Wśród szeregów funkcyjnych szczególną rolę odgrywają szeregi potęgowe, to znaczy szeregi, których wyrazy są jednomianami kolejnych stopni. Przykładem szeregu potęgowego jest szereg Taylora funkcji klasy \( \displaystyle C^{\infty} \).
Definicja 5.1.
Szeregiem potęgowym o środku w punkcie \( \displaystyle x_0\in\mathbb{R} \) i współrzędnych \( \displaystyle c_n\in\mathbb{R} \) (\( \displaystyle n\in\mathbb{N} \)) nazywamy szereg funkcyjny postaci
\( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-x_0)^n \)
(umowa: \( \displaystyle (x-x_0)^0=1 \) nawet dla \( \displaystyle x=x_0 \)).
Uwaga 5.2.
(1) Gdy \( \displaystyle x_0=0 \), to mamy szereg \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \).
(2) Szereg \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-x_0)^n \) jest zawsze zbieżny w swoim środku, to znaczy dla \( \displaystyle x=x_0 \), bo wtedy dostajemy szereg zerowy.
(3) Dla wygody będziemy w dalszym wykładzie zakładali, że środek \( \displaystyle x_0=0 \), ale wszystkie twierdzenia można łatwo przenieść na przypadek, gdy środkiem jest dowolne \( \displaystyle x_0\in\mathbb{R} \).
Zacznijmy od kilku prostych obserwacji dotyczących szeregów potęgowych.
Twierdzenie 5.3.
Jeśli szereg \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) jest zbieżny dla pewnego \( \displaystyle x_1\ne0 \), to jest:
(1) bezwzględnie zbieżny dla dowolnego \( \displaystyle |x| < |x_1| \);
(2) zbieżny jednostajnie na każdym przedziale \( \displaystyle (-r,r) \), gdzie \( \displaystyle r < |x_1| \).
Dowód 5.3. [nadobowiązkowy]
Zbieżność szeregu \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) dla \( \displaystyle x_1 \) oznacza zbieżność szeregu liczbowego \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx_1^n \), a to z kolei implikuje, że
\( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} c_nx_1^n \ =\ 0 \)
(patrz warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych; Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.3. W szczególności ciąg \( \displaystyle \{c_nx_1^n\} \) jest ograniczony, to znaczy
\( \displaystyle \exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ \big|c_nx_1^n\big|\le M. \)
Przystąpimy teraz do dowodu (1) i (2).
(Ad (1)) Niech \( \displaystyle x \) będzie takie, że \( \displaystyle |x| < |x_1| \). Wówczas
\( \displaystyle \big|c_nx^n\big| \ =\ \bigg|c_nx_1^n\cdot\frac{x^n}{x_1^n}\bigg| \ =\ \bigg|\frac{x}{x_1}\bigg|^n\big|c_n x_1^n\big| \ \le\ Mq^n, \)
gdzie \( \displaystyle \displaystyle q=\bigg|\frac{x}{x_1}\bigg| < 1 \). Możemy zatem zastosować kryterium porównawcze zbieżności szeregów (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.9.), z którego wynika, że szereg \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) jest bezwzględnie zbieżny.
(Ad (2)) Niech \( \displaystyle r < |x_1| \). Wówczas dla dowolnego \( \displaystyle x \) takiego, że \( \displaystyle |x| < r \) mamy
\( \displaystyle \big|c_nx^n\big| \ =\ \bigg|c_nx_1^n\cdot\frac{x^n}{x_1}\bigg| \ \le\ Mq^n, \)
gdzie \( \displaystyle \displaystyle q=\frac{r}{|x_1|} < 1 \) (zauważmy, że \( \displaystyle q \) nie jest zależne od \( \displaystyle x \)). Korzystając z kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.), wnioskujemy, że szereg \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) jest zbieżny jednostajnie w przedziale \( \displaystyle (-r,r) \).
Definicja 5.4.
Promieniem zbieżności szeregu potęgowego \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) nazywamy kres górny zbioru modułów wszystkich liczb \( \displaystyle x \), dla których szereg ten jest zbieżny.
Uwaga 5.5.
Z twierdzenia 5.3. (1) wynika, że jeśli \( \displaystyle R \) jest promieniem zbieżności szeregu \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \), to szereg ten jest zbieżny (i to bezwzględnie) w przedziale \( \displaystyle (-R,R) \) oraz jest rozbieżny dla \( \displaystyle |x|>R \). Tłumaczy to nazwę "promień zbieżności". Nic nie wiemy natomiast o zbieżności dla \( \displaystyle x=R \) i \( \displaystyle x=-R \). W każdej jednak sytuacji obszarem zbieżności szeregu potęgowego jest przedział w \( \displaystyle \mathbb{R} \).
