Jeśli \( \displaystyle f \) jest funkcją między dwiema przestrzeniami metrycznymi (np z \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 \) do \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3 \)), to ponieważ możemy mierzyć odległości w tych przestrzeniach, więc możemy także mówić o granicy i ciągłości funkcji. Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, podamy dwie równoważne definicje granicy i ciągłości funkcji w punkcie.
Definicja 2.29. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X) \) oraz \( \displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, niech \( \displaystyle A\subseteq X,\displaystyle g\in Y, \) niech \( \displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y \) będzie funkcją oraz niech \( \displaystyle x_0\in X \) będzie punktem skupienia zbioru \( \displaystyle A. \)
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) ma granicę \( \displaystyle g \) w punkcie \( \displaystyle x_0\in X, \) jeśli
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\cap\big(K(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}\big):\ \ f(x)\in K(g,\varepsilon) \)
lub innymi słowy
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[d_X(x_0,x) < \delta \ \Longrightarrow\ d_Y\big(f(x),g\big) < \varepsilon\bigg]. \)
Piszemy wówczas
\( \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) \ =\ g \quad \) lub \( \displaystyle \quad f(x)\xrightarrow [x \to x_0]{} g. \)
Granica funkcji w punkcie
Definicja 2.30. [Heinego granicy funkcji w punkcie]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X) \) oraz \( \displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, \( \displaystyle A\subseteq X,\displaystyle g\in Y, \) niech \( \displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y \) będzie funkcją oraz niech \( \displaystyle x_0\in X \) będzie punktem skupienia zbioru \( \displaystyle A. \)
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) ma granicę \( \displaystyle g \) w punkcie \( \displaystyle x_0\in X, \) jeśli
\( \displaystyle \forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[x_n\stackrel{d_X}{\longrightarrow}x_0 \ \Longrightarrow\ f(x_n)\stackrel{d_Y}{\longrightarrow}g\bigg]. \)
Piszemy wówczas
\( \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) \ =\ g \quad \) lub \( \displaystyle \quad f(x)\xrightarrow[x \to x_0]{} g. \)
Funkcja ciągła w punkcie
Funkcja ciągła w punkcie
Tak samo jak dla funkcji rzeczywistych, funkcje między przestrzeniami metrycznymi są ciągłe, gdy mają granicę równą wartości.
Definicja 2.31. [Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X) \) oraz \( \displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, \( \displaystyle A\subseteq X, \) niech \( \displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y \) będzie funkcją oraz niech \( \displaystyle x_0\in A \) (\( \displaystyle x_0 \) nie musi być punktem skupienia zbioru \( \displaystyle A \)).
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x_0\in X, \) jeśli
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[d_X(x,x_0) < \delta \ \Longrightarrow\ d_Y\big(f(x),f(x_0)\big) < \varepsilon\bigg]. \)
Definicja 2.32. [Heinego ciągłości funkcji w punkcie]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X) \) oraz \( \displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) będą dwiema przestrzeniami metrycznymi \( \displaystyle A\subseteq X, \)
niech \( \displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y \) będzie funkcją oraz niech \( \displaystyle x_0\in A \) (\( \displaystyle x_0 \) nie musi być punktem skupienia zbioru \( \displaystyle A \)).
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x_0\in X, \) jeśli
\( \displaystyle \forall \{x_n\}\subseteq A:\ \ \bigg[x_n\stackrel{d_X}{\longrightarrow}x_0 \ \Longrightarrow\ f(x_n)\stackrel{d_Y}{\longrightarrow}f(x_0)\bigg]. \)
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie \( \displaystyle x\in A. \)
Udowodnimy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny ciągłości funkcji między przestrzeniami metrycznymi. Zauważmy, że warunek na ciągłość, podany w twierdzeniu, wymaga jedynie pojęcia zbiorów otwartych.
Twierdzenie 2.33.
Jeśli \( \displaystyle X \) i \( \displaystyle Y \) są przestrzeniami metrycznymi, to funkcja \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y \) jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego \( \displaystyle V \) w \( \displaystyle Y, \) przeciwobraz \( \displaystyle f^{-1}(V) \) jest otwarty w \( \displaystyle X. \)
Dowód 2.33.
"\( \displaystyle \displaystyle\Longrightarrow \)":
Niech \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y \) będzie funkcją ciągłą. Niech \( \displaystyle V \) będzie zbiorem otwartym w \( \displaystyle Y. \) Należy pokazać, że zbiór \( \displaystyle f^{-1}(V) \) jest otwarty w \( \displaystyle X. \) W tym celu ustalmy dowolny punkt \( \displaystyle x\in f^{-1}(V) \). Mamy wykazać, że jest on zawarty w \( \displaystyle f^{-1}(V) \) wraz z pewną kulą o środku \( \displaystyle x. \) Ponieważ zbiór \( \displaystyle V \) jest otwarty oraz \( \displaystyle f(x)\in V \) więc
\( \displaystyle \exists \varepsilon>0:\ K_{Y}(f(x),\varepsilon)\subseteq V. \)
Z drugiej strony, ponieważ funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x\in V, \) więc
\( \displaystyle \exists \delta>0\ \forall z\in X:\ \big[ d_X(z,x) < \delta \Longrightarrow d_Y(f(z),f(x)) < \varepsilon\big]. \)
Zatem, jeśli \( \displaystyle z\in K(x,\delta), \) to \( \displaystyle z\in f^{-1}(V), \) czyli \( \displaystyle K(x,\delta)\subseteq f^{-1}(V), \) co dowodzi otwartości zbioru \( \displaystyle f^{-1}(V). \)
"\( \displaystyle \displaystyle\Longleftarrow \)":
Załóżmy teraz, że dla dowolnego zbioru otwartego \( \displaystyle V \) w \( \displaystyle Y, \) zbiór \( \displaystyle f^{-1}(V) \) jest otwarty w \( \displaystyle X. \) Ustalmy dowolny \( \displaystyle x\in X. \) Pokażemy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x. \) W tym celu ustalmy dowolne \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0 \) i zdefiniujmy
\( \displaystyle V=\{y\in Y:\ d_Y(y,f(x)) < \varepsilon\}. \)
Wówczas zbiór \( \displaystyle V \) jest otwarty w \( \displaystyle Y \) (gdyż jest to kula; patrz twierdzenie 1.10. (1)), a zatem z założenia także zbiór \( \displaystyle f^{-1}(V) \) jest otwarty w \( \displaystyle X. \) A zatem, z otwartości \( \displaystyle f^{-1}(V) \) wynika, że
\( \displaystyle \exists \delta>0:\ K(x,\delta)\subseteq f^{-1}(V), \) co oznacza, że
\( \displaystyle \exists \delta>0: \big[z\in K_X(x,\delta) \ \Longrightarrow\ z\in f^{-1}(V)\big]. \)
Ale jeśli \( \displaystyle z\in f^{-1}(V), \) to \( \displaystyle f(z)\in V. \) Zatem
\( \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[ z\in K(x,\delta) \ \Longrightarrow\ f(z)\in V\bigg], \)
czyli z definicji \( \displaystyle V \) także
\( \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[ d_X(z,x) < \delta \ \Longrightarrow\ d_Y(f(z),f(x)) < \varepsilon\bigg]. \)
Pokazaliśmy, że \( \displaystyle f \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x. \)
Przykład 2.34.
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d_d) \) będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz \( \displaystyle \displaystyle (Y,d) \) dowolną przestrzenią metryczną. Wówczas dowolna funkcja \( \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y \) jest ciągła. Faktycznie, przeciwobraz dowolnego zbioru \( \displaystyle V\subseteq Y \) (także otwartego) jest zbiorem otwartym w \( \displaystyle X \) (bo w przestrzeni metrycznej dyskretnej wszystkie zbiory są otwarte; patrz przykład 1.8.).
Twierdzenie 2.35. [Darboux]
Jeśli \( \displaystyle X \) i \( \displaystyle Y \) są przestrzeniami metrycznymi, \( \displaystyle A \) jest zbiorem spójnym w \( \displaystyle X \) oraz \( \displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y \) jest funkcją ciągłą,
to \( \displaystyle f(A) \) jest zbiorem spójnym w \( \displaystyle Y. \)
Dowód 2.35.
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że \( \displaystyle f(A) \) nie jest zbiorem spójnym. Zatem istnieją dwa otwarte i rozłączne zbiory \( \displaystyle U \) i \( \displaystyle V \) mające niepuste przecięcie z \( \displaystyle f(A) \) i takie, że \( \displaystyle f(A)\subseteq U\cup V. \) Ponieważ \( \displaystyle f \) jest funkcją ciągłą, więc zbiory \( \displaystyle f^{-1}(U) \) i \( \displaystyle f^{-1}(V) \) są otwarte w \( \displaystyle X \) (patrz twierdzenie 2.33.), są one oczywiście niepuste, rozłączne, a ich sumą jest \( \displaystyle A. \) Ale jest to sprzeczne ze spójnością zbioru \( \displaystyle A. \)