Definicja 15.1.
Niech \( \displaystyle -\infty < a < b < +\infty. \) Krzywą nazywamy zbiór punktów
\( \displaystyle K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\}, \)
gdzie \( \displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\colon[a,b]\longrightarrow\mathbb{R} \) są dwiema funkcjami ciągłymi. Piszemy:
\( \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} . \right. \ \qquad t\in[a,b]. \)
Powyższe równanie nazywamy też równaniem parametrycznym krzywej.
Przykład 15.2.
Zapiszmy parametryczne równanie okręgu o promieniu \( \displaystyle R>0 \) w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2. \) Jeśli jako parametr \( \displaystyle t \) przyjmiemy kąt jaki tworzy promień poprowadzony do punktu \( \displaystyle \displaystyle (x,y) \) na okręgu, to widzimy (patrz rysunek), że \( \displaystyle x=\cos t \) i \( \displaystyle y=\sin t. \) Zatem następująca krzywa:
\( \displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=R\cos t \\ y=R\sin t \end{array} . \right. \qquad t\in[0,2\pi] \) opisuje okrąg.
Definicja 15.3.
Mówimy, że punkt \( \displaystyle \displaystyle (x,y)\in K \) jest punktem wielokrotnym krzywej \( \displaystyle K, \) jeśli
\( \displaystyle \exists t_1,t_2\in(a,b):\ t_1\ne t_2\quad\land\quad (x,y)=\big(\varphi(t_1),\psi(t_1)\big)=\big(\varphi(t_2),\psi(t_2)\big). \)
Krzywą \( \displaystyle K \) nazywamy zwyczajną, jeśli nie zawiera punktów wielokrotnych, to znaczy
\( \begin{array}{ll} \displaystyle & \bigg[ \big(\varphi(t_1),\psi(t_1)\big)=\big(\varphi(t_2),\psi(t_2)\big),\ t_1\le t_2 \bigg] \\ \\ \Longrightarrow & \bigg[ \big(t_1= t_2\big)\quad\lor\quad \big(t_1=a\ \land\ t_2=b\big) \bigg].\end{array} \)
Definicja 15.4.
Niech
\( \displaystyle a \ =\ t_0 \ < \ t_1 \ < \ \ldots \ < \ t_n \ =\ b \)
będzie podziałem przedziału \( \displaystyle \displaystyle [a,b]. \) Łamaną \( \displaystyle p \) łączącą punkty:
\( \displaystyle \big(\varphi(t_0),\psi(t_0)\big), \ \ldots,\ \big(\varphi(t_n),\psi(t_n)\big) \)
nazywamy łamaną wpisaną w krzywą \( \displaystyle K \). Przez \( \displaystyle l(p) \) oznaczamy długość łamanej \( \displaystyle p \) (to znaczy sumę długości odcinków wchodzących w skład łamanej).
Definicja 15.5.
Długością krzywej \( \displaystyle K \) nazywamy liczbę:
\( \displaystyle l(K) \ =\ \sup_p l(p), \)
gdzie supremum jest brane po wszystkich łamanych wpisanych w \( \displaystyle K. \)
Definicja 15.6.
Jeśli \( \displaystyle l(K) < +\infty \), to mówimy, że krzywa \( \displaystyle K \) jest prostowalna. Twierdzenie 15.7.
Niech \( \displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} \) będą klasy \( \displaystyle C^1 \) oraz niech \( \displaystyle K=K(\varphi,\psi) \) będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas krzywa \( \displaystyle K \) jest prostowalna.
Łamana wpisana w krzywą
Dowód 15.7. [nadobowiązkowy]
Niech \( \displaystyle p \) będzie dowolną łamaną wpisaną w krzywą \( \displaystyle K, \) to znaczy istnieje podział
\( \displaystyle a \ =\ t_0 \ < \ t_1 \ < \ \ldots \ < \ t_n \ =\ b \)
taki, że \( \displaystyle p \) jest łamaną o wierzchołkach \( \displaystyle \displaystyle (x_i,y_i) \) dla \( \displaystyle i=0,\ldots,n, \) gdzie
\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x_i\ =\ \varphi(t_i) \\ y_i\ =\ \psi(t_i) \end{array} . \right. \ \qquad i\in\{0,\ldots,n\}. \)
Długość łamanej \( \displaystyle p \) wyraża się wzorem:
\( \displaystyle l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\big(x_i-x_{i-1}\big)^2+\big(y_i-y_{i-1}\big)^2}. \)
Ponieważ \( \displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\in C^1\big([a,b];\mathbb{R}\big), \) więc z twierdzenia o wartości średniej (patrz twierdzenie 9.37.) mamy
\( \displaystyle x_i-x_{i-1} \ =\ \varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}) \ =\ \varphi'(\tau_i)(t_i-t_{i-1}), \)
\( \displaystyle y_i-y_{i-1} \ =\ \psi(t_i)-\psi(t_{i-1}) \ =\ \psi'(\tau^*_i)(t_i-t_{i-1}), \)
gdzie
\( \tau_i\in (t_{i-1},t_i),\quad i=1,\ldots n,\quad \tau^*_i\in (t_{i-1},t_i),\quad i=1,\ldots n. \)
Zatem
\( \displaystyle l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\varphi'(\tau_i)^2+\psi'(\tau^*_i)^2}\cdot(t_i-t_{i-1}). \)
Ponieważ \( \displaystyle \displaystyle\varphi',\psi'\in C\big([a,b];\mathbb{R}\big) \) i przedział \( \displaystyle \displaystyle [a,b] \) jest zwarty, więc funkcje \( \displaystyle \displaystyle\varphi',\psi' \) są ograniczone.
