Wyobraźmy sobie dwóch ludzi na kuli ziemskiej: jednego człowieka na biegunie północnym, a drugiego na biegunie południowym. Jaka jest dzielącaich odległość? Jeśli potraktujemy tych ludzi jako dwa punkty przestrzeni \( \displaystyle \mathbb{R}^3 \), to ich odległość będzie równa średnicy Ziemi (czyli około \( \displaystyle 12\,732 \) kilometry). Ale każdy odpowie, że odległość dzieląca tych ludzi równa jest połowie obwodu Ziemi (czyli około \( \displaystyle 20\,000 \) kilometrów). Odległość jaką w tej chwili podajemy nie jest zatem odległością w \( \displaystyle \mathbb{R}^N \), lecz w zupełnie innej przestrzeni, jaką jest powierzchnia kuli. Tak więc na co dzień spotykamy się także z przestrzeniami metrycznymi innymi niż \( \displaystyle \mathbb{R}^N \).
Definicja 2.1. [ciąg]
Niech \( \displaystyle X\ne\emptyset \) będzie dowolnym zbiorem. Ciągiem o wyrazach w zbiorze \( \displaystyle X \) nazywamy dowolną funkcję \( \displaystyle \displaystyle f\colon \mathbb{N}\longrightarrow X. \)
Ciąg ten oznaczamy
\( \displaystyle \{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq X,\quad \{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X,\quad \{x_n\}\subseteq X,\quad\quad \) lub \( \displaystyle \quad x_1,x_2,\ldots, \)
gdzie \( \quad\displaystyle f(n) \ =\ x_n \qquad\forall\ n\in\mathbb{N}. \)
Definicja 2.2. [granica ciągu]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną, \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X \) ciągiem oraz \( \displaystyle g\in X. \)
Mówimy, że \( \displaystyle g \) jest granicą ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) w metryce \( \displaystyle d, \) jeśli dla dowolnego \( \varepsilon>0 \) wyrazy ciągu są od pewnego momentu oddalone od \( \displaystyle g \) o mnie niż \( \varepsilon \), czyli
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,g) < \varepsilon \)
i piszemy
\( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g,\quad x_n \rightarrow[n \to +\infty]{}g,\quad x_n \longrightarrow g \quad \) lub \(\quad x_n\stackrel{d}{\longrightarrow} g. \)
Mówimy, że ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest zbieżny, jeśli
\( \displaystyle \exists g\in X:\ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g. \)
Uwaga 2.3.
Warunek
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,g) < \varepsilon \)
w powyższej definicji jest równoważny warunkowi
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ x_n\in K(g,\varepsilon). \)
Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż
\( \displaystyle d(x_n,g) < \varepsilon \ \Longleftrightarrow\ x_n\in K(g,\varepsilon). \)
Definicja 2.4. [ciąg ograniczony]
Ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X \) nazywamy ograniczonym, jeśli
\( \displaystyle \exists x\in X\ \exists r>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\ d(x,x_n) < r. \)
Innymi słowy, ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest ograniczony, jeśli zbiór jego wartości \( \displaystyle \displaystyle\big\{x_n:\ n\in\mathbb{N}\big\} \) jest ograniczony w \( \displaystyle X. \)
Przykład 2.5.
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X \) dowolnym ciągiem. Wówczas ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest stały od pewnego miejsca.
\( \displaystyle \displaystyle\Longleftarrow \)":
Ta implikacja jest oczywista.
"\( \displaystyle \displaystyle\Longrightarrow \)":
Załóżmy, że \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x. \) Należy pokazać, że ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest stały od pewnego miejsca. Ustalmy \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon=\frac{1}{2}. \) Z definicji granicy wiemy, że
\( \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,x) \ < \ \frac{1}{2}. \)
Ale metryka dyskretna przyjmuje tylko wartości \( \displaystyle 0 \) lub \( \displaystyle 1. \) Zatem warunek \( \displaystyle d(x_n,x) < \frac{1}{2} \) oznacza, że \( \displaystyle d(x_n,x)=0, \) czyli \( \displaystyle x_n=x. \) Pokazaliśmy zatem, że
\( \displaystyle \forall n\ge N:\ x_n=x, \)
to znaczy ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest stały od pewnego miejsca.
Podobnie jak w przypadku ciągów w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \), dla ciągów w \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) zachodzą następujące twierdzenia:
Twierdzenie 2.6.
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie dowolną przestrzenią metryczną. Niech \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X \) będzie ciągiem oraz \( \displaystyle g\in X. \) Wówczas:
(1) \( \displaystyle x_n\stackrel{d}{\to} g \) wtedy i tylko, wtedy, gdy \( \displaystyle d (x_n,g) \stackrel {\mathbb{R}}{\to} 0 \),
(2) Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}: \) to znaczy
\( \displaystyle \bigg[ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n = g_1\in X \quad \) i \( \displaystyle \quad \lim\limits_{n \to +\infty} x_n = g_2\in X \bigg] \ \Longrightarrow\ g_1=g_2. \)
(3) Jeśli ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest zbieżny, to jest ograniczony.
