Przypomnijmy, że różne sposoby mierzenia odległości w \( \displaystyle \mathbb{R}^N \) poznaliśmy na wykładzie z Analizy matematycznej 1. Tam też zapoznaliśmy się z pojęciem metryki. Okazuje się, że funkcję zwaną metryką można zdefiniować dla dowolnego (niepustego) zbioru \( \displaystyle X \) (a nie tylko dla \( \displaystyle \mathbb{R}^N \)). W ten sposób będziemy mogli mierzyć odległości między elementami dowolnego zbioru \( \displaystyle X \).
Definicja 1.1. [metryka, odległość]
Niech \( \displaystyle X \) będzie zbiorem niepustym. Metryką w zbiorze \( \displaystyle X \) nazywamy dowolną funkcję \( \displaystyle d\colon X\times X\longrightarrow\mathbb{R}_+=[0,+\infty) \) spełniającą następujące warunki:
(i) \( \displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ d(x,y)=0\ \Longleftrightarrow\ x=y \);
(ii) \( \displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ d(x,y)=d(y,x) \) (warunek symetrii);
(iii) \( \displaystyle \displaystyle\forall x,y,z\in X:\ d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z) \) (warunek trójkąta).
Parę \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) nazywamy przestrzenią metryczną.
Dla dowolnych \( \displaystyle x,y\in X, \) liczbę \( \displaystyle d(x,y) \) nazywamy odległością punktów \( \displaystyle x \) i \( \displaystyle y \) oraz mówimy, że punkty \( \displaystyle x \) i \( \displaystyle y \) są oddalone od siebie o \( \displaystyle d(x,y). \) Definicja kuli w dowolnej przestrzeni metrycznej jest analogiczna do poznanej na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 definicji kuli w \( \displaystyle \mathbb{R}^N \).
Definicja 1.2. [kula, kula domknięta]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną. Kulą o środku w punkcie \( \displaystyle x_0\in X \) i promieniu \( \displaystyle r\ge 0 \) nazywamy zbiór:
\( \displaystyle K(x_0,r) \ \stackrel{df}{=}\ \big\{x\in X:\ d(x_0,x) < r\big\}. \)
Kulą domkniętą o środku w punkcie \( \displaystyle x_0\in X \) i promieniu \( \displaystyle r\ge 0 \) nazywamy zbiór:
\( \displaystyle \overline{K}(x_0,r) \ \stackrel{df}{=}\ \big\{x\in X:\ d(x_0,x)\le r\big\}. \)
Podamy teraz kilka przykładów przestrzeni metrycznych oraz opiszemy, jak wyglądają kule w tych przestrzeniach.
Przykład 1.3. [Metryka dyskretna]
Niech \( \displaystyle X\ne\emptyset \) będzie dowolnym zbiorem oraz niech
\( \displaystyle d_d(x,y) \ \stackrel{df}{=}\ \left \{ \begin{array} {lll} 1 & \textrm{gdy} \displaystyle & x\ne y, \\ 0 & \textrm{gdy} \displaystyle & x= y. \end{array} .\right. \qquad\forall\ x,y\in X. \)
Zauważmy, iż wartość funkcji \( \displaystyle d \) dla dwóch dowolnych punktów wynosi \( \displaystyle 1, \) gdy są one różne oraz wynosi \( \displaystyle 0, \) gdy jest to ten sam punkt.
Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowana funkcja \( \displaystyle d \) jest metryką, zatem para \( \displaystyle \displaystyle (X,d_d) \) jest przestrzenią metryczną. Metrykę tę będziemy nazywali metryczną dyskretną. Faktycznie, z definicji wynika, że dla dowolnych \( \displaystyle x,y\in X \) mamy
\( \displaystyle d_d(x,y)=0 \ \Longleftrightarrow\ x=y \)
oraz
\( \displaystyle d_d(x,y) \ =\ d_d(y,x). \)
Dla sprawdzenia warunku trójkąta weźmy \( \displaystyle x,y,z\in X. \) Rozważymy następujące przypadki.