Definiujemy
\( \displaystyle M \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad M^* \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\psi'(t), \)
\( \displaystyle m \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad m^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\psi'(t). \)
Zatem
\( \displaystyle \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(p) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a). \)
Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla dowolnej łamanej \( \displaystyle p \) wpisanej w krzywą \( \displaystyle K, \) więc przechodząc do supremum po wszystkich takich łamanych, dostajemy
\( \displaystyle \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(K) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a), \)
a zatem krzywa \( \displaystyle K \) jest prostowalna.
Uwaga 15.8.
W powyższym twierdzeniu (jak i twierdzeniach następnych) zakładamy, że krzywa jest klasy \( \displaystyle C^1. \) (to znaczy \( \displaystyle \varphi,\psi \), są klasy \( C^1 \)) W zastosowaniach okaże się jednak, że często będziemy mieli do czynienia z krzywymi, które są tylko ciągłe, zwyczajne oraz "kawałkami" klasy \( \displaystyle C^1, \) to znaczy krzywą można otrzymać jako "sklejenie" kilku krzywych klasy \( \displaystyle C^1 \) (przy sklejaniu początek następnej krzywej jest końcem poprzedniej). Wszystkie wypowiadane tu twierdzenia dla krzywych klasy \( \displaystyle C^1 \) stosują się także do krzywych kawałkami klasy \( \displaystyle C^1. \)
Krzywa \( K(t) \)
Definicja 15.9.
Niech \( \displaystyle K=K(\varphi,\psi) \) będzie krzywą. Zdefiniujmy:
\( \displaystyle K(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ \bigg\{\big(\varphi(\tau),\psi(\tau)\big):\ \tau\in[a,t]\bigg\}, \)
oraz
\( \displaystyle s(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ l\big(K(t)\big)\quad \) (długośćkrzywejK(t)) \( \displaystyle . \)
W szczególności \( \displaystyle s(b)=l(K). \)
Niech \( \displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} \) będą klasy \( \displaystyle C^1 \) oraz niech \( \displaystyle K=K(\varphi,\psi) \) będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas
\( \displaystyle s'(t) \ =\ \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2} \qquad\forall\ t\in[a,b]. \)
Dowód 15.10. [nadobowiązkowy]
Niech \( \displaystyle t_0,t_0+h\in[a,b]. \) Analogicznie do ostatniego oszacowania w dowodzie twierdzenia 15.7. dostajemy:
\( \displaystyle \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2}\cdot h \ \le\ s(t_0+h)-s(t_0) \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}\cdot h, \)
gdzie
\( \displaystyle M_h \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad M_h^* \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t), \)
\( \displaystyle m_h \ =\ \inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad m_h^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t). \)
Dzielimy wszystkie strony powyższego oszacowania przez \( \displaystyle h, \) dostając:
\( \displaystyle \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2} \ \le\ \frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}. \)
Ponieważ funkcje \( \displaystyle \displaystyle\varphi' \) i \( \displaystyle \displaystyle\psi' \) są ciągłe, więc dostajemy
\( \displaystyle \begin{align*} M_h & \xrightarrow[h \to 0]{} & \varphi'(t_0), \\ m_h & \xrightarrow[h \to 0]{} & \varphi'(t_0), \\ M_h^* & \xrightarrow[h \to 0]{} & \psi'(t_0), \\ m_h^* & \xrightarrow[h \to 0]{} & \psi'(t_0). \end{align*} \)
Z powyższych oszacowań oraz z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy:
\( \displaystyle s'(t_0) \ =\ \lim_{h \to 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ =\ \sqrt{\varphi'(t_0)^2+\psi'(t_0)^2}. \)
Twierdzenie 15.11. [O długości krzywej]
Niech \( \displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} \) będą klasy \( \displaystyle C^1 \) oraz niech \( \displaystyle K=K(\varphi,\psi) \) będzie krzywą zwyczajną. Wówczas długość krzywej wyraża się wzorem
\( \displaystyle l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau. \)
W szczególności, jeśli krzywa zadana jest wykresem funkcji \( \displaystyle y=f(x), \) dla \( \displaystyle x\in[a,b], \) to
\( \displaystyle l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}\,dt. \)
Dowód 15.11.