(4) Jeśli \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g \) oraz \( \displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\} \) jest dowolnym podciągiem ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}, \) to
\( \displaystyle \lim\limits_{k \to +\infty} x_{n_k} \ =\ g. \)
(5) Jeśli \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest ciągiem zbieżnym oraz \( \displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\} \) jest jego dowolnym podciągiem takim, że \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{k \to +\infty} x_{n_k}=g, \) to także \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g. \)
(6) Jeśli dla dowolnego podciągu \( \displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\} \) ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) istnieje jego dalszy podciąg \( \displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_{k_l}}\big\} \) taki, że \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{l \to +\infty} x_{n_{k_l}}=g, \) to \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g. \)
Przypomnijmy teraz znane już z Analizy matematycznej 1 pojęcie ciągu Cauchy'ego.
Definicja 2.7. [warunek Cauchy'ego dla ciągu]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną oraz \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X \) ciągiem.
Mówimy, że ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N} \ \forall n,m\ge N:\ d(x_n,x_m) < \varepsilon. \)
Warunek Cauchy'ego dla ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0, \) począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są oddalone od siebie o mniej niż \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon. \)
Na wykładzie z Analizy matematycznej 1 dowiedzieliśmy się, że ciągi zbieżne w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) to są dokładnie ciągi Cauchy'ego. W dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzi wynikanie tylko w jedną stronę.
Twierdzenie 2.8. [Zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną oraz niech \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X \) będzie dowolnym ciągiem.
Jeśli ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest zbieżny w \( \displaystyle X, \) to spełnia on warunek Cauchy'ego.
Dowód 2.8.
Niech \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) będzie ciągiem zbieżnym w \( \displaystyle X, \) to znaczy \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g\in X. \) Aby pokazać warunek Cauchy'ego, ustalmy dowolne \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0. \) Z definicji granicy wynika, że
\( \displaystyle \exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N: d(x_n,g) < \frac{\varepsilon}{2}. \)
Zatem dla dowolnych \( \displaystyle n,m\ge N \) mamy
\( \displaystyle d(x_n,x_m) \ \le\ d(x_n,g)+d(g,x_m) \ =\ d(x_n,g)+d(x_m,g) \ < \ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon, \)
co kończy dowód.
Uwaga 2.9.
Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Było to pokazane na wykładzie z Analizy matematycznej 1 (patrz Analiza matematyczna 1 uwaga 3.31. oraz przykład 2.11. poniżej).
Definicja 2.10. [przestrzeń zupełna]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że przestrzeń \( \displaystyle X \) jest zupełna, jeśli dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego w \( \displaystyle X \) jest zbieżny w \( \displaystyle X. \)
Przykład 2.11.
Przestrzenie \( \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2) \) oraz \( \displaystyle \displaystyle ([0,1],d_2) \) są zupełne (wiemy to z wykładu z Analizy matematycznej 1).
Przestrzenie \( \displaystyle \displaystyle (\mathbb{Q},d_2) \) oraz \( \displaystyle \displaystyle ((0,1),d_2) \) nie są zupełne. Aby pokazać, że przestrzeń \( \displaystyle \displaystyle ((0,1),d_2) \) nie jest zupełna, weźmy ciąg \( \displaystyle \displaystyle \bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}. \) Łatwo sprawdzić, że jest on ciągiem Cauchy'ego, ale nie ma granicy w \( \displaystyle \displaystyle (0,1). \)
Ważnym twierdzeniem zachodzącym w przestrzeniach zupełnych jest następujące twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Mówi ono, iż każde odwzorowanie zwężające (to znaczy "zmniejszające odległości" między punktami; patrz definicja 2.12.) prowadzące z przestrzeni zupełnej w siebie posiada punkt stały. Oznacza to, że istnieje element \( \displaystyle x\in X \) o tej własności, że \( \displaystyle f(x)=x. \) Z zastosowaniem tego twierdzenia spotkamy się przy okazji równań różniczkowych. Twierdzenie to zajmuje ważne miejsce w matematyce i zostało udowodnione przez wielkiego polskiego matematyka Stefana Banacha.
Definicja 2.12. [odwzorowanie zwężające]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że odwzorowanie \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X \) jest zwężające, jeśli
\( \displaystyle \exists \lambda\in [0,1) \ \forall x,y\in X:\ d(f(x),f(y)) \ \le\ \lambda\ d(x,y). \)
Przykład 2.13.
Dla \( \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2), \) odwzorowaniem zwężającym jest na przykład \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x, \) a odwzorowania \( \displaystyle f(x)=x,\displaystyle f(x)=x+2,\displaystyle f(x)=x^2 \) nie są zwężające.
Definicja 2.14. [punkt stały]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) jest przestrzenią metryczną. Mówimy, że \( \displaystyle x_0\in X \) jest punktem stałym odwzorowania \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X, \) jeśli \( \displaystyle f(x_0)=x_0. \)
Przykład 2.15.
