronach, możemy łatwo wyliczyć, że \( \displaystyle A=-\frac{1}{2} \) oraz \( \displaystyle B=2. \) Zatem otrzymaliśmy rozkład

\( \displaystyle \frac{3x+5}{2x^2-5x-3} \ =\ \frac{-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}} +\frac{2}{x-3}. \)

Możemy teraz policzyć całkę

\( \displaystyle \begin{align*} \int\frac{3x+5}{2x^2-5x-3}\,dx & = & \int\frac{-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}\,dx +\int\frac{2}{x-3}\,dx \ =\ -\frac{1}{2}\int\frac{1}{x+\frac{1}{2}}\,dx +2\int\frac{1}{x-3}\,dx \\ & = & -\frac{1}{2}\ln\bigg|x+\frac{1}{2}\bigg| +2\ln|x-3|+c. \end{align*} \)

To, że funkcję wymierną w powyższym przykładzie udało się rozłożyć na prostsze ułamki nie jest przypadkiem.

Okazuje się, że funkcję wymierną można zawsze przedstawić jako sumę ułamków prostych. Jeśli zatem będziemy umieli scałkować ułamki proste, to dzięki liniowości całki będziemy potrafili scałkować dowolną funkcję wymierną (o ile jej mianownik efektywnie rozłożymy na czynniki stopnia co najwyżej drugiego). Kolejne twierdzenie o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste będzie więc bardzo przydatne w rachunkach.

Twierdzenie 13.18. [O rozkładzie na ułamki proste]

Niech \( \displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \) będzie funkcją wymierną, gdzie \( \displaystyle \deg P=m < n=\deg Q. \) Wówczas istnieje jedyny rozkład funkcji \( \displaystyle f \) na ułamki proste oraz jeśli

\( \displaystyle f(x) \ =\ \frac{P(x)}{(x-A_1)^{k_1}(x-A_2)^{k_2}\ldots (x-A_r)^{k_r} (x^2+B_1x+C_1)^{l_1}(x^2+B_2x+C_2)^{l_2}\ldots (x^2+B_sx+C_s)^{l_s}}, \)

gdzie

\( \displaystyle B_i^2-4C_i < 0 \) dla \( i=1,2,\ldots s, \)

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} & = & \displaystyle \frac{a_1^1}{(x-A_1)}+ \frac{a_2^1}{(x-A_1)^2}+ \ldots + \frac{a_{k_1}^1}{(x-A_1)^{k_1}} \\ & + & \displaystyle \frac{a_1^2}{(x-A_2)}+ \frac{a_2^2}{(x-A_2)^2} + \ldots +\frac{a_{k_2}^2}{(x-A_2)^{k_2}} \\ & + & \displaystyle \ldots \\ & + & \displaystyle \frac{a_1^r}{(x-A_r)}+\frac{a_2^r}{(x-A_r)^2}+\ldots+\frac{a_{k_r}^r}{(x-A_r)^{k_r}} \\ & + & \displaystyle \frac{b_1^1x+c_1^1}{(x^2+B_1x+C_1)}+\frac{b_2^1x+c_2^1}{(x^2+B_1x+C_1)^2}+\ldots + \frac{b_{l_1}^1x+c_{l_1}^1}{(x^2+B_1x+C_1)^{l_1}} \\ & + & \displaystyle \frac{b_1^2x+c_1^2}{(x^2+B_2x+C_2)}+ \frac{b_2^2x+c_2^2}{(x^2+B_2x+C_2)^2}+\ldots + \frac{b_{l_2}^2x+c_{l_2}^2}{(x^2+B_2x+C_2)^{l_2}} \\ & + & \displaystyle \ldots \\ & + & \displaystyle \frac{b_1^sx+c_1^s}{(x^2+B_sx+C_s)}+\frac{b_2^sx+c_2^s}{(x^2+B_sx+C_s)^2}+\ldots+ \frac{b_{l_s}^sx+c_{l_s}^s}{(x^2+B_sx+C_s)^{l_s}} \\ & = & \displaystyle \sum_{i=1}^r\sum_{j_i=1}^{k_i}\frac{a^i_{j_i}}{(x-A_i)^{j_i}} +\sum_{i=1}^s\sum_{j_i=1}^{l_i}\frac{b^i_{j_i}x+c^i_{j_i}}{(x^2+B_ix+C_i)^{j_i}}. \end{array} \)

Przykład 13.19.

Rozłożyć funkcję wymierną \( \displaystyle f(x)= \frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9} \) na ułamki proste.

Rozwiązanie

Ponieważ stopień licznika jest większy od stopnia mianownika, więc musimy najpierw wydzielić wielomiany. Dokonując dzielenia licznika przez mianownik, dostajemy

\( \displaystyle \frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9} \ =\ x+\frac{2x^3-x^2+4x-3}{x^4+2x^2+9}. \)

Pozostaje do rozłożenia na ułamki proste druga funkcja wymierna. Zauważmy, że mianownik wynosi

\( \displaystyle x^4+2x^2+9 \ =\ (x^2+3)^2-4x^2 \ =\ (x^2+2x+3)(x^2-2x+3) \)

oraz oba trójmiany kwadratowe są nierozkładalne. Zatem rozkład na ułamki proste jest postaci

\( \displaystyle \frac{2x^3-x^2+4x-3}{(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)} \ =\ \frac{bx+c}{x^2+2x+3}+\frac{dx+e}{x^2-2x+3}. \)

Mnożąc stronami przez wspólny mianownik, dostajemy

\( \displaystyle 2x^3-x^2+4x-3 \ =\ (ax+b)(x^2-2x+3)+(cx+d)(x^2+2x+3). \)

Wykonując działania po prawej stronie i korzystając z faktu, że dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie współczynniki obu wielomianów są równe, dostajemy następujący układ równań

\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {rrrrrrrrr} a & & & + & c & & & = & 2 \\ -2a & + & b & + & 2c & + & d & = & -1 \\ 3a & - & 2b & + & 3c & + & 2d & = & 4 \\ & & 3b & & & + & 3d & = & -3, \end{array} \right . \)

którego rozwiązaniem jest

\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {lll} a & = & 1 \\ b & = & 0 \\ c & = & 1 \\ d & = & -1. \end{array} \right . \)

Zatem ostatecznie mamy

\( \displaystyle \frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9} \ =\ x+ \frac{x}{x^2+2x+3}+\frac{x-1}{x^2-2x+3}. \)

Uwaga 13.20.

Korzystając z liniowości całki nieoznaczonej dla policzenia całki z funkcji wymiernej \( \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \), wystarczy umieć policzyć całki z ułamków prostych. Znamy już całki z ułamków:

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \int\frac{A}{x-a}\,dx & = & \displaystyle A\ln (x-a)+c, \\ \int\frac{A}{(x-a)^k}\,dx & = & \displaystyle -\frac{A}{k-1}\cdot\frac{1}{(x-a)^{k-1}}+c, \quad\textrm{dla}\ k\ge 2. \end{array} \)

Całki z ułamków prostych postaci \( \displaystyle \frac{bx+c}{(x^2+Bx+C)^k} \) będą policzone na ćwiczeniach (patrz ćwiczenie 13.4.).