\( \displaystyle l(K) \ =\ s(b) \ =\ s(b)-\underbrace{s(a)}_{=0} \ =\ \int\limits_a^b s'(\tau)\,d\tau \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau. \)
W drugim przypadku krzywą zadaną przez funkcję \( \displaystyle f \) możemy zapisać w postaci parametrycznej
\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x(t)=t \\ y(t)=f(t) \end{array} ., \right. \ \qquad t\in[a,b] \)
i od razu otrzymujemy drugi ze wzorów.
Przykład 15.12.
Wyprowadzić wzór na długość krzywej zadanej w postaci biegunowej:
\( \displaystyle r \ =\ g(\vartheta) \qquad \vartheta\in[\alpha,\beta]. \)
Przedstawmy tę krzywą w postaci parametrycznej:
\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x\ = \ r\cos\vartheta\ =\ g(\vartheta)\cos\vartheta \\ y\ = \ r\sin\vartheta\ =\ g(\vartheta)\sin\vartheta. \end{array} . \right. \)
Liczymy
\( \begin{array}{lll}\displaystyle \quad x'(\vartheta)^2+y'(\vartheta)^2 & = & \big[g'(\vartheta)\cos\vartheta-g(\vartheta)\sin(\vartheta)\big]^2 + \big[g'(\vartheta)\sin\vartheta+g(\vartheta)\cos(\vartheta)\big]^2 \\ \\ & = & g'(\vartheta)^2\cos^2\vartheta -2g(\vartheta)g'(\vartheta)\sin\vartheta\cos\vartheta +g(\vartheta)^2\sin^2\vartheta \\ \\ & + & g'(\vartheta)^2\sin^2\vartheta +2g(\vartheta)g'(\vartheta)\sin\vartheta\cos\vartheta +g(\vartheta)^2\cos^2\vartheta \\ \\ & = & g'(\vartheta)^2 +g(\vartheta)^2, \end{array} \)
Zatem
\( \displaystyle l(K) \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{g(\vartheta)^2+g'(\vartheta)^2}\,d\vartheta. \)
Definicja 15.13.
Cykloidą nazywamy krzywą kreśloną
przez ustalony punkt \( \displaystyle 0 \) na okręgu toczącym się po prostej \( \displaystyle l. \)
Przykład 15.14.
Wyprowadzić wzór parametryczny cykloidy.
Oznaczenia:
\( \displaystyle a \) - promień okręgu;
\( \displaystyle O \) - początkowy punkt styczności okręgu i prostej \( \displaystyle l \);
\( \displaystyle N \) - nowy punkt styczności;
\( \displaystyle M \) - nowe położenie punktu \( \displaystyle O \);
\( \displaystyle \displaystyle t=∢ NDM \) - parametr określający położenie punktu \( \displaystyle M. \)
Liczymy współrzędne punktu \( \displaystyle M(x,y) \):
\( \displaystyle x \ = \ OF \ =\ ON-FN \ =\ \widehat{NM}-MG \ =\ at-a\sin t, \)
\( \displaystyle y \ = \ FM \ =\ NG \ =\ ND-GD \ =\ a-a\cos t. \)
Zatem
\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{array} . \right. \ \qquad t\in [0,2\pi] \quad( \) lub \( \displaystyle \ t\in\mathbb{R}). \)
Przykład 15.15.
Obliczyć długość łuku cykloidy:
\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{array} . \right. \ \qquad t\in [0,2\pi]. \)
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} & = & \sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2 t} \ =\ \sqrt{a^2-2a^2\cos t+a^2\cos^2 t+a^2\sin^2 t} \\ & = & \displaystyle \sqrt{2a^2(1-\cos t)} \ =\ \sqrt{4a^2\sin^2\frac{t}{2}} \ =\ 2a\bigg|\sin\frac{t}{2}\bigg|.\end{array} \)
Zatem
\( \displaystyle \begin{array}{lll}l(K) & = & \displaystyle\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt \ =\ 2a\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\bigg|\sin\frac{t}{2}\,\bigg|dt \\ & = & 2a\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sin\frac{t}{2}\,dt \ =\ -4a\cos\frac{t}{2}\bigg|_0^{2\pi} \ =\ a. \end{array} \)
Przykład 15.16.
Obliczyć długość łuku asteroidy:
\( \displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} \ =\ a^{\frac{2}{3}}. \)
Równanie parametryczne asteroidy, to:
\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x=a\cos^3 t \\ y=a\sin^3 t \end{array} . \right. \ \qquad t\in [0,2\pi]. \)
Liczymy
\( \displaystyle \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \ =\ 3a\sin t\cos t \qquad\forall\ t\in[0,2\pi]. \)
Zatem
\( \displaystyle l(K) \ =\ 4\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}3a\sin t\cos t\,dt \ =\ 6a. \)