Dla \( \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2), \) punktem stałym odwzorowania \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x \) jest \( \displaystyle 0, \) punktami stałymi odwzorowania \( \displaystyle f(x)=x \) są wszystkie punkty \( \displaystyle x\in\mathbb{R} \); odwzorowanie \( \displaystyle f(x)=x+2 \) nie ma punktów stałych; punktami stałymi odwzorowania \( \displaystyle f(x)=x^2 \) są \( \displaystyle 0 \) i \( \displaystyle 1. \)
Twierdzenie 2.16. [Twierdzenie Banacha o punkcie stałym]
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) jest przestrzenią metryczną zupełną, \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X \) jest odwzorowaniem zwężającym, to \( \displaystyle f \) ma dokładnie jeden punkt stały, to znaczy
\( \displaystyle \exists!\ x^*\in X:\ f(x^*)=x^*. \)
Rysunek do dowodu twierdzenia Banacha o punkcie stałym
Dowód 2.16. [nadobowiązkowy]
Ustalmy dowolny \( \displaystyle x_0\in X. \) Zdefiniujmy rekurencyjnie ciąg:
\( \displaystyle x_n \ \ \stackrel{df}{=}\ \ f(x_{n-1}) \quad \) dla \( \displaystyle \ n\in\mathbb{N}. \)
Jeżeli \( \displaystyle d(x_0,x_1)=0, \) to \( \displaystyle f(x_0)=x_1=x_0, \) a zatem \( \displaystyle x_0 \) jest szukanym punktem stałym.
Możemy więc w dalszej części założyć, że \( \displaystyle d(x_0,x_1)>0. \)
Pokażemy, że zdefiniowany powyżej ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (gdyż przestrzeń jest zupełna).
W tym celu ustalmy \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0. \) Ponieważ \( \displaystyle \displaystyle\lambda\in(0,1), \) więc ciąg geometryczny \( \displaystyle \displaystyle\{\lambda^n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R} \) jest zbieżny do zera (patrz Analiza matematyczna 1 przykład 03.22.). Z definicji granicy wynika, że
\( \displaystyle \exists N_0\in\mathbb{N}:\ \ \lambda^{N_0} < \frac{\varepsilon(1-\lambda)}{d(x_0,x_1)}. \)
Niech teraz \( \displaystyle n,m\ge N_0. \) Dla ustalenia uwagi załóżmy, że \( \displaystyle m>n \) (rozumowanie dla \( \displaystyle n>m \) jest analogiczne). Mamy
\( \displaystyle d(x_n,x_{n+1}) \ =\ d(f(x_{n-1}),f(x_n)) \ \le\ \lambda d(x_{n-1},x_n). \)
Zatem (dowodząc indukcyjnie) dostajemy
\( \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ d(x_n,x_{x_{n+1}}) \ \le\ \lambda^n d(x_0,x_1). \)
Korzystając z nierówności trójkąta oraz faktu powyżej, dostajemy
\( \displaystyle \begin{align*} d(x_n,x_m) & \le & d(x_n,x_{n+1}) +d(x_{n+1},x_{n+2}) +\ldots+ d(x_{m-1},x_m) \ \le\ (\lambda^n+\lambda^{n+1}+\ldots+\lambda^{m-1})d(x_0,x_n) \\ & = \lambda^n(1+\lambda+\ldots+\lambda^{m-n-1})d(x_0,x_1). \end{align*} \)
Wykorzystując wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz Analiza matematyczna 1 wnoisek 1.11), mamy
\( \displaystyle d(x_n,x_m) \ \le\ \lambda^n\frac{1-\lambda^{m-n}}{1-\lambda}d(x_0,x_1) \ < \ \frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1). \)
Z powyższej nierówności oraz definicji \( \displaystyle N_0 \) mamy
\( \displaystyle d(x_n,x_m) \ < \ \frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1) \ < \ \varepsilon. \)
Pokazaliśmy zatem, że ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) spełnia warunek Cauchy'ego, a więc jest zbieżny (bo \( \displaystyle X \) jest przestrzenią zupełną), to znaczy
\( \displaystyle \exists x^*\in X:\ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x^*. \)
Pokażemy, że element \( \displaystyle x^* \) jest punktem stałym odwzorowania \( \displaystyle f. \) W tym celu ustalmy \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0. \) Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy
\( \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x^*,x_n) < \frac{\varepsilon}{2}. \)
Zatem z nierówności trójkąta oraz wyboru \( \displaystyle N, \) dla \( \displaystyle n\ge N \) mamy
\( \begin{array}{lll}\displaystyle 0 \ \le\ d(f(x^*),x^*) & \le & d(f(x^*),f(x_n))+d(f(x_n),x^*) \ \le\ \lambda f(x^*,x_n)+d(x_{n+1},x^*) \\ & < & \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon.\end{array} \)
Ponieważ nierówność \( \displaystyle d(f(x^*),x^*) < \varepsilon \) zachodzi dla dowolnego \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0, \) zatem \( \displaystyle d(f(x^*),x^*)=0, \) a to oznacza (z definicji metryki), że \( \displaystyle f(x^*)=x^*. \)
Na koniec pokażemy, że znaleziony punkt \( \displaystyle x^* \) jest jedynym punktem stałym odwzorowania \( \displaystyle f. \) Załóżmy, że pewien element \( \displaystyle x\in X \) jest punktem stałym dla \( \displaystyle f, \) to znaczy \( \displaystyle f(x)=x. \) Wówczas:
\( \displaystyle d(x^*,x) \ =\ d(f(x^*),f(x)) \ \le\ \lambda d(x^*,x), \)
zatem
\( \displaystyle (1-\lambda)d(x^*,x) \ \le\ 0. \)
Ponieważ \( \displaystyle \displaystyle\lambda\in(0,1), \) więc \( \displaystyle d(x^*,x)=0, \) a stąd \( \displaystyle x=x^*. \) Pokazaliśmy więc, że \( \displaystyle x^* \) jest jedynym punktem stałym.
Ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) skonstruowany w powyższym dowodzie nosi nazwę ciągu kolejnych przybliżeń.
Będziemy chcieli scharakteryzować zbiory zwarte w dowolnej przestrzeni metrycznej. Rozważmy następujący przykład.
Przykład 2.17.
Rozważmy przedział \( \displaystyle \displaystyle (0,1) \) z metryką euklidesową \( \displaystyle d_2. \) Zauważmy, że w tym przedziale przedziały \( \displaystyle \displaystyle (0,a] \) gdzie \( \displaystyle a\in (0,1) \) są zbiorami domkniętymi (bo ich uzupełnienia \( \displaystyle \displaystyle (a,1) \) są otwarte). Weźmy ciąg przedziałów \( \displaystyle \displaystyle F_n=\bigg(0,\frac{1}{n}\bigg]. \) Oczywiści \( \displaystyle \displaystyle F_1\supseteq F_2\supseteq \ldots. \) Widać, że część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem pustym. Jeśli natomiast zamiast przedziału \( \displaystyle \displaystyle (0,1) \) weźmiemy przedział \( \displaystyle \displaystyle [0,1] \) z metryką euklidesową \( \displaystyle d_2 \) i zdefiniujemy zbiory domknięte \( \displaystyle \displaystyle F_n=\bigg[0,\frac{1}{n}\bigg], \) to także \( \displaystyle \displaystyle F_1\supseteq F_\supseteq \ldots \) oraz część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem jednopunktowym \( \displaystyle \displaystyle\{0\}. \) Ten przykład jest ilustracją do poniższego twierdzenia Cantora.
Zstępujący ciąg zbiorów domkniętych
Twierdzenie 2.18. [Twierdzenie Cantora. Warunek równoważny zupełności przestrzeni]
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) jest przestrzenią metryczną, to \( \displaystyle X \) jest zupełna, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych, niepustych, o średnicach malejących do zera, ma przecięcie niepuste.
Przedstawiamy jedynie szkic dowodu twierdzenia Cantora. Piszemy "dlaczego?", zaznaczając fakty wymagające dokładniejszego uzasadnienia.
Dowód 2.18. [nadobowiązkowy]
[Szkic] "\( \displaystyle \displaystyle\Longrightarrow \)":
Niech \( \displaystyle \displaystyle\{F_n\} \) będzie zstępującym ciągiem zbiorów niepustych i domkniętych o średnicach zmierzających do zera, to znaczy
\( \displaystyle F_1\supseteq F_2\supseteq\ldots \)
gdzie
\( \displaystyle \mathrm{diam}\, (F_n)\searrow 0. \)
Dla każdego \( \displaystyle n\in\mathbb{N} \) wybierzmy jeden dowolny element \( \displaystyle x_n\in F_n. \) Powstały w ten sposób ciąg spełnia warunek Cauchy'ego (dlaczego?). Ponieważ przestrzeń jest zupełna, więc
\( \displaystyle \exists x\in X:\ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x. \)
Wówczas \( \displaystyle x\in\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}F_n \) (dlaczego?), a zatem \( \displaystyle \displaystyle\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}F_n\ne\emptyset. \)
"\( \displaystyle \displaystyle\Longleftarrow \)":
Aby pokazać zupełność przestrzeni \( \displaystyle X \), weźmy dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X. \) Dla każdego \( \displaystyle n\in\mathbb{N} \) definiujemy
\( \displaystyle F_n \ =\ \overline{\{x_n,x_{n+1},\ldots\}} \)
(to znaczy \( \displaystyle F_n \) jest domknięciem zbioru wartości ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x_k\}_{k=n}^{\infty} \)). Wówczas \( \displaystyle \displaystyle\{F_n\} \) jest zstępującym ciągiem zbiorów niepustych, domkniętych, o średnicach zmierzających do zera (dlaczego?). Zatem z założenia istnieje \( \displaystyle x\in\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}F_n. \) Wówczas \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x \) (dlaczego?).
Kolejne twierdzenie podaje związki między zbieżnością ciągu (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego dla ciągu) w iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych a zbieżnością ciągów (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego) na poszczególnych współrzędnych. Dowód pozostawiamy na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 2.3.).
Ciąg w iloczynie kartezjańskim
Twierdzenie 2.19. [Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X_i,d_i) \) są przestrzeniami metrycznymi dla \( \displaystyle i=1,\ldots k,\displaystyle X=X_1\times\ldots\times X_k,\displaystyle \displaystyle\{a_n\}\subseteq X \) jest ciągiem w \( \displaystyle X, \) w szczególności \( \displaystyle a_n=(a_n^1,\ldots,a_n^k) \) dla \( \displaystyle n\in\mathbb{N} \) oraz \( \displaystyle a=(a^1,\ldots,a^k)\in X, \) to
(1) \( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^i= a^i \) dla \( \displaystyle i=1,\ldots,k. \)
(2) Ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{a_n\} \) spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi \( \displaystyle \displaystyle\{a^i_n\} \) spełniają warunek Cauchy'ego dla \( \displaystyle i=1,\ldots,k. \)
Prostą konsekwencją powyższego twierdzenia są następujące wnioski mówiące, że zupełność zachowuje się przy braniu iloczynu kartezjańskiego przestrzeni metrycznych (dowód pomijamy).
