Wykresy funkcji \( f_n(x)=x^n \) dla \( n=1,2,3,... \) oraz funkcji granicznej \( f \)
Wykresy funkcji \( f_n(x)=x^n \) dla \( n=1,2,3,... \) oraz funkcji granicznej \( f \)
Definicja 4.1.
Niech \( \displaystyle X\ne\emptyset \) będzie dowolnym zbiorem oraz niech \( \displaystyle (Y,\varrho) \) będzie przestrzenią metryczną. Niech \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y \) oraz \( \displaystyle f_n\colon X\longrightarrow Y \) będą funkcjami dla \( \displaystyle n\in\mathbb{N} \).
(1) Mówimy, że ciąg \( \displaystyle \{f_n\} \) jest zbieżny punktowo do funkcji \( \displaystyle f \) i piszemy \( \displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} f_n=f \) lub \( \displaystyle f_n\longrightarrow f \), jeśli
\( \displaystyle \forall x\in X:\ \ \lim\limits_{n \to +\infty} f_n(x) \ =\ f(x), \)
co z kolei (z definicji granicy ciągu w przestrzeniach metrycznych; patrz Analiza matematyczna 1 definicja 2.2.) oznacza, że
\( \displaystyle \forall x\in X\ \ \forall \varepsilon>0\ \ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N:\ \ \varrho\big(f_n(x),f(x)\big) \ < \ \varepsilon. \)
(2) Mówimy, że ciąg \( \displaystyle \{f_n\} \) jest zbieżny jednostajnie do funkcji \( \displaystyle f \) na zbiorze \( \displaystyle X \) i piszemy \( \displaystyle f_n ⇉ f, \) jeśli
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists N\in \mathbb{N}\ \ \forall n\ge N\ \ \forall x\in X:\ \ \varrho\big(f_n(x),f(x)\big) \ < \ \varepsilon. \)
Zauważmy, że definicje zbieżności punktowej i jednostajnej różnią się tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji zbieżności punktowej \( \displaystyle N \) dobierane do \( \displaystyle \varepsilon>0 \) może zmieniać się w zależności od punktu \( \displaystyle x \). Natomiast w definicji zbieżności jednostajnej \( \displaystyle N \) dobrane do \( \displaystyle \varepsilon>0 \) nie zależy od \( \displaystyle x \). Zatem oczywiste jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 4.2.
Jeśli \( \displaystyle X\ne\emptyset \) jest dowolnym zbiorem, \( \displaystyle (Y,\varrho) \) przestrzenią metryczną, \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y \) oraz \( \displaystyle f_n\colon X\longrightarrow Y \) funkcjami dla \( \displaystyle n\in\mathbb{N} \), to
\( \displaystyle \bigg[ f_n ⇉ f \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ f_n \ \longrightarrow\ f \bigg]. \)
Uwaga 4.3.
Z powyższego twierdzenia wynika w szczególności, że jeśli ciąg funkcyjny \( \displaystyle \{f_n\} \) ma granicę punktową \( \displaystyle f \), to jeśli jest on jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji \( \displaystyle g \), to \( \displaystyle f=g \). Innymi słowy jeśli ciąg \( \displaystyle \{f_n\} \) ma granicę punktową \( \displaystyle f \), to jedynym "kandydatem" na granicę jednostajną jest też funkcja \( \displaystyle f \). Będzie to bardzo przydatne do badania jednostajnej zbieżności, gdyż na ogół znacznie łatwiej jest wyznaczyć granicę punktową niż granicę jednostajną. Natomiast znajomość granicy punktowej ułatwia badanie zbieżności jednostajnej (patrz uwaga poniżej).
Uwaga 4.4.
Nie jest prawdziwa implikacja odwrotna do implikacji w twierdzeniu 4.2. (czyli zbieżność punktowa nie implikuje zbieżności jednostajnej).