1) Jeśli \( \displaystyle x=z, \) to \( \displaystyle d(x,z)=0 \) zatem zawsze zachodzi \( \displaystyle d_d(x,z)=0\le d_d(x,y)+d_d(y,z). \)
2) Jeśli \( \displaystyle x\ne z, \) to \( \displaystyle x\ne y \) lub \( \displaystyle y\ne z. \) Wtedy również \( \displaystyle d_d(x,z)=1\le d_d(x,y)+d_d(y,z). \)
Łatwo także zauważyć, jak będą wyglądały kule w tej przestrzeni metrycznej. Jeśli \( \displaystyle r\in(0,1], \) to kula o promieniu \( \displaystyle r \) składa się z samego środka, ale jeśli \( \displaystyle r>1, \) to kulą jest cała przestrzeń \( \displaystyle X. \) Mamy zatem
\( \displaystyle K(x_0,r) \ =\left \{ \begin{array} {lll} \emptyset & \textrm{gdy} \displaystyle & r=0, \\ \{x_0\} & \textrm{gdy} \displaystyle & r\in(0,1], \\ X & \textrm{gdy} \displaystyle & r>1, \end{array} .\right. \)
\( \overline{K}(x_0,r) \ =\left \{ \begin{array} {lll} \{x_0\} & \textrm{gdy} \displaystyle & r\in[0,1), \\ X & \textrm{gdy} \displaystyle & r\ge 1. \end{array} .\right. \)
Zatem w przestrzeni metrycznej dyskretnej kulami i kulami domkniętymi są jedynie:
\( \displaystyle \displaystyle\emptyset, \) zbiory jednopunktowe oraz cała przestrzeń.
Przypomnijmy teraz standardowe metryki w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N. \) Były one wprowadzone na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.
Przykład 1.4. [Metryka maksimowa, taksówkowa i euklidesowa]
Niech \( \displaystyle X=\mathbb{R}^N \) oraz niech
\( \displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}^N:\quad d_{\infty}(x,y) \ \stackrel{df}{=}\ \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|, \)
\( d_1(x,y) \ \stackrel{df}{=}\ \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|, \)
\( d_2(x,y) \ \stackrel{df}{=}\ \sqrt{\sum_{i=1}^N(x_i-y_i)^2}, \)
gdzie \( \displaystyle x=(x_1,\ldots,x_N) \) oraz \( \displaystyle y=(y_1,\ldots,y_N). \)
Para \( \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_{\infty}) \) jest przestrzenią metryczną. Funkcję \( \displaystyle d_{\infty} \) nazywamy metryką maksimową w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N. \)
Para \( \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_1) \) jest przestrzenią metryczną. Funkcję \( \displaystyle d_1 \) nazywamy metryką taksówkową w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N. \)
Para \( \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_2) \) jest przestrzenią metryczną. Funkcję \( \displaystyle d_2 \) nazywamy metryką euklidesową w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N, \) zaś parę \( \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_2) \) nazywamy przestrzenią metryczną euklidesową.
Przypomnijmy, jak wyglądają kule w tych metrykach.
Kula w metryce maksimowej w \( \mathbb{R}^2 \)
Kula w metryce maksimowej w \( \mathbb{R}^3 \)
Kula w metryce taksówkowej w \( \mathbb{R}^2 \)
Kula w metryce taksówkowej w \( \mathbb{R}^3 \)
Kula w metryce euklidesowej w \( \mathbb{R}^2 \)
Kula w metryce euklidesowej w \( \mathbb{R}^3 \)
Dwa kolejne przykłady podają mniej typowe metryki na płaszczyźnie \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2. \)
Metryka rzeka
Metryka rzeka
Metryka kolejowa
Przykład 1.5. [Metryka rzeka]
Wyobraźmy sobie, że płaszczyzna \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 \) jest gęstym lasem oraz pewna prosta \( \displaystyle l \) jest rzeką. Aby zmierzyć odległość dwóch punktów \( \displaystyle x,y\in\mathbb{R}^2 \), musimy wyciąć ścieżkę od \( \displaystyle x \) do \( \displaystyle y, \) przy czym możemy to robić tylko prostopadle do rzeki.
Mamy dwa przypadki:
(1) Jeśli punkty \( \displaystyle x \) i \( \displaystyle y \) są końcami odcinka prostopadłego do rzeki \( \displaystyle l, \) to ich odległość jest równa zwykłej odległości euklidesowej na płaszczyźnie.
(2) Jeśli zaś punkty \( \displaystyle x \) i \( \displaystyle y \) nie leżą na prostej prostopadłej do rzeki \( \displaystyle l, \) to musimy utworzyć dwie ścieżki jedną od punktu \( \displaystyle x \) do rzeki, a drugą od rzeki do punktu \( \displaystyle y, \) zawsze prostopadle do rzeki. Teraz odległość od \( \displaystyle x \) do \( \displaystyle y \) będzie równa długości (euklidesowej) obu ścieżek oraz odległości tych ścieżek na rzece.
Nietrudno sprawdzić, że tak utworzona funkcja \( \displaystyle d \) jest metryką w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2. \)
Nazywamy ją metryką rzeką.