Wniosek 2.20.
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X_i,d_i) \) są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi dla \( \displaystyle i=1,\ldots, k, \) to \( \displaystyle X_1\times\ldots\times X_k \) jest przestrzenią metryczną zupełną.
Wniosek 2.21.
\( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) oraz \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{C}^N \) są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi.
Pojęcie ciągowej zwartości było wprowadzone na wykładzie z Analizy matematycznej 1. Zbiory ciągowo zwarte nazwaliśmy wtedy zwartymi, korzystając z faktu, że w przypadku \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) oba te pojęcia są równoważne (patrz twierdzenie 2.23.).
Definicja 2.22.
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną oraz \( \displaystyle A\subseteq X. \)
Mówimy, że \( \displaystyle A \) jest zbiorem ciągowo zwartym, jeśli z każdego ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq A \) można wybrać podciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_{n_k}\} \) zbieżny w \( \displaystyle A. \)
Okazuje się, że zwartość jest równoważna ciągowej zwartości w przestrzeniach metrycznych. Mówi o tym kolejne twierdzenie. Podamy dowód tylko jednej z implikacji w poniższym twierdzeniu, mianowicie, że zwartość pociąga za sobą ciągową zwartość. Dowód przeciwnej (bardziej interesującej) implikacji wykracza poza program tego kursu. Przestrzeń metryczną, która jest zbiorem (ciągowo) zwartym będziemy nazywać przestrzenią (ciągowo) zwartą.
Twierdzenie 2.23.
Jeśli \( \displaystyle X \) jest przestrzenią metryczną to \( \displaystyle X \) jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle X \) jest przestrzenią ciągowo zwartą.
Dowód 2.23. [nadobowiązkowy]
{{{3}}}
Twierdzenie 2.24.
Jeśli \( \displaystyle X_1,\ldots,X_k \) są przestrzeniami metrycznymi zwartymi, to \( \displaystyle X_1\times\ldots\times X_k \) (z metryką standardową) jest przestrzenią metryczną zwartą.
Dowód 2.24. [nadobowiązkowy]
Przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na ilość przestrzeni \( \displaystyle k. \) Dla \( \displaystyle k=1 \) twierdzenie jest prawdziwe.
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej ilości \( \displaystyle k \) przestrzeni metrycznych. Pokażemy jego prawdziwość dla liczby następnej, \( \displaystyle k+1 \) przestrzeni metrycznych. Zakładamy, że przestrzenie metryczne \( \displaystyle X_1,\ldots,X_k,X_{k+1} \) są zwarte. Aby pokazać zwartość iloczynu kartezjańskiego \( \displaystyle X_1\times\ldots\times X_k\times X_{k+1}, \) wystarczy pokazać ciągową zwartość tego iloczynu kartezjańskiego (porównaj twierdzenie 2.23.). W tym celu niech \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X_1\times\ldots\times X_k\times X_{k+1} \) będzie dowolnym ciągiem, gdzie \( \displaystyle x_n=(x_n^1,\ldots,x_n^k,x_n^{k+1}) \) dla \( \displaystyle n\in\mathbb{N}. \) Z założenia indukcyjnego wiemy, że iloczyn kartezjański \( \displaystyle X_1\times\ldots\times X_k \) jest zwarty, a zatem także ciągowo zwarty. Zatem z ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{y_n\}\subseteq X_1\times\ldots\times X_k, \) gdzie \( \displaystyle y_n=(x_n^1,\ldots,x_n^k) \) można wybrać podciąg zbieżny \( \displaystyle \displaystyle\{y_{n_l}\}. \) Ponieważ przestrzeń \( \displaystyle X_{k+1} \) jest zwarta, więc z ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x^{k+1}_{n_l}\} \) można wybrać podciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x^{k+1}_{n_{l_m}}\} \) zbieżny w \( \displaystyle X_{k+1}. \) Oczywiście podciąg \( \displaystyle \displaystyle\{y_{n_{l_m}}\}\subseteq X_1\times\ldots\times X_k \) jest zbieżny w \( \displaystyle X_1\times\ldots\times X_k \) (jako podciąg ciągu zbieżnego \( \displaystyle \displaystyle\{y_{n_l}\} \)). Zatem podciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_{n_{l_m}}\} \) jest zbieżny w \( \displaystyle X_1\times\ldots\times X_k\times X_{k+1} \) (patrz twierdzenie 2.19.).
Wniosek 2.25.
Kostka \( \displaystyle \displaystyle [a_1,b_1]\times\ldots[a_N,b_N]\subseteq\mathbb{R}^N \) jest zwarta w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N. \)
Dowód 2.25.
Twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją tego, że przedział domknięty i ograniczony w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R} \) jest zbiorem zwartym (patrz twierdzenie 1.21.) oraz powyższego twierdzenie 2.24.
Kolejny wniosek podaje pełną charakteryzację zbiorów zwartych w przestrzeni euklidesowej \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N. \)
Wniosek 2.26. [Heinego-Borela]
Jeśli \( \displaystyle A\subseteq\mathbb{R}^N, \) to zbiór \( \displaystyle A \) jest zwarty
wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.
Dowód 2.26.
"\( \displaystyle \displaystyle\Longrightarrow \)"
Implikacja ta jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni metrycznej, co było udowodnione na poprzednim wykładzie (patrz twierdzenie 1.19. i uwaga 1.20.
