Większość pojęć i twierdzeń, którymi będziemy posługiwać się w tym module, poznaliśmy już przy okazji omawiania własności funkcji ciągłych w przestrzeniach metrycznych. Przypomnijmy parę z nich.
Niech \( \displaystyle (X,d) \), \( \displaystyle (Y,\rho) \) będą przestrzeniami metrycznymi. Będziemy zajmowali się badaniem funkcji
\( \displaystyle f:X\mapsto Y. \)
Większość praktycznych przykładów zastosowania teorii będzie dotyczyć funkcji określonych na zbiorze \( \displaystyle \mathbb{R}^n \), \( \displaystyle n=2,3,\dots \), z metryką \( \displaystyle d(x,y)=\|x-y\| \) zadaną przez pewną ustaloną normę \( \displaystyle \|\cdot\| \) w \( \displaystyle \mathbb{R}^n \), np.
\( \displaystyle \begin{align*} \|x\|_p & =\big(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\big)^{\frac{1}{p}}, \text{ dla } 1\leq p < \infty \\ & \text{ w szczególności } \\ \|x\|_1 & =|x_1|+|x_2|+\dots+|x_n| \\ \|x\|_2 & =\sqrt{|x_1|^2 +|x_2|^2 +\dots+|x_n|^2} \\ & \text{ bądź też } \\ \|x\|_{\infty} & =\max\{|x_1|, \ |x_2|, \ \dots, \ |x_n| \}. \end{align*} \)
Zbiorem wartości funkcji \( \displaystyle f \) najczęściej będzie zbiór liczb rzeczywistych \( \displaystyle \mathbb{R} \) z metryką zadaną przez wartość bezwzględną, tj. \( \displaystyle \rho(a,b)=|a-b| \).
Definicja 6.1.
Mówimy, że \( \displaystyle g\in Y \) jest granicą funkcji \( \displaystyle f:X\mapsto Y \) w punkcie \( \displaystyle x \) będącym punktem skupienia dziedziny funkcji \( \displaystyle f \), jeśli
\( \displaystyle \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 : \forall y: 0 < d(x,y) < \delta\Longrightarrow \rho(g,f(y)) < \epsilon. \)
Definicja 6.2.
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f:X\mapsto Y \) jest ciągła w punkcie x, jeśli
\( \displaystyle \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 : \forall y: d(x,y) < \delta \Longrightarrow \rho(f(x),f(y)) < \epsilon. \)
Pamiętamy również, że zachodzi następujące
Twierdzenie 6.3.
Niech \( \displaystyle X, \ Y \) będą przestrzeniami metrycznymi i niech \( \displaystyle f:X\mapsto Y \) będzie funkcją. Wówczas następujące warunki są równoważne:
1) funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle a\in X \),
2) istnieje granica \( \displaystyle \lim_{x\to a}f(x) \) i jest równa wartości funkcji \( \displaystyle f(a) \).
Niech \( \displaystyle X \), \( \displaystyle Y \), \( \displaystyle Z \) będą przestrzeniami metrycznymi.
Twierdzenie 6.4.
Złożenie \( \displaystyle g\circ f: X\mapsto Z \) funkcji ciągłych \( \displaystyle f:X\mapsto Y \) i \( \displaystyle g: Y\mapsto Z \) jest funkcją ciągłą.
Twierdzenie 6.5.
Jeśli \( \displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R} \) oraz \( \displaystyle g:X\mapsto \mathbb{R} \) są funkcjami ciągłymi, to suma \( \displaystyle f+g \) oraz iloczyn \( \displaystyle f\cdot g \) są funkcjami ciągłymi. Ponadto odwrotność \( \displaystyle \displaystyle \frac{1}{g} :Z\ni x\mapsto \frac{1}{g(x)}\in\mathbb{R} \) oraz iloraz \( \displaystyle \displaystyle \frac{f}{g}: Z\ni x\mapsto \frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb{R} \)
są funkcjami ciągłymi na zbiorze \( \displaystyle Z:=X\setminus\{x\in X: g(x)=0\} \). Przypomnijmy jeszcze następujące twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym.
Twierdzenie 6.6.
Jeśli \( \displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą określoną na przestrzeni zwartej \( \displaystyle X \), to istnieją punkty \( \displaystyle a, b\in X \), w których funkcja \( \displaystyle f \) osiąga kresy: kres dolny \( \displaystyle \inf\{f(x), x\in X\}=f(a) \) i kres górny \( \displaystyle \sup\{f(x), x\in X\}=f(b) \).
Rozważmy przykład, który pokazuje, że zachowanie funkcji wielu zmiennych może wykraczać poza naszą intuicję ukształtowaną podczas badania funkcji jednej zmiennej.
Przykład 6.7.