Przykład 1.6. [Metryka kolejowa]
Wyobraźmy sobie, że na płaszczyźnie wyróżniony jest jeden punkt \( \displaystyle O, \) węzeł kolejowy, od którego odchodzą półproste, szyny, we wszystkich kierunkach. Aby zmierzyć odległość miedzy dwoma punktami \( \displaystyle x \) i \( \displaystyle y \), musimy przebyć drogę między nimi, poruszając się po szynach. Rozważmy dwa przypadki:
(1) Jeśli punkty \( \displaystyle x \) i \( \displaystyle y \) znajdują się na wspólnej półprostej wychodzącej z punktu \( \displaystyle O, \) to ich odległość jest zwykłą odległością euklidesową.
(2) Jeśli zaś punkty \( \displaystyle x \) i \( \displaystyle y \) nie leżą na wspólnej półprostej wychodzącej z punktu \( \displaystyle O \) to ich odległość jest równa sumie odległości euklidesowych od \( \displaystyle x \) do \( \displaystyle O \) oraz od \( \displaystyle O \) do \( \displaystyle y. \)
Tak wprowadzona funkcja odległości jest metryką, zwaną metryką kolejową.
AM2.M01.W.R04
Kule w metryce kolejowej
Zdefiniujemy teraz pewne pojęcia związane z przestrzeniami metrycznymi. Część z nich była zdefiniowana na Analizie Matematycznej 1.
Zbiór otwarty
Definicja 1.7.
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną, niech \( \displaystyle x_0\in X \) oraz \( \displaystyle A\subseteq X. \)
(1) Zbiór \( \displaystyle U\subseteq X \) nazywamy otwartym, jeśli każdy punkt zbioru \( \displaystyle U \) zawiera się w \( \displaystyle U \) wraz z pewną kulą, czyli
\( \displaystyle \forall x\in U\ \exists r>0:\ K(x,r)\subseteq U. \)
(2) Punkt \( \displaystyle x_0 \) nazywamy punktem wewnętrznym zbioru \( \displaystyle A\subseteq X, \) jeśli istnieje kula o środku w punkcie \( \displaystyle x_0 \) (i dodatnim promieniu) taka, że zawiera się w \( \displaystyle A. \) Wnętrzem zbioru \( \displaystyle A \) nazywamy zbiór jego punktów wewnętrznych i oznaczamy go \( \displaystyle \displaystyle\mathrm{int}\, A. \)
(3) Domknięciem zbioru \( \displaystyle A\subseteq X \) nazywamy zbiór wszystkich punktów \( \displaystyle A \) oraz wszystkich punktów skupienia zbioru \( \displaystyle A \) i oznaczamy go \( \displaystyle \displaystyle\overline{A}. \)
(4) Brzegiem zbioru \( \displaystyle A \) nazywamy zbiór \( \displaystyle \displaystyle\partial A:=\overline{A}\setminus \mathrm{int}\, A. \)
Przykład 1.8.
W przestrzeni metrycznej dyskretnej każdy zbiór jest otwarty, bo wraz z każdym punktem \( \displaystyle x \) zawiera kulę \( \displaystyle K(x,1)=\{x\}. \)
Przykład 1.9.
W przestrzeni \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 \) z metryką euklidesową rozważmy zbiór \( \displaystyle A=\{(x_1,x_2):\ 2 < x_1^2+x_2^2\le 4\}. \) Wówczas
\( \displaystyle \begin{align*} \mathrm{int}\, A & = \{(x_1,x_2):\ 2 < x_1^2+x_2^2 < 4\}, \\ \overline{A} & = \{(x_1,x_2):\ 2\le x_1^2+x_2^2\le 4\}, \\ \partial A & = \{(x_1,x_2):\ x_1^2+x_2^2=2\}\cup \{(x_1,x_2):\ x_1^2+x_2^2=4\}. \end{align*} \)
Podobnie jak w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) tak i w dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzą następujące własności.
Twierdzenie 1.10. [Zbiory w przestrzeniach metrycznych]
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) jest przestrzenią metryczną, to
(1) Każda kula jest zbiorem otwartym w \( \displaystyle X. \)
(2) Zbiór \( \displaystyle U\subseteq X \) jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle U^c \) (dopełnienie zbioru \( \displaystyle U \)) jest zbiorem domkniętym.
(3) Kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
(4) Jeśli \( \displaystyle x_0 \) jest punktem skupienia zbioru \( \displaystyle A\subseteq X, \) to dowolna kula o środku w punkcie \( \displaystyle x_0 \) (i dodatnim promieniu) zawiera nieskończenie wiele punktów zbioru \( \displaystyle A. \)
(5) Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(6) Przecięcie (część wspólna) skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(7) Przecięcie (część wspólna) dowolnej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(8) Suma skończonej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(9) Dla dowolnego zbioru \( \displaystyle A\subseteq X, \) zbiór \( \displaystyle \displaystyle\overline{A} \) (domknięcie zbioru \( \displaystyle A \)) jest zbiorem domkniętym.