"\( \displaystyle \displaystyle\Longleftarrow \)"
Jeśli zbiór \( \displaystyle A\subseteq\mathbb{R}^N \) jest ograniczony, to możemy go zawrzeć w pewnej kostce \( \displaystyle \displaystyle [a_1,b_1]\times\ldots[a_N,b_N]\subseteq\mathbb{R}^N \) (dlaczego?). Jeśli ponadto jest domknięty, to ze zwartości kostki (patrz wiosek 2.25.) wynika jego zwartość, bo podzbiór domknięty jest zbiorem zwartym (patrz >twierdzenie 1.19.(4)).
Zachodzi następujący związek między przestrzeniami zwartymi a zupełnymi.
Twierdzenie 2.27.
Przestrzeń metryczna metryczna zwarta jest zupełna.
Dowód 2.27. [nadobowiązkowy]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną zwartą. Należy pokazać, że przestrzeń metryczna \( \displaystyle X \) jest zupełna. W tym celu weźmy dowolny ciąg \( \displaystyle \{x_n\} \) spełniający warunek Cauchy'ego. Z twierdzenia 2.23. wiemy, że przestrzeń \( \displaystyle X \) jest ciągowo zwarta, zatem z ciągu \( \displaystyle \{x_n\} \) możemy wybrać podciąg \( \displaystyle \{x_{n_k}\} \) zbieżny w \( \displaystyle X \), to znaczy
\( \displaystyle \exists x_0\in X:\ \lim\limits_{n \to +\infty} x_{n_k} \ =\ x_0. \)
Wykażemy, że \( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \). Ustalmy dowolne \( \displaystyle \varepsilon>0 \). Z definicji granicy wiemy, że istnieje \( \displaystyle k_0\in\mathbb{N} \) takie, że
\( \displaystyle \forall k\ge k_0: d(x_{n_k},x_0) \ < \ \frac{\varepsilon}{2}. \)
Z warunku Cauchy'ego wiemy, że istnieje \( \displaystyle N_1\in\mathbb{N} \) takie, że dla dowolnych \( \displaystyle m,n\ge N_1 \) zachodzi
\( \displaystyle d(x_n,x_m) \ < \ \frac{\varepsilon}{2}. \)
Niech \( \displaystyle k_1\ge k_0 \) będzie takie, że \( \displaystyle n_{k_1}\ge N_1 \) oraz niech \( \displaystyle N=n_{k_1} \). Wówczas dla dowolnego \( \displaystyle n\ge N \) mamy
\( \displaystyle d(x_n,x_0) \ \le\ d(x_n,x_{n_{k_1}})+d(x_{n_{k_1}},x_0) \ < \ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon. \)
Pokazaliśmy zatem, że \( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \), co kończy dowód zupełności przestrzeni \( \displaystyle X \).
Uwaga 2.28.
Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Wiemy na przykład, że przestrzeń metryczna \( \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2) \) jest zupełna, ale nie zwarta (patrz przykład 2.11. oraz twierdzenie 1.22.).
Jeśli \( \displaystyle f \) jest funkcją między dwiema przestrzeniami metrycznymi (np z \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 \) do \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3 \)), to ponieważ możemy mierzyć odległości w tych przestrzeniach, więc możemy także mówić o granicy i ciągłości funkcji. Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, podamy dwie równoważne definicje granicy i ciągłości funkcji w punkcie.
Definicja 2.29. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X) \) oraz \( \displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, niech \( \displaystyle A\subseteq X,\displaystyle g\in Y, \) niech \( \displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y \) będzie funkcją oraz niech \( \displaystyle x_0\in X \) będzie punktem skupienia zbioru \( \displaystyle A. \)
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) ma granicę \( \displaystyle g \) w punkcie \( \displaystyle x_0\in X, \) jeśli
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\cap\big(K(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}\big):\ \ f(x)\in K(g,\varepsilon) \)
lub innymi słowy
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[d_X(x_0,x) < \delta \ \Longrightarrow\ d_Y\big(f(x),g\big) < \varepsilon\bigg]. \)
Piszemy wówczas
\( \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) \ =\ g \quad \) lub \( \displaystyle \quad f(x)\xrightarrow [x \to x_0]{} g. \)
Granica funkcji w punkcie
Definicja 2.30. [Heinego granicy funkcji w punkcie]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X) \) oraz \( \displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, \( \displaystyle A\subseteq X,\displaystyle g\in Y, \) niech \( \displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y \) będzie funkcją oraz niech \( \displaystyle x_0\in X \) będzie punktem skupienia zbioru \( \displaystyle A. \)
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) ma granicę \( \displaystyle g \) w punkcie \( \displaystyle x_0\in X, \) jeśli
\( \displaystyle \forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[x_n\stackrel{d_X}{\longrightarrow}x_0 \ \Longrightarrow\ f(x_n)\stackrel{d_Y}{\longrightarrow}g\bigg]. \)
Piszemy wówczas
\( \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) \ =\ g \quad \) lub \( \displaystyle \quad f(x)\xrightarrow[x \to x_0]{} g. \)
Funkcja ciągła w punkcie
Funkcja ciągła w punkcie
Tak samo jak dla funkcji rzeczywistych, funkcje między przestrzeniami metrycznymi są ciągłe, gdy mają granicę równą wartości.