Funkcja \( \displaystyle \displaystyle f(x,y)=\frac{x y}{x^2 +y^2} \) określona jest we wszystkich punktach płaszczyzny \( \displaystyle \mathbb{R}^2 \) z wyjątkiem punktu \( \displaystyle (0,0) \). Wyraźmy ją we współrzędnych biegunowych
\( \displaystyle \Phi: (r,\varphi)\mapsto \left\{ \begin{align*} x(r,\varphi)=r\cos\varphi \\ y(r,\varphi)=r\sin\varphi \end{align*} \right. \)
W punktach leżących poza początkiem układu współrzędnych, tj. gdy \( \displaystyle r>0 \), otrzymamy:
\( \displaystyle (f\circ\Phi)(r, \varphi)=\frac{r^2\cos\varphi \sin\varphi }{r^2 (\cos^2 \varphi+\sin^2 \varphi)}=\frac{1}{2}\sin 2\varphi. \)
Zauważmy, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \( \displaystyle [-\frac{1}{2},\frac{1}{2} ] \). Ponadto funkcja \( \displaystyle (r, \varphi)\mapsto \frac{1}{2}\sin 2\varphi \) nie zależy od zmiennej \( \displaystyle r \). Oznacza to, że zacieśnienie funkcji \( \displaystyle f \) do którejkolwiek półprostej danej równaniem \( \displaystyle \varphi=\varphi_0 \) (tj. półprostej, która tworzy z dodatnią półosią osi rzędnych ustalony kąt \( \displaystyle \varphi_0 \)) jest funkcją o stałej wartości \( \displaystyle \frac{1}{2}\sin 2\varphi_0 \), niezależnej od odległości \( \displaystyle r \) punktu od początku układu współrzędnych. Każde z tych zacieśnień do prostej \( \displaystyle \{\varphi=\varphi_0\}\cup \{\varphi=\varphi_0+\pi\} \) ma granicę przy \( \displaystyle r\to 0 \) równą \( \displaystyle \frac{1}{2}\sin 2\varphi_0 \). Jednak wartość ta zależy od wyboru kąta \( \displaystyle \varphi_0 \), stąd nie istnieje granica funkcji \( \displaystyle (x,y)\mapsto f(x,y) \), gdy \( \displaystyle (x,y)\to (0,0) \). Zauważmy, że gdy rozważymy osobno funkcje jednej zmiennej, ustalając drugą zmienną, tzn. \( \displaystyle y \) lub odpowiednio \( \displaystyle x \):
\( \displaystyle \begin{align*} f_y & =f(\cdot , y): \mathbb{R} \ni x\mapsto \frac{xy}{x^2+y^2} \\ f_x & = (x , \cdot ): \mathbb{R} \ni y\mapsto \frac{xy}{x^2+y^2},\end{align*} \)
to zarówno \( \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to 0}f_y(x)=0 \), jak też \( \displaystyle \displaystyle \lim_{y\to 0}f_x(y) =0 \), a więc w szczególności istnieją granice iterowane
\( \displaystyle \begin{align*} \lim_{x\to 0}\big( \lim_{y\to 0} f(x,y) \big) =0, \\ \lim_{y\to 0} \big( \lim_{x\to 0} f(x,y)\big)=0 \end{align*} \)
i są równe.
Wykres funkcji \( \displaystyle \displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2 +y^2} \)
Przykład pokazuje więc, że
Wniosek 6.8.
Z istnienia granic iterowanych
\( \displaystyle \begin{align*} \lim_{x\to a}\big( \lim_{y\to b} f(x,y) \big) \\ \lim_{y\to b} \big( \lim_{x\to a} f(x,y)\big)\end{align*} \)
i równości tych granic nie wynika istnienie granicy funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle (a,b) \).
Prawdziwa natomiast jest implikacja:
Uwaga 6.9.
Jeśli funkcja \( \displaystyle f: \mathbb{R}\times \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R} \) ma granicę w punkcie \( \displaystyle (a,b) \), to istnieją obie granice iterowane
\( \displaystyle \begin{align*} \lim_{x\to a}\big( \lim_{y\to b} f(x,y) \big) \\ \lim_{y\to b} \big( \lim_{x\to a} f(x,y)\big)\end{align*} \)
i są równe granicy funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle (a,b) \).
Uwaga ta stanowi warunek konieczny istnienia granicy \( \displaystyle \displaystyle\lim_{(x,y)\to (a, b)}f(x,y) \). Jeśli bowiem nie istnieje któraś z granic iterowanych, bądź nie są one równe, to funkcja \( \displaystyle f \) nie ma granicy w punkcie \( \displaystyle (a,b) \). Podkreślmy jeszcze raz fakt, że istnienie i równość obu granic iterowanych nie gwarantuje istnienia granicy funkcji.