Wyobraźmy sobie dwóch ludzi na kuli ziemskiej: jednego człowieka na biegunie północnym, a drugiego na biegunie południowym. Jaka jest dzielącaich odległość? Jeśli potraktujemy tych ludzi jako dwa punkty przestrzeni \( \displaystyle \mathbb{R}^3 \), to ich odległość będzie równa średnicy Ziemi (czyli około \( \displaystyle 12\,732 \) kilometry). Ale każdy odpowie, że odległość dzieląca tych ludzi równa jest połowie obwodu Ziemi (czyli około \( \displaystyle 20\,000 \) kilometrów). Odległość jaką w tej chwili podajemy nie jest zatem odległością w \( \displaystyle \mathbb{R}^N \), lecz w zupełnie innej przestrzeni, jaką jest powierzchnia kuli. Tak więc na co dzień spotykamy się także z przestrzeniami metrycznymi innymi niż \( \displaystyle \mathbb{R}^N \).
Definicja 2.1. [ciąg]
Niech \( \displaystyle X\ne\emptyset \) będzie dowolnym zbiorem. Ciągiem o wyrazach w zbiorze \( \displaystyle X \) nazywamy dowolną funkcję \( \displaystyle \displaystyle f\colon \mathbb{N}\longrightarrow X. \)
Ciąg ten oznaczamy
\( \displaystyle \{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq X,\quad \{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X,\quad \{x_n\}\subseteq X,\quad\quad \) lub \( \displaystyle \quad x_1,x_2,\ldots, \)
gdzie \( \quad\displaystyle f(n) \ =\ x_n \qquad\forall\ n\in\mathbb{N}. \)
Definicja 2.2. [granica ciągu]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną, \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X \) ciągiem oraz \( \displaystyle g\in X. \)
Mówimy, że \( \displaystyle g \) jest granicą ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) w metryce \( \displaystyle d, \) jeśli dla dowolnego \( \varepsilon>0 \) wyrazy ciągu są od pewnego momentu oddalone od \( \displaystyle g \) o mnie niż \( \varepsilon \), czyli
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,g) < \varepsilon \)
i piszemy
\( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g,\quad x_n \rightarrow[n \to +\infty]{}g,\quad x_n \longrightarrow g \quad \) lub \(\quad x_n\stackrel{d}{\longrightarrow} g. \)
Mówimy, że ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest zbieżny, jeśli
\( \displaystyle \exists g\in X:\ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g. \)
Uwaga 2.3.
Warunek
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,g) < \varepsilon \)
w powyższej definicji jest równoważny warunkowi
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ x_n\in K(g,\varepsilon). \)
Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż
\( \displaystyle d(x_n,g) < \varepsilon \ \Longleftrightarrow\ x_n\in K(g,\varepsilon). \)
Definicja 2.4. [ciąg ograniczony]
Ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X \) nazywamy ograniczonym, jeśli
\( \displaystyle \exists x\in X\ \exists r>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\ d(x,x_n) < r. \)
Innymi słowy, ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest ograniczony, jeśli zbiór jego wartości \( \displaystyle \displaystyle\big\{x_n:\ n\in\mathbb{N}\big\} \) jest ograniczony w \( \displaystyle X. \)
Przykład 2.5.
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X \) dowolnym ciągiem. Wówczas ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest stały od pewnego miejsca.
\( \displaystyle \displaystyle\Longleftarrow \)":
Ta implikacja jest oczywista.
"\( \displaystyle \displaystyle\Longrightarrow \)":
Załóżmy, że \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x. \) Należy pokazać, że ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest stały od pewnego miejsca. Ustalmy \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon=\frac{1}{2}. \) Z definicji granicy wiemy, że
\( \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,x) \ < \ \frac{1}{2}. \)
Ale metryka dyskretna przyjmuje tylko wartości \( \displaystyle 0 \) lub \( \displaystyle 1. \) Zatem warunek \( \displaystyle d(x_n,x) < \frac{1}{2} \) oznacza, że \( \displaystyle d(x_n,x)=0, \) czyli \( \displaystyle x_n=x. \) Pokazaliśmy zatem, że
\( \displaystyle \forall n\ge N:\ x_n=x, \)
to znaczy ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest stały od pewnego miejsca.
Podobnie jak w przypadku ciągów w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \), dla ciągów w \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) zachodzą następujące twierdzenia:
Twierdzenie 2.6.
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie dowolną przestrzenią metryczną. Niech \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X \) będzie ciągiem oraz \( \displaystyle g\in X. \) Wówczas:
(1) \( \displaystyle x_n\stackrel{d}{\to} g \) wtedy i tylko, wtedy, gdy \( \displaystyle d (x_n,g) \stackrel {\mathbb{R}}{\to} 0 \),
(2) Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}: \) to znaczy
\( \displaystyle \bigg[ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n = g_1\in X \quad \) i \( \displaystyle \quad \lim\limits_{n \to +\infty} x_n = g_2\in X \bigg] \ \Longrightarrow\ g_1=g_2. \)
(3) Jeśli ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest zbieżny, to jest ograniczony.
(4) Jeśli \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g \) oraz \( \displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\} \) jest dowolnym podciągiem ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}, \) to
\( \displaystyle \lim\limits_{k \to +\infty} x_{n_k} \ =\ g. \)
(5) Jeśli \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest ciągiem zbieżnym oraz \( \displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\} \) jest jego dowolnym podciągiem takim, że \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{k \to +\infty} x_{n_k}=g, \) to także \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g. \)
(6) Jeśli dla dowolnego podciągu \( \displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\} \) ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) istnieje jego dalszy podciąg \( \displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_{k_l}}\big\} \) taki, że \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{l \to +\infty} x_{n_{k_l}}=g, \) to \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g. \)