Definicja 2.31. [Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X) \) oraz \( \displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, \( \displaystyle A\subseteq X, \) niech \( \displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y \) będzie funkcją oraz niech \( \displaystyle x_0\in A \) (\( \displaystyle x_0 \) nie musi być punktem skupienia zbioru \( \displaystyle A \)).
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x_0\in X, \) jeśli
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[d_X(x,x_0) < \delta \ \Longrightarrow\ d_Y\big(f(x),f(x_0)\big) < \varepsilon\bigg]. \)
Definicja 2.32. [Heinego ciągłości funkcji w punkcie]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X) \) oraz \( \displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) będą dwiema przestrzeniami metrycznymi \( \displaystyle A\subseteq X, \)
niech \( \displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y \) będzie funkcją oraz niech \( \displaystyle x_0\in A \) (\( \displaystyle x_0 \) nie musi być punktem skupienia zbioru \( \displaystyle A \)).
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x_0\in X, \) jeśli
\( \displaystyle \forall \{x_n\}\subseteq A:\ \ \bigg[x_n\stackrel{d_X}{\longrightarrow}x_0 \ \Longrightarrow\ f(x_n)\stackrel{d_Y}{\longrightarrow}f(x_0)\bigg]. \)
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie \( \displaystyle x\in A. \)
Udowodnimy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny ciągłości funkcji między przestrzeniami metrycznymi. Zauważmy, że warunek na ciągłość, podany w twierdzeniu, wymaga jedynie pojęcia zbiorów otwartych.
Twierdzenie 2.33.
Jeśli \( \displaystyle X \) i \( \displaystyle Y \) są przestrzeniami metrycznymi, to funkcja \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y \) jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego \( \displaystyle V \) w \( \displaystyle Y, \) przeciwobraz \( \displaystyle f^{-1}(V) \) jest otwarty w \( \displaystyle X. \)
Dowód 2.33.
"\( \displaystyle \displaystyle\Longrightarrow \)":
Niech \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y \) będzie funkcją ciągłą. Niech \( \displaystyle V \) będzie zbiorem otwartym w \( \displaystyle Y. \) Należy pokazać, że zbiór \( \displaystyle f^{-1}(V) \) jest otwarty w \( \displaystyle X. \) W tym celu ustalmy dowolny punkt \( \displaystyle x\in f^{-1}(V) \). Mamy wykazać, że jest on zawarty w \( \displaystyle f^{-1}(V) \) wraz z pewną kulą o środku \( \displaystyle x. \) Ponieważ zbiór \( \displaystyle V \) jest otwarty oraz \( \displaystyle f(x)\in V \) więc
\( \displaystyle \exists \varepsilon>0:\ K_{Y}(f(x),\varepsilon)\subseteq V. \)
Z drugiej strony, ponieważ funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x\in V, \) więc
\( \displaystyle \exists \delta>0\ \forall z\in X:\ \big[ d_X(z,x) < \delta \Longrightarrow d_Y(f(z),f(x)) < \varepsilon\big]. \)
Zatem, jeśli \( \displaystyle z\in K(x,\delta), \) to \( \displaystyle z\in f^{-1}(V), \) czyli \( \displaystyle K(x,\delta)\subseteq f^{-1}(V), \) co dowodzi otwartości zbioru \( \displaystyle f^{-1}(V). \)
"\( \displaystyle \displaystyle\Longleftarrow \)":
Załóżmy teraz, że dla dowolnego zbioru otwartego \( \displaystyle V \) w \( \displaystyle Y, \) zbiór \( \displaystyle f^{-1}(V) \) jest otwarty w \( \displaystyle X. \) Ustalmy dowolny \( \displaystyle x\in X. \) Pokażemy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x. \) W tym celu ustalmy dowolne \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0 \) i zdefiniujmy
\( \displaystyle V=\{y\in Y:\ d_Y(y,f(x)) < \varepsilon\}. \)
Wówczas zbiór \( \displaystyle V \) jest otwarty w \( \displaystyle Y \) (gdyż jest to kula; patrz twierdzenie 1.10. (1)), a zatem z założenia także zbiór \( \displaystyle f^{-1}(V) \) jest otwarty w \( \displaystyle X. \) A zatem, z otwartości \( \displaystyle f^{-1}(V) \) wynika, że
\( \displaystyle \exists \delta>0:\ K(x,\delta)\subseteq f^{-1}(V), \) co oznacza, że
\( \displaystyle \exists \delta>0: \big[z\in K_X(x,\delta) \ \Longrightarrow\ z\in f^{-1}(V)\big]. \)
Ale jeśli \( \displaystyle z\in f^{-1}(V), \) to \( \displaystyle f(z)\in V. \) Zatem
\( \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[ z\in K(x,\delta) \ \Longrightarrow\ f(z)\in V\bigg], \)
czyli z definicji \( \displaystyle V \) także
\( \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[ d_X(z,x) < \delta \ \Longrightarrow\ d_Y(f(z),f(x)) < \varepsilon\bigg]. \)
Pokazaliśmy, że \( \displaystyle f \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x. \)
Przykład 2.34.