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg funkcji \( \displaystyle \{f_n\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb{R}\} \) zdefiniowanych przez
\( \displaystyle f_n(x) \ =\ x^n \quad \) dla \( \displaystyle \ x\in [0,1]. \)
Wyrźnie widać, że ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji
\( \displaystyle f(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & \textrm{dla} \displaystyle & x\in[0,1), \\ 1 & \textrm{dla} \displaystyle & x=1. \end{array} \right . \)
Pokażemy, że ciąg ten nie jest zbieżny jednostajnie do funkcji \( \displaystyle f \). Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in[0,1]:\ \big|f_n(x)-f(x)\big| \ < \ \varepsilon. \)
Weźmy teraz \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon=\frac{1}{3} \). Z naszej hipotezy wynika, że
\( \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n \ge N_1\ \forall x\in[0,1]:\ \big|f_n(x)-f(x)\big| \ < \ \varepsilon \ =\ \frac{1}{3}. \)
Ale ponieważ \( \displaystyle f_{N_1}(x)=x^{N_1}\longrightarrow 1 \), gdy \( \displaystyle x \to 1 \), zatem
\( \displaystyle \exists x_0\in (0,1):\ \big|f_{N_1}(x_0)-1\big| \ < \ \frac{1}{3}. \)
Zatem
\( \displaystyle \begin{align*} \big|f_{N_1}(x_0)-\underbrace{f(x_0)}_{=0}\big| & = \big|f_{N_1}(x_0)-0\big| \ =\ \big|f_{N_1}(x_0)-1+1-0\big| \ \ge\ \big|1-0\big|-\big|f_{N_1}(x_0)-1\big| \\ & = 1-\big|f_{N_1}(x_0)-1\big| \ >\ 1-\frac{1}{3} \ =\ \frac{2}{3} \ >\ \varepsilon \ =\ \frac{1}{3}, \end{align*} \)
co daje sprzeczność z wyborem \( \displaystyle N_1 \).
Uwaga 4.5.
Zobrazujmy teraz co oznacza zbieżność jednostajna \( \displaystyle f_n ⇉ f \). Otóż warunek z definicji jednostajnej zbieżności oznacza, że jeśli weźmiemy "epsilonowe otoczenie wykresu funkcji \( \displaystyle f \)", to dla odpowiednio dużych \( \displaystyle n\ge N \) wykresy wszystkich funkcji \( \displaystyle f_n \) będą w tym otoczeniu.
Na pierwszym rysunku mamy ciąg funkcji \( \displaystyle f_n(x)=x^n \) dla \( \displaystyle x\in[0,1] \). Żadna z tych funkcji nie zawiera się w epsilonowym otoczeniu wykresu funkcji granicznej (patrz uwaga 4.4.)
Z kolei poniższy rysunek przedstawia ciąg funkcji \( \displaystyle \displaystyle f_n(x)=\frac{1}{n}x \) dla \( \displaystyle x\in[0,1] \). Tutaj widać, że dla dowolnie małego \( \displaystyle \varepsilon>0 \), wszystkie funkcje począwszy od pewnego \( \displaystyle N\in\mathbb{N} \) znajdą się w pasie \( \displaystyle \mathbb{R}\times (-\varepsilon,\varepsilon) \), który jest otoczeniem funkcji granicznej \( \displaystyle f\equiv 0 \).
Kolejne twierdzenie podaje ciekawą własność granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Twierdzenie to ułatwi nam w niektórych przypadkach wykluczenie jednostajnej zbieżności ciągów funkcyjnych (patrz uwaga 4.4. i 4.7.).
Twierdzenie 4.6. [ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych]
Jeśli \( \displaystyle (X,d_X)\displaystyle (Y,d_Y) \) są przestrzeniami metrycznymi, \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y \) oraz \( \displaystyle f_n\colon X\longrightarrow Y \) są funkcjami dla \( \displaystyle n\in\mathbb{N} \), \( \displaystyle x_0\in X \) oraz \( \displaystyle f_n ⇉ f,\displaystyle {} \)
to
(1) jeśli funkcje \( \displaystyle f_n \) są ciągłe w punkcie \( \displaystyle x_0 \), to \( \displaystyle f \) jest funkcją ciągłą w punkcie \( \displaystyle x_0 \);
(2) jeśli funkcje \( \displaystyle f_n \) są ciągłe, to \( \displaystyle f \) jest funkcją ciągłą.
Dowód 4.6.
(Ad (1)) Załóżmy, że funkcje \( \displaystyle f_n \) są ciągłe w punkcie \( \displaystyle x_0\in X \).