Przykład 5.6.
Zbadać zbieżność szeregów:
(1) \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n \);
(2) \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \);
(3) \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n^nx^n \).
(Ad (1)) Jest to znany nam szereg geometryczny. Jest on zbieżny dla \( \displaystyle |x| < 1 \) oraz rozbieżny dla \( \displaystyle |x|\ge 1 \) (gdyż dla \( \displaystyle |x|\ge 1 \) nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów; patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.3.).
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest \( \displaystyle (-1,1) \).
(Ad (2)) Jest to znany nam szereg Maclaurina dla funkcji \( \displaystyle f(x)=e^x \) (patrz twierdzenie 4.19.). Promień zbieżności wynosi \( \displaystyle R=+\infty \), a obszarem zbieżności jest \( \displaystyle \mathbb{R} \).
(Ad (3)) Szereg ten jest zbieżny tylko dla \( \displaystyle x=0 \). Dla \( \displaystyle x\ne 0 \) nie spełnia on warunku koniecznego zbieżności szeregów. Zatem promieniem zbieżności jest \( \displaystyle R=0 \), a obszarem zbieżności
jest \( \displaystyle \{0\} \).
Kolejne twierdzenie podaje efektywny wzór na liczenie promienia zbieżności szeregu potęgowego.
Twierdzenie 5.7.
Jeśli \( \displaystyle R \) jest promieniem zbieżności szeregu \( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) oraz \( \displaystyle \kappa=\limsup\limits_{n \to +\infty}\sqrt[n]{|c_n|} \),
to
\( \displaystyle R \ =\ \left\{ \begin{array} {ll} \displaystyle \frac{1}{\kappa} & \quad \textrm{jeśli} \displaystyle \ 0 < \kappa < +\infty, \\ +\infty & \quad \textrm{jeśli} \displaystyle \ \kappa=0, \\ 0 & \quad \textrm{jeśli} \displaystyle \ \kappa=+\infty. \end{array} \right. \)
Dowód 5.7.
Przy ustalonym \( \displaystyle x\in\mathbb{R} \), zbadajmy zbieżność szeregu liczbowego \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \), korzystając z kryterium Cauchy'ego (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 7.4.). Dla \( \displaystyle x\ne 0 \), mamy:
\( \displaystyle \limsup\limits_{n \to +\infty}\sqrt[n]{|c_nx^n|} \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} \kappa|x| & \textrm{gdy} \displaystyle & \kappa < +\infty, \\ +\infty & \textrm{gdy} \displaystyle & \kappa=+\infty. \end{array} \right . \)
Przypadek 1. Gdy \( \displaystyle \kappa\in(0,+\infty) \), to z kryterium Cauchy'ego (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 7.4.) wynika, że szereg \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) jest zbieżny (bezwzględnie) dla \( \displaystyle \displaystyle |x| < \frac{1}{\kappa} \) i rozbieżny dla \( \displaystyle \displaystyle |x|>\frac{1}{\kappa} \). Zatem \( \displaystyle \displaystyle R=\frac{1}{\kappa} \).
Przypadek 2. Gdy \( \displaystyle \kappa=0 \), to z kryterium Cauchy'ego wynika, że szereg \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) jest zbieżny (bezwzględnie) dla \( \displaystyle x\in\mathbb{R} \). Zatem \( \displaystyle R=+\infty \).
Przypadek 3. Gdy \( \displaystyle \kappa=+\infty \), to z kryterium Cauchy'ego wynika, że szereg \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) jest zbieżny tylko dla \( \displaystyle x=0 \). Zatem \( \displaystyle R=0 \).
Przykład 5.8.
Wyznacz przedziały zbieżności szeregów:
(1) \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(x-2)^n \);
(2) \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{(x+1)^n}{n\ln^2n} \).
