Iloczyn kartezjański. Współrzędne biegunowe

Iloczyn kartezjański. Współrzędne biegunowe


Niech \( \displaystyle A \) i \( \displaystyle B \) będą dowolnymi niepustymi zbiorami.

DEFINICJA 1.18.

Iloczynem kartezjańskim \( \displaystyle A\times B \) zbiorów \( \displaystyle A \) i \( \displaystyle B \) nazywamy zbiór par uporządkowanych \( \displaystyle (a,b) \) takich, że \( \displaystyle a\in A \) i \( \displaystyle b\in B \), tj. \( \displaystyle A\times B:=\{(a,b): a\in A,b\in B\}. \)

Przypomnijmy, że dowolny punkt w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych można jednoznacznie przedstawić za pomocą pary liczb rzeczywistych \( \displaystyle (x,y) \).

Niech \( \displaystyle r=\sqrt{x^2 +y^2} \) będzie odległością punktu \( \displaystyle (x,y) \) od początku układu współrzędnych. Jeśli \( \displaystyle r>0 \), niech \( \displaystyle \varphi \) będzie kątem (skierowanym), jaki tworzą dodatnia półoś osi odciętych (tj.dodatnia półoś osi \( \displaystyle OX \)) z promieniem wodzącym punktu \( \displaystyle (x,y) \). Równość \( \displaystyle r=0 \) jednoznacznie przedstawia początek układu współrzędnych, można przyjąć w tym przypadku, że \( \displaystyle \varphi \) jest dowolną liczbą.

Zauważmy, że \( \displaystyle x=r\cos\varphi \) oraz \( \displaystyle y=r\sin\varphi \).

DEFINICJA 1.19.

Parę liczb \( \displaystyle (r, \varphi) \), gdzie \( \displaystyle r\geq 0 \) oraz \( \displaystyle 0\leq \varphi < 2\pi \), nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu \( \displaystyle (x,y)=(r\cos\varphi, r\sin\varphi) \).

Uwaga 1.20.

Niech dane będą liczby rzeczywiste \( \displaystyle x \) oraz \( \displaystyle y \). Układ równań

\( \left\{\begin{array}{l l} x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi\\ \end{array} \right. \)

z niewiadomymi \( \displaystyle r \), \( \displaystyle \varphi \) spełnia dokładnie jeden promień \( \displaystyle r=\sqrt{x^2 +y^2} \) oraz nieskończona liczba różnych kątów postaci \( \displaystyle \varphi+2k\pi, \) gdzie \( \displaystyle \varphi \) jest kątem między dodatnią półosią odciętych a promieniem wodzącym punktu \( \displaystyle (x,y) \), zaś \( \displaystyle k \) jest dowolną liczbą całkowitą.