Omówienie i przykłady powyższych własności mieliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 (patrz Analiza matematyczna 1 przykład 3.15.).
Kolejne pojęcia związane z przestrzeniami metrycznymi podane są w poniższej definicji.
Definicja 1.11.
(1) Srednicą zbioru \( \displaystyle A \) nazywamy liczbę:
\( \displaystyle \mathrm{diam}\, A \ \stackrel{df}{=}\ \sup_{x,y\in A}d(x,y); \)
(2) Odległością punktu \( \displaystyle x_0 \) od zbioru \( \displaystyle A \) nazywamy liczbę:
\( \displaystyle \mathrm{dist}\,(x_0,A) \ \stackrel{df}{=}\ \inf_{x\in A}d(x_0,x). \)
(3) Mówimy, że zbiór \( \displaystyle A\subseteq X \) jest ograniczony, jeśli jest zawarty w pewnej kuli, to znaczy
\( \displaystyle \exists r>0\ \exists x_0\in X:\ A\subseteq K(x_0,r). \)
Odległość punktu od zbioru
Średnica zbioru
Zbiór ograniczony
Średnica zbioru i odległość punktu od zbioru
Przykład 1.12.
Na płaszczyźnie \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 \) z metryką euklidesową rozważmy zbiór
\( \displaystyle A \ =\ \bigg\{ (x,y):\ 2\le x\le 6,\ 1 < y\le 5 \bigg\} \cup \big(\{4\}\times [5,9]\big) \)
oraz punkt \( \displaystyle z=(8,8). \) Wyznaczyć średnicę zbioru \( \displaystyle A \) oraz odległość punktu \( \displaystyle z \) od zbioru \( \displaystyle A. \)
Z poniższego rysunku widzimy, że \( \displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, A=\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17} \)
oraz \( \displaystyle \displaystyle\mathrm{dist}\,(z,A)=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}. \)
Przykład 1.13.
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d_d) \) będzie przestrzenią metryczną dyskretną. Jeśli \( \displaystyle \displaystyle\#X\le 1, \) to \( \displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, X=0, \) a jeśli \( \displaystyle \displaystyle\#X\ge 2, \) to \( \displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, X=1. \) Zatem każdy zbiór w metryce dyskretnej jest ograniczony.
Następujące oczywiste twierdzenie podaje związek między ograniczonością zbioru oraz jego średnicą.
Twierdzenie 1.14.
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) jest przestrzenią metryczną, \( \displaystyle A\subseteq X, \) to zbiór \( \displaystyle A \) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, A < +\infty. \)
W iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych można także zadać metrykę (tak zwaną metrykę produktową) na kilka naturalnych sposobów. Poniższe twierdzenie podaje jeden z takich sposobów.
Kartezjusz (1596-1650)
Twierdzenie 1.15. [Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych]
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X_i,d_i) \) są przestrzeniami metrycznymi dla \( \displaystyle i=1,\ldots,k,\displaystyle X\ \stackrel{df}{=}\ X_1\times\ldots \times X_k,\displaystyle d\colon X\times X\longrightarrow\mathbb{R}_+ \) jest funkcją zdefiniowaną przez
\( \displaystyle d(x,y) \ \stackrel{df}{=}\ \sqrt{\sum_{i=1}^{k}d_i(x_i,y_i)^2} \qquad\forall\ x,y\in X, \)
to \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) jest przestrzenią metryczną.
Wówczas \( \displaystyle d \) nazywamy metryką produktową lub metryką standardową w iloczynie kartezjańskim \( \displaystyle X_1\times\ldots\times X_k. \)
Dowód 1.15.
Dowód oparty na nierówności Cauchy'ego (patrz Analiza matematyczna 1 lemat 3.8.) jest analogiczny do dowodu, że \( \displaystyle d_2 \) jest metryką w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) (porównaj Analiza matematyczna 1 przykład 3.7. i lemat 3.9.).
Uwaga 1.16.
Metryka euklidesowa w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) jest metryką standardową w \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\mathbb{R}^N=\underbrace{\mathbb{R}\times\ldots\times\mathbb{R}}_{N}. \) Wynika to wprost z definicji obu metryk.
Uwaga 1.17.
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) jest przestrzenią metryczną oraz \( \displaystyle A\subseteq X, \) to zbiór \( \displaystyle A \) jest także przestrzenią metryczną z metryką \( \displaystyle d|_{A\times A}. \) Kule w przestrzeni \( \displaystyle A \) są równe przecięciom kul z przestrzeni \( \displaystyle X \) ze zbiorem \( \displaystyle A. \) Metrykę na \( \displaystyle A \) nazywamy metryką indukowaną. W przyszłości o podzbiorach przestrzeni metrycznej będziemy także mówili "przestrzeń metryczna".