DEFINICJA 1.38.
Niech \( \displaystyle n\geq k \) będą dowolnymi nieujemnymi liczbami całkowitymi. Symbolem Newtona \( \displaystyle n \) po \( \displaystyle k \) nazywamy wyrażenie
\( \displaystyle {n \choose k} \ =\ \frac{n!}{(n-k)!k!}, \)
gdzie symbolem \( \displaystyle n! \) oznaczamy silnię liczby \( \displaystyle n \) określoną rekurencyjnie: \( \displaystyle 0!=1 \) oraz \( \displaystyle n!=(n-1)! \, n \) dla \( \displaystyle n\geq 1 \).
Przypomnijmy, że
a) Dla \( \displaystyle n=0, 1, 2, \ldots \) zachodzą równości: \( \displaystyle {n \choose 0}=1 \) oraz \( \displaystyle {n \choose 1}=n \).
b) Dla \( \displaystyle n>k \) zachodzi równość \( \displaystyle {n \choose k}+ {n \choose k+1}= {n+1 \choose k+1} \).
Równość ta pozwala na wyznaczać wartość \( \displaystyle {n \choose k} \) zgodnie z regułą nazywaną trójkątem Pascala:
\( \displaystyle {0 \choose 0}\)
\( \displaystyle {1 \choose 0}\quad {1 \choose 1} \)
\( \displaystyle {2 \choose 0}\quad {2 \choose 1}\quad {2 \choose 2} \)
\( \displaystyle {3 \choose 0}\quad {3 \choose 1}\quad {3 \choose 2}\quad {3 \choose 3} \)
\( \displaystyle {4 \choose 0}\quad {4 \choose 1}\quad {4 \choose 2}\quad {4 \choose 3}\quad {4 \choose 4} \)
\( \displaystyle {5 \choose 0}\quad {5 \choose 1}\quad {5 \choose 2}\quad {5 \choose 3}\quad {5 \choose 4}\quad {5 \choose 5} \)
\( \displaystyle {6 \choose 0}\quad {6 \choose 1}\quad {6 \choose 2}\quad {6 \choose 3}\quad {6 \choose 4}\quad {6 \choose 5} \quad {6 \choose 6} \)
\( \displaystyle {7 \choose 0}\quad {7 \choose 1}\quad {7 \choose 2}\quad {7 \choose 3}\quad {7 \choose 4}\quad {7 \choose 5}\quad {7 \choose 6}\quad {7 \choose 7} \)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mianowicie - zgodnie z równością \( \displaystyle {n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1} \) wartość symbolu Newtona \( \displaystyle {n+1 \choose k+1} \) jest sumą dwóch symboli \( \displaystyle {n \choose k} \) oraz \( \displaystyle {n \choose k+1} \), które znajdują się bezpośrednio nad symbolem \( \displaystyle {n+1 \choose k+1} \) w powyższym trójkącie. Reguła ta staje się bardziej czytelna, jeśli zastąpimy symbole \( \displaystyle {n \choose k} \) odpowiadającymi im liczbami naturalnymi. Tak jak to jest przedstawione na animacji obok.
Przypomnijmy, że symbole Newtona \( \displaystyle {n \choose k} \) stanowią współczynniki rozwinięcia wyrażenia \( \displaystyle (a+b)^n \) zgodnie ze wzorem dwumianowym Newtona.
Twierdzenie 1.40.
Dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n=1,2,3,\ldots \) i dowolnych liczb \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \) zachodzi równość
\( \displaystyle \begin{align*} (a+b)^n & =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k} \\ & =\binom{n}{0}a^{n}b^{0}+\binom{n}{1}a^{n-1}b^{1}+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\ldots +\binom{n}{n-1}a^{1}b^{n-1}\binom{n}{n}a^{0}b^{n}.\end{align*} \)
Zauważmy, że dla \( \displaystyle n=2,\ 3 \) wzór Newtona ma postać
\( \displaystyle \begin{align*} (a+b)^2 & =a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2 & =a^2-2ab+b^2 \\ (a+b)^3 & =a^3+3a^b+3ab^2+b^3 \\ (a-b)^3 & =a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\end{align*} \)
Wzory te pamiętamy ze szkoły pod nazwą wzorów skróconego mnożenia.
PRZYKŁAD 1.41.
Trójkąt Pascala możemy na przykład wykorzystać do efektywnego wyznaczenia rozwinięcia sumy
\( \displaystyle \begin{align*}(a+b)^7= & \sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}a^{7-k}b^k \\ = & \binom{7}{0}a^{7}b^0+\binom{7}{1}a^{7-1}b^1+\binom{7}{2}a^{7-2}b^2+\ldots +\binom{7}{6}a^{7-6}b^6+\binom{7}{7}a^{7-7}b^7 \\ = & a^7 +7a^6 b+21 a^5 b^2 +35 a^4 b^3 +35 a^3 b^4 +21a^2 b^5 +7 ab^6+b^7.\end{align*} \)