Materiał tego rozdziału jest nadobowiązkowy, ale na twierdzenie 2.39. powołamy się w przyszłości, przy dowodzie twierdzenia Fubiniego.
Na zakończenie wykładu wprowadzimy jeszcze jeden ważny rodzaj ciągłości, a mianowicie ciągłość jednostajną.
Definicja 2.36. [Ciągłość jednostajna]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X),\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y \) będzie funkcją.
Mówimy, że \( \displaystyle f \) jest jednostajnie ciągła, jeśli
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x_1,x_2\in X\ \ \bigg[ d_X(x_1,x_2) < \delta \ \ \Longrightarrow\ \ d_Y\big(f(x_1),f(x_2)\big) < \varepsilon \bigg]. \)
Zauważmy, że ta definicja różni się od definicji ciągłości tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji ciągłości \( \displaystyle \displaystyle\delta \) dobrane do \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon \) może się zmieniać w zależności od punktu \( \displaystyle x_0 \), w którym badamy ciągłość. W definicji jednostajnej ciągłości \( \displaystyle \displaystyle\delta \) dobrane do \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon \) jest już "dobre" dla wszystkich \( \displaystyle x_0 \) z dziedziny funkcji.
Nic dziwnego, że zachodzi następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.37.
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X),\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) są przestrzeniami metrycznymi, \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y \) jest funkcją, to jeśli funkcja \( \displaystyle f \) jest jednostajnie ciągła, to jest także ciągła.
Funkcja ciągła, która nie jest jednostajnie ciągła
Przykład 2.38.
Implikacja odwrotna do implikacji w powyższym twierdzeniu nie jest prawdziwa.
Np. funkcja \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}_+\ni x\longmapsto x^2\in\mathbb{R} \) jest ciągła, ale nie jednostajnie ciągła.
Sprawdzimy, że faktycznie funkcja \( \displaystyle f(x)=x^2 \) nie jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnych dwóch punktów \( \displaystyle x_1, x_2\in\mathbb{R}_+ \) mamy \( \displaystyle d_2(f(x_1),f(x_2))= |x_1^2-x_2|^2=|x_1-x_2|(x_1+x_2). \) Zatem, jeśli weźmiemy ustalone \( \displaystyle \displaystyle\delta>0 \) (dla jakiegoś \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0 \)), to dla \( \displaystyle x_2=x_1+\frac{\delta}{2} \) odległość \( \displaystyle d_2(f(x_1),f(x_2))=\frac{\delta}{2}(x_1+x_2), \) co rośnie do nieskończoności, gdy zwiększamy \( \displaystyle x_1. \) A zatem nie możemy dobrać \( \displaystyle \displaystyle\delta \) niezależnego od wyboru punktu \( \displaystyle x_1. \)
Czasami jednak implikacja odwrotna do tej w twierdzeniu 2.37. zachodzi. Mówi o tym kolejne twierdzenie.
Twierdzenie 2.39.
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X,d_X),\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y) \) są przestrzeniami metrycznymi, \( \displaystyle A \) jest zbiorem zwartym w \( \displaystyle X \) oraz \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y \) jest funkcją, to \( \displaystyle f \) jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle f \) jest ciągła.
Wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeśli mamy funkcję ciągłą na zbiorze zwartym (na przykład na przedziale domkniętym lub na iloczynie kartezjańskim przedziałów domkniętych), to dla danego \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0 \) możemy dobrać \( \displaystyle \displaystyle\delta>0, \) które jest "dobre" dla wszystkich \( \displaystyle x_0 \) z naszego zbioru zwartego, czyli mamy
\( \displaystyle d_X(x_0,x) \ < \ \delta \Longrightarrow d_Y(f(x_0), f(x)) \ < \ \varepsilon, \)
niezależnie od tego, jakie \( \displaystyle x_0\in X \) weźmiemy.