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d_d) \) będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz \( \displaystyle \displaystyle (Y,d) \) dowolną przestrzenią metryczną. Wówczas dowolna funkcja \( \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y \) jest ciągła. Faktycznie, przeciwobraz dowolnego zbioru \( \displaystyle V\subseteq Y \) (także otwartego) jest zbiorem otwartym w \( \displaystyle X \) (bo w przestrzeni metrycznej dyskretnej wszystkie zbiory są otwarte; patrz przykład 1.8.).
Twierdzenie 2.35. [Darboux]
Jeśli \( \displaystyle X \) i \( \displaystyle Y \) są przestrzeniami metrycznymi, \( \displaystyle A \) jest zbiorem spójnym w \( \displaystyle X \) oraz \( \displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y \) jest funkcją ciągłą,
to \( \displaystyle f(A) \) jest zbiorem spójnym w \( \displaystyle Y. \)
Dowód 2.35.
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że \( \displaystyle f(A) \) nie jest zbiorem spójnym. Zatem istnieją dwa otwarte i rozłączne zbiory \( \displaystyle U \) i \( \displaystyle V \) mające niepuste przecięcie z \( \displaystyle f(A) \) i takie, że \( \displaystyle f(A)\subseteq U\cup V. \) Ponieważ \( \displaystyle f \) jest funkcją ciągłą, więc zbiory \( \displaystyle f^{-1}(U) \) i \( \displaystyle f^{-1}(V) \) są otwarte w \( \displaystyle X \) (patrz twierdzenie 2.33.), są one oczywiście niepuste, rozłączne, a ich sumą jest \( \displaystyle A. \) Ale jest to sprzeczne ze spójnością zbioru \( \displaystyle A. \)
Materiał tego rozdziału jest nadobowiązkowy, ale na twierdzenie 2.39. powołamy się w przyszłości, przy dowodzie twierdzenia Fubiniego.
Na zakończenie wykładu wprowadzimy jeszcze jeden ważny rodzaj ciągłości, a mianowicie ciągłość jednostajną.
Definicja 2.36. [Ciągłość jednostajna]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X),\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y \) będzie funkcją.
Mówimy, że \( \displaystyle f \) jest jednostajnie ciągła, jeśli
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x_1,x_2\in X\ \ \bigg[ d_X(x_1,x_2) < \delta \ \ \Longrightarrow\ \ d_Y\big(f(x_1),f(x_2)\big) < \varepsilon \bigg]. \)
Zauważmy, że ta definicja różni się od definicji ciągłości tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji ciągłości \( \displaystyle \displaystyle\delta \) dobrane do \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon \) może się zmieniać w zależności od punktu \( \displaystyle x_0 \), w którym badamy ciągłość. W definicji jednostajnej ciągłości \( \displaystyle \displaystyle\delta \) dobrane do \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon \) jest już "dobre" dla wszystkich \( \displaystyle x_0 \) z dziedziny funkcji.
Nic dziwnego, że zachodzi następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.37.
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X),\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) są przestrzeniami metrycznymi, \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y \) jest funkcją, to jeśli funkcja \( \displaystyle f \) jest jednostajnie ciągła, to jest także ciągła.
Funkcja ciągła, która nie jest jednostajnie ciągła
Przykład 2.38.
Implikacja odwrotna do implikacji w powyższym twierdzeniu nie jest prawdziwa.
Np. funkcja \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}_+\ni x\longmapsto x^2\in\mathbb{R} \) jest ciągła, ale nie jednostajnie ciągła.
Sprawdzimy, że faktycznie funkcja \( \displaystyle f(x)=x^2 \) nie jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnych dwóch punktów \( \displaystyle x_1, x_2\in\mathbb{R}_+ \) mamy \( \displaystyle d_2(f(x_1),f(x_2))= |x_1^2-x_2|^2=|x_1-x_2|(x_1+x_2). \) Zatem, jeśli weźmiemy ustalone \( \displaystyle \displaystyle\delta>0 \) (dla jakiegoś \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0 \)), to dla \( \displaystyle x_2=x_1+\frac{\delta}{2} \) odległość \( \displaystyle d_2(f(x_1),f(x_2))=\frac{\delta}{2}(x_1+x_2), \) co rośnie do nieskończoności, gdy zwiększamy \( \displaystyle x_1. \) A zatem nie możemy dobrać \( \displaystyle \displaystyle\delta \) niezależnego od wyboru punktu \( \displaystyle x_1. \)
Czasami jednak implikacja odwrotna do tej w twierdzeniu 2.37. zachodzi. Mówi o tym kolejne twierdzenie.
Twierdzenie 2.39.
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X),\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) są przestrzeniami metrycznymi, \( \displaystyle A \) jest zbiorem zwartym w \( \displaystyle X \) oraz \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y \) jest funkcją, to \( \displaystyle f \) jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle f \) jest ciągła.
Wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeśli mamy funkcję ciągłą na zbiorze zwartym (na przykład na przedziale domkniętym lub na iloczynie kartezjańskim przedziałów domkniętych), to dla danego \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0 \) możemy dobrać \( \displaystyle \displaystyle\delta>0, \) które jest "dobre" dla wszystkich \( \displaystyle x_0 \) z naszego zbioru zwartego, czyli mamy
\( \displaystyle d_X(x_0,x) \ < \ \delta \Longrightarrow d_Y(f(x_0), f(x)) \ < \ \varepsilon, \)
niezależnie od tego, jakie \( \displaystyle x_0\in X \) weźmiemy.