(Ad (1)) Korzystamy z twierdzenia 5.7. Mamy
\( \displaystyle \kappa \ =\ \limsup\limits_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}} \ =\ 1. \)
Zatem promień zbieżności wynosi \( \displaystyle \displaystyle R=\frac{1}{\kappa}=1 \), czyli szereg jest zbieżny w przedziale \( \displaystyle (2-1,2+1)=(1,3) \) (zauważ, że środkiem szeregu jest tutaj \( \displaystyle 2 \)) oraz jest rozbieżny dla \( \displaystyle x\in(-\infty,1)\cup (3,+\infty) \). Należy jeszcze zbadać zbieżność dla \( \displaystyle x=1 \) i dla \( \displaystyle x=3 \).
Dla \( \displaystyle x=1 \) mamy szereg \( \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \), który jest zbieżny (wynika to z kryterium Leibniza; patrz Analiza matematyczna 1 wniosek 7.13 i przykład 7.14.; jest to znany nam szereg anharmoniczny).
Dla \( \displaystyle x=3 \) dostajemy szereg harmoniczny \( \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \), który jest rozbieżny (patrz przykład 6.14.).
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest \( \displaystyle [1,3) \).
(Ad (2)) Liczymy
\( \displaystyle \kappa \ =\ \limsup\limits_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n\ln^2n}}. \)
Oszacujmy wyrazy powyższego ciągu następująco:
\( \displaystyle \sqrt[n]{\frac{1}{n^3}} \ \le\ \frac{1}{n\ln^2n} \ \le\ \sqrt[n]{\frac{1}{n}}. \)
Ponieważ ciągi po lewej i po prawej stronie mają granicę \( \displaystyle 1 \), zatem z twierdzenia o trzech ciągach (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 4.11.) wnioskujemy, że \( \displaystyle \kappa=1 \). Zatem promień zbieżności wynosi \( \displaystyle \displaystyle R=\frac{1}{\kappa}=1 \), czyli szereg jest zbieżny w przedziale \( \displaystyle (-1-1,-1+2)=(-2,0) \) (zauważ, że środkiem szeregu jest tutaj \( \displaystyle -1 \)) oraz jest rozbieżny dla \( \displaystyle x\in(-\infty,-2)\cup (0,+\infty) \). Należy jeszcze zbadań zbieżność dla \( \displaystyle x=-2 \) i dla \( \displaystyle x=0 \).
Dla \( \displaystyle x=-2 \) dostajemy szereg \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2n} \), który jest zbieżny (można to pokazać, korzystając z kryterium całkowego, patrz Analiza matematyczna 1 przykład 14.27.).
Dla \( \displaystyle x=0 \) mamy szereg \( \displaystyle \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n\ln^2n} \), który jest zbieżny (wynika to z kryterium Leibniza; patrz Analiza matematyczna 1 wniosek 7.13. lub też z faktu, że jest on bezwzględnie zbieżny, gdyż powyżej zbadaliśmy zbieżność szeregu modułów jego wyrazów).
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest \( \displaystyle [-2,0] \).
Wyrazy szeregu potęgowego (jednomiany \( \displaystyle c_nx^n \)) są funkcjami klasy \( \displaystyle C^{\infty} \). Interesującym jest pytanie o regularność sumy szeregu potęgowego, to znaczy, czy funkcja \( \displaystyle S(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) jest ciągła, różniczkowalna, klasy \( \displaystyle C^1 \), klasy \( \displaystyle C^{\infty} \)? Pierwsze z poniższych twierdzeń mówi, że suma szeregu jest funkcją ciągłą wewnątrz przedziału zbieżności.
Twierdzenie 5.9.
Suma szeregu potęgowego \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) jest funkcją ciągłą w przedziale \( \displaystyle (-R,R) \), gdzie \( \displaystyle R>0 \) jest promieniem zbieżności tego szeregu.
Niech \( \displaystyle R>0 \) będzie promieniem zbieżności szeregu \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) (gdy \( \displaystyle R=0 \), teza jest pusto spełniona). Niech \( \displaystyle x\in(-R,R) \). Z własności zbioru liczb rzeczywistych wynika, że
\( \displaystyle \exists r\in\mathbb{R}:\ |x| \ < \ r \ < \ R. \)
Z twierdzenia 5.3. (2) wynika, że szereg \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) jest jednostajnie zbieżny w \( \displaystyle (-r,r) \). Ponieważ funkcje \( \displaystyle f_n(x)=c_nx^n \) są ciągłe, więc korzystając z twierdzenia 4.13., dostajemy, że suma tego szeregu jest także funkcją ciągłą w \( \displaystyle x \). Ponieważ punkt \( \displaystyle x\in(-R,R) \) był dowolnie wybrany, więc suma szeregu jest funkcją ciągłą w przedziale \( \displaystyle (-R,R) \).
Kolejne twierdzenie mówi, że wewnątrz przedziału zbieżności suma szeregu potęgowego jest nie tylko ciągła, ale także różniczkowalna oraz pochodna sumy szeregu jest sumą szeregu pochodnych wyrazów szeregu wyjściowego. Dowód tego twierdzenia pomijamy.
Twierdzenie 5.10. [o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie]]
Suma szeregu potęgowego \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \) jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie przedziału \( \displaystyle (-R,R) \), gdzie \( \displaystyle R>0 \) jest promieniem zbieżności tego szeregu, a pochodna tej sumy wyraża się wzorem
\( \displaystyle f'(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}x^n \qquad\forall\ x\in (-R,R). \)
W szczególności szereg \( \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}x^n \) ma ten sam promień zbieżności co wyjściowy szereg \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \).
Uwaga 5.11.
Z powyższego twierdzenia wynika, że pochodna sumy szeregu potęgowego jest też sumą pewnego szeregu potęgowego oraz że jest ona funkcją ciągłą. Zatem suma szeregu potęgowego jest funkcją klasy \( \displaystyle C^1 \). To samo możemy zastosować do pochodnej, itd. Zatem suma szeregu potęgowego jest funkcją klasy \( \displaystyle C^{\infty} \).
Przykład 5.12.
Korzystając z twierdzenia 5.10. oraz ze znajomości szeregów Maclaurina dla funkcji \( \displaystyle e^x \), \( \displaystyle \sin x \) i \( \displaystyle \cos x \) oblicz pochodne tych funkcji.
(1) Ponieważ
\( \displaystyle e^x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \qquad\forall\ x\in\mathbb{R}, \)
(patrz twierdzenie 4.19.), zatem
\( \displaystyle (e^x)' \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{x^n}{n!})' \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \ =\ e^x. \)
(2) Ponieważ
\( \displaystyle \sin x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \qquad\forall\ x\in\mathbb{R}, \)
zatem
\( \displaystyle (\sin x)' \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!} \ =\ \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \ =\ \cos x. \)
(3) Ponieważ
\( \displaystyle \cos x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \qquad\forall\ x\in\mathbb{R}, \)
zatem
\( \displaystyle \begin{align*} (\cos x)' & = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2nx^{2n-1}}{(2n)!} \ =\ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ & = -\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \ =\ -\sin x. \end{align*} \)
Wiemy już, że każdy szereg Taylora jest szeregiem potęgowym. Zadamy teraz pytanie odwrotne. Weźmy dowolny szereg potęgowy \( \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n \). Czy szereg ten jest szeregiem Taylora pewnej funkcji? Mówi o tym poniższa uwaga.
Uwaga 5.13.
Rozważmy szereg potęgowy \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-x_0)^n \). Niech \( \displaystyle R \) będzie promieniem zbieżności tego szeregu.
Wiemy, że szereg ten jest zbieżny dla \( \displaystyle x \) takich, że \( \displaystyle |x-x_0| < R \) oraz jest rozbieżny dla \( \displaystyle x \) takich, że \( \displaystyle |x-x_0|>R \).
Jeśli \( \displaystyle R>0 \), to funkcja
\( \displaystyle f(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-x_0)^n \qquad \) dla \( \displaystyle \ x\in(x_0-R,x_0+R) \)
jest klasy \( \displaystyle C^{\infty} \) na przedziale \( \displaystyle \big(x_0-R,x_0+R\big) \) (patrz uwaga 5.11.) oraz
\( \displaystyle \begin{align*} f'(x) & = \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}(x-x_0)^n, \\ \vdots & & \\ f^{(k)}(x) & = \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+k)\cdot\ldots\cdot(n+1)c_{n+k}(x-x_0)^n. \end{align*} \)
Wstawiając \( \displaystyle x=x_0 \), dostajemy
\( \displaystyle f^{(k)}(x_0) \ =\ k!c_k, \)
czyli
\( \displaystyle c_n \ =\ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \qquad \) dla \( \displaystyle \ n\in\mathbb{N} \)
ale to są dokładnie współczynniki we wzorze Taylora. Zatem:
(1) Szereg potęgowy jest szeregiem Taylora swojej sumy wewnątrz obszaru zbieżności.
(2) Przedstawienie danej funkcji w szereg potęgowy jest jednoznaczne i tym szeregiem jest szereg Taylora.