Ustalmy dowolne \( \displaystyle \varepsilon>0 \). Ponieważ \( \displaystyle f_n ⇉ f, \) zatem
\( \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in X:\ d_Y\big(f_n(x),f(x)\big) \ < \ \frac{\varepsilon}{3}, \)
w szczególności
\( \displaystyle \forall n\ge N:\ d_Y\big(f_n(x_0),f(x_0)\big) \ < \ \frac{\varepsilon}{3}. \)
Ponieważ funkcja \( \displaystyle f_N \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x_0 \), więc
\( \displaystyle \exists \delta>0\ \forall x\in X:\ \big[d_X(x,x_0) < \delta \Longrightarrow d_Y\big(f_N(x),f_N(x_0)\big) \ < \ \frac{\varepsilon}{3}\big]. \)
Niech teraz \( \displaystyle x\in X \) będzie taki, że \( \displaystyle d_X(x,x_0) < \delta \). Wówczas, korzystając z nierówności trójkąta oraz trzech powyższych nierówności, mamy
\( \begin{array}{lll} \displaystyle d_Y\big(f(x),f(x_0)\big) & \le & \displaystyle d_Y\big(f(x),f_N(x)\big) +d_Y\big(f_N(x),f_N(x_0)\big) \\ & + & \displaystyle d_Y\big(f_N(x_0),f(x_0)\big) < 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} \ =\ \varepsilon, \end{array} \)
zatem pokazaliśmy, że
\( \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists \delta>0:\ \big[d_X(x,x_0) < \delta \Longrightarrow d_Y\big(f(x),f(x_0)\big) \ < \ \varepsilon\big], \)
a to oznacza ciągłość funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle x_0 \).
(Ad (2)) Od razu wynika z (1).
Uwaga 4.7.
Ponieważ ciąg funkcyjny rozważany w uwadze 4.4. składał się z funkcji ciągłych oraz miał granicę nieciągłą, więc od razu z powyższego twierdzenia możemy wnioskować, że nie jest on jednostajnie zbieżny.
Kolejne twierdzenie mówi, że dla jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji \( \displaystyle \{f_n\} \), to samo dają dwie następujące operacje:
(1) obliczenie granicy \( \displaystyle f \) ciągu funkcyjnego \( \displaystyle \{f_n\} \), a następnie obliczenie granicy funkcji granicznej \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle x_0 \) oraz
(2) obliczenie granic poszczególnych funkcji ciągu \( \displaystyle \{f_n\} \) w punkcie \( \displaystyle x_0 \), a następnie przejście do granicy z tak otrzymanym ciągiem liczbowym granic.
Zachodzi zatem następujący wzór:
\( \displaystyle \lim_{x \to a}\lim\limits_{n \to +\infty} f_n(x) \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty}\lim_{x \to a} f_n(x). \)
Zwróćmy uwagę, że każdy z symboli "\( \displaystyle \lim \)" po lewej i prawej stronie oznacza co innego (raz jest to granica ciągu liczbowego, a raz granica funkcji w punkcie). Formalne sformułowanie powyższego wzoru wraz ze wszystkimi założeniami potrzebnymi do jego zachodzenia podane jest w poniższym twierdzeniu (który pozostawiamy tu bez dowodu).
Twierdzenie 4.8.
Jeśli \( \displaystyle (X,d_X)\displaystyle (Y,d_Y) \) są przestrzeniami metrycznymi, przy czym przestrzeń \( \displaystyle (Y,d_Y) \) jest zupełna, \( \displaystyle A\subseteq X \), \( \displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y \) oraz \( \displaystyle f_n\colon A\longrightarrow Y \) są funkcjami dla \( \displaystyle n\in\mathbb{N} \), \( \displaystyle f_n ⇉ f,\displaystyle a \) jest punktem skupienia zbioru \( \displaystyle A \) oraz
\( \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}\ \ \exists\lim_{x \to a}f_n(x)=b_n, \)
to
(1) ciąg \( \displaystyle \{b_n\} \) jest zbieżny;
(2) \( \displaystyle \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\lim\limits_{n \to +\infty} b_n \).