Niech \( \displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R} \) będzie funkcją określoną na przestrzeni metrycznej \( \displaystyle X \) o wartościach rzeczywistych.
Definicja 6.10.
Poziomicą funkcji \( \displaystyle f \)
odpowiadającą wartości \( \displaystyle a\in \mathbb{R} \) nazywamy zbiór
\( \displaystyle \{f=a\}=\{x\in X: f(x)=a\}, \)
czyli przeciwobraz zbioru jednopunktowego \( \displaystyle \{a\} \) przez funkcję \( \displaystyle f \).
Często pobieżna nawet analiza przebiegu poziomic pozwala ustalić, czy dana funkcja osiąga ekstrema (zob. definicja ekstremum w module 9 Analizy matematycznej 1), czy też nie.
Przykład 6.11.
Niech \( \displaystyle f(x,y)=x^2+y^2-4 \).
Poziomica \( \displaystyle \{f=a\}=\{(x,y): x^2+y^2-4=a\} \) jest okręgiem o środku w punkcie \( \displaystyle (0,0) \) i promieniu \( \displaystyle \sqrt{4+a} \), gdy \( \displaystyle a>-4 \). Poziomica \( \displaystyle \{f=-4\} \) składa się tylko z jednego punktu \( \displaystyle (0,0) \), natomiast jeśli \( \displaystyle a < -4 \), to poziomica \( \displaystyle \{f=a\} \) jest zbiorem pustym. Funkcja \( \displaystyle f \) osiąga minimum globalne w punkcie \( \displaystyle (0,0) \) równe \( \displaystyle f(0,0)=-4 \).
Przykład 6.12.
Niech \( \displaystyle f(x,y)=x^2-y^2 \).
Poziomica zerowa \( \displaystyle \{f=0\}=\{(x,y): x^2-y^2=0\}=\{x=y\}\cup \{x=-y\} \) jest sumą dwóch prostych: \( \displaystyle x=y \) i \( \displaystyle x=-y \). Jeśli \( \displaystyle a\neq 0 \) poziomica \( \displaystyle \{f=a\}=\{x^2-y^2=a\} \) jest hiperbolą o asymptotach \( \displaystyle x=y \) i \( \displaystyle x=-y \). Przebieg poziomic pozwala ustalić, że funkcja \( \displaystyle f \) w żadnym punkcie płaszczyzny nie osiąga ekstremum, bowiem w dowolnie małym otoczeniu każdego punktu \( \displaystyle (x,y) \) potrafimy z łatwością wskazać punkty, w których funkcja przyjmuje zarówno wartości mniejsze jak i większe od wartości funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle (x,y) \).
Przykład 6.13.
Niech \( \displaystyle f(x,y)=|x|+|y| \).
Funkcja \( \displaystyle f \) jest normą w \( \displaystyle \mathbb{R}^2 \), przyjmuje więc wyłącznie wartości nieujemne, stąd \( \displaystyle \{f=a\}=\emptyset \), gdy \( \displaystyle a < 0 \). Poziomica zerowa \( \displaystyle \{f=0\}=\{(0,0)\} \) składa się tylko z jednego punktu. Gdy \( \displaystyle a>0 \), poziomica \( \displaystyle \{f=a\}=\{|x|+|y|=a\} \) jest kwadratem o wierzchołkach \( \displaystyle (a,0) \), \( \displaystyle (0,a) \), \( \displaystyle (-a, 0) \), \( \displaystyle (0, -a) \). Funkcja \( \displaystyle f \) osiąga minimum globalne w