Przegląd funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

Definicja 2.9.
Niech \( \displaystyle a,b \) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję \( \displaystyle x\mapsto ax+b \) nazywamy funkcją afiniczną.

Uwaga 2.10.

• Wykresem funkcji afinicznej jest prosta.
• Funkcja \( \displaystyle f(x)=ax+b \) jest ściśle rosnąca, gdy \( \displaystyle a>0 \) i ściśle malejąca, gdy \( \displaystyle a < 0 \). Jest bijekcją zbioru \( \displaystyle \mathbb{R} \) na zbiór \( \displaystyle \mathbb{R} \), gdy \( \displaystyle a\neq0 \).
• Funkcja odwrotna do funkcji afinicznej jest funkcją afiniczną.
• Złożenie funkcji afinicznych jest funkcją afiniczną.

Definicja 2.11.

Niech \( \displaystyle a,b,c,d \) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi,że \( \displaystyle ad-bc\neq 0 \). Funkcję \( \displaystyle x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d} \) nazywamy funkcją homograficzną lub - krótko - homografią.

Uwaga 2.12.

• Funkcja afiniczna jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej.
• Wykresem funkcji homograficznej \( \displaystyle f \) jest prosta (jeśli \( \displaystyle f \) jest afiniczna) lub hiperbola (jeśli \( \displaystyle f \) nie jest afiniczna).
• Funkcja odwrotna do homografii jest homografią.
• Złożenie homografii jest homografią.

Definicja 2.13.

Niech \( \displaystyle a \) będzie stałą, niech \( \displaystyle n=0,1,2,3,... \) będzie liczbą całkowitą nieujemną, a \( \displaystyle x \) - zmienną. Wyrażenie algebraiczne \( \displaystyle a x^n \) nazywamy jednomianem zmiennej \( \displaystyle x \). Jeśli \( \displaystyle a\neq 0 \),to liczbę \( \displaystyle n \) nazywamy stopniem jednomianu \( \displaystyle a x^n \). Sumę \( \displaystyle w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +...+a_n x_n \) skończonej liczby jednomianów zmiennej \( \displaystyle x \) nazywamy wielomianem zmiennej \( \displaystyle x \). Największy ze stopni tych jednomianów, nazywamy stopniem wielomianu.

Definicja 2.14.

Funkcję \( \displaystyle x\mapsto w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2+...+a_n x_n \) nazywamy funkcją wielomianową lub - krótko - wielomianem.

Uwaga 2.15.

• Suma oraz iloczyn wielomianów jest wielomianem.
• Złożenie funkcji wielomianowych jest funkcją wielomianową.

Wykażmy użyteczne oszacowanie z dołu wielomianu \( \displaystyle x\mapsto (1+x)^n \) za pomocą funkcji afinicznej \( \displaystyle x\mapsto 1+nx \).

Uwaga 2.16. [nierówność Bernoullego]

Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej \( \displaystyle n=0,1,2,3, ... \) i dowolnej liczby rzeczywistej \( \displaystyle x\geq -1 \) zachodzi nierówność

\( \displaystyle (1+x)^n\geq \ +nx, \)

przy czym dla \( \displaystyle n> 1 \) równość w powyższej nierówności zachodzi wyłącznie dla \( \displaystyle x=0 \).

Dowód 2.16.

Zauważmy, że nierówność zachodzi dla \( \displaystyle n=0 \) i \( \displaystyle n=1 \). Wykażemy, że dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle k\geq 1 \)prawdziwa jest implikacja

\( \displaystyle \bigg[\forall x>-1 : (1+x)^k\geq 1+kx\bigg] \Longrightarrow \bigg[\forall x>-1 : (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x\bigg]. \)

Mamy bowiem:

\( \displaystyle \begin{align*} (1+x)^{k+1} & =(1+x)(1+x)^k \\ & \geq (1+x)(1+kx)=1+(1+k)x+kx^2 \\ & \geq 1+(1+k)x.\end{align*} \)

Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność zachodzi więc dla każdej liczby całkowitej nieujemnej \( \displaystyle n=0, \ 1,\ 2,\ 3,\ ... \). Zauważmy, że składnik \( \displaystyle x\mapsto kx^2 \) dla \( \displaystyle k\geq 1 \) zeruje się wyłącznie w punkcie \( \displaystyle x=0 \), stąd nierówność Bernoullego jest ostra poza tym punktem, a jedynie dla \( \displaystyle x=0 \) zachodzi równość w tej nierówności.

Definicja 2.17.

Niech \( \displaystyle n\in\{2,3,4,...\} \) będzie liczbą naturalną większą od jedności. Liczbę nieujemną \( \displaystyle y \) nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia \( \displaystyle n \) z liczby nieujemnej \( \displaystyle x \), jeśli \( \displaystyle x^n=y. \) Pierwiastek stopnia \( \displaystyle n \) z liczby \( \displaystyle x\geq 0 \) oznaczamy symbolem \( \displaystyle \root{n}\of{x} \).

Uwaga 2.18.

• Funkcja \( \displaystyle x\mapsto x^n \) jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle n \) jest liczbą nieparzystą.
• Jeśli \( \displaystyle n>0 \) jest parzystą liczbą naturalną, to zacieśnienie funkcji \( \displaystyle f(x)=x^n \) do przedziału \( \displaystyle [0, \infty) \) jest funkcją różnowartościową. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja pierwiastek stopnia \( \displaystyle n g(x)=\root{n}\of{x} \) określona na przedziale \( \displaystyle [0,\infty) \) o wartościach w \( \displaystyle [0,\infty) \).
• Jeśli \( \displaystyle n>0 \) jest nieparzystą liczbą naturalną, to funkcja \( \displaystyle f(x)=x^n \) jest różnowartościowa na przedziale \( \displaystyle (-\infty,+\infty) \). Funkcją odwrotną do niej jest funkcja

\( \displaystyle g(x) \ =\left \{ \begin{array}{I} \root{n}\of{x}, \text{ dla } x\geq 0 \\ -\root{n}\of{-x}, \text{ dla } x < 0 \end{array} . \right. \)

Uwaga 2.19.

Jeśli \( \displaystyle n \) jest liczbą naturalną nieparzystą,często używa się symbolu pierwiastka arytmetycznego do oznaczenia funkcji odwrotnej do funkcji \( \displaystyle f(x)=x^n \) i oznacza się ją krótko \( \displaystyle g(x)=\root{n}\of{x} \), przy czym sens tego symbolu dla liczb rzeczywistych ujemnych określa się jak powyżej.