Na początek przypomnijmy twierdzenie o wzorze Taylora (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 10.9.).
Twierdzenie 4.18. [Wzór Taylora z resztą Lagrange'a]
Jeśli \( \displaystyle I\subseteq \mathbb{R} \) jest przedziałem, \( \displaystyle f\colon\ I\longrightarrow\mathbb{R} \) jest funkcją \( \displaystyle (n+1) \)-krotnie różniczkowalną, \( \displaystyle a\in\mathrm{int}\, I \), to
\( \displaystyle \% \forall x\in I\ \exists\vartheta\in(0,1):\ f(x)= f(a) +\frac{1}{1!}f'(a)(x-a) +\frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2 +\ldots +\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n +R_n(x), \)
gdzie
\( \displaystyle R_n(x) \ =\ \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}\big(a+\vartheta(x-a)\big)(x-a)^{(n+1)}. \)
Niech \( \displaystyle I\subseteq\mathbb{R} \) oraz niech \( \displaystyle f\in C^{\infty}(I) \). Niech \( \displaystyle a\in\mathrm{int}\, I \).
Możemy rozważać szereg
\( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n, \)
zwany szeregiem Taylora funkcji \( \displaystyle f \) o środku w punkcie \( \displaystyle a \) (umowa \( \displaystyle f^{(0)}(x)=f(x) \)).
W szczególności dla \( \displaystyle a=0\in\mathrm{int}\, I \) mamy
\( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} f^{(n)}(0)x^n, \)
zwany szeregiem Maclaurina.
Z twierdzenia 4.18. (o wzorze Taylora) wynika, że warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by szereg Taylora był zbieżny, jest aby \( \displaystyle R_n\longrightarrow 0 \), gdzie \( \displaystyle R_n \) oznacza resztę Lagrange'a we wzorze Taylora.
Twierdzenie 4.19.
Szeregi Maclaurina funkcji: \( \displaystyle e^x \), \( \displaystyle \sin x \) oraz \( \displaystyle \cos x \) są zbieżne w \( \displaystyle \mathbb{R} \), a ich sumy równe są tym funkcjom. Mówimy krótko, że funkcje te są "równe" swoim szeregom Maclaurina, czyli dla \( \displaystyle x\in\mathbb{R} \) mamy
\( \displaystyle e^x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \)
\( \displaystyle \sin x \ =\ \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \)
\( \displaystyle \cos x \ =\ 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\ldots \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}. \)
Dowód 4.19.
Ponieważ wszystkie pochodne funkcji \( \displaystyle f(x)=e^x \) wynoszą \( \displaystyle f^{(n)}(x)=e^x \) dla \( \displaystyle n\in\mathbb{N} \), zatem wzór Maclaurina tej funkcji ma postać:
\( \displaystyle e^x \ =\ \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!} +R_n(x), \)
gdzie \( \displaystyle \displaystyle R_n(x)=\frac{e^y}{(n+1)!}y^{n+1} \) dla pewnego \( \displaystyle y\in [0,x] \) (lub \( \displaystyle y\in [x,0] \), gdy \( \displaystyle x < 0 \)). Zatem
\( \displaystyle \bigg|e^x - \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\bigg| =\big| R_n(x) \big|. \)
Aby pokazać zbieżność szeregu Maclaurina \( \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \) do funkcji \( \displaystyle f(x)=e^x \), należy wykazać, że ciąg reszt \( \displaystyle \{R_n(x)\} \) zmierza do zera (dla dowolnego \( \displaystyle x\in\mathbb{R} \)). Mamy
\( \displaystyle \big|R_n(x)\big| \ =\ \bigg| \frac{e^y}{(n+1)!}y^{n+1} \bigg| \ \le\ \frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1}. \)
Ostatnie wyrażenie przy dowolnym ustalonym \( \displaystyle x\in\mathbb{R} \) zmierza do \( \displaystyle 0 \) gdy \( \displaystyle narrow+\infty \). A zatem \( \displaystyle \displaystyle e^x=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} \)
Dowód dla dwóch pozostałych funkcji jest analogiczny.
Uwaga 4.20.
Nie zawsze jednak suma szeregu Taylora funkcji klasy \( \displaystyle C^{\infty} \) jest równa tej funkcji. Przykładem takiej funkcji jest
\( \displaystyle f(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} e^{-\frac{1}{x^2}} & \textrm{dla} \displaystyle & x\ne 0, \\ 0 & \textrm{dla} \displaystyle & x=0, \end{array} \right. \)
Aby to pokazać, należy obliczyć pochodne funkcji \( \displaystyle f \) w \( \displaystyle 0 \) (z definicji). Przy liczeniu granicy ilorazu różnicowego wykorzystać regułę de l'Hospitala oraz indukcję matematyczną.
Funkcje, które w pewnym otoczeniu punktu \( \displaystyle x_0 \) są równe sumie swojego szereg Taylora o środku w \( \displaystyle x_0 \) nazywamy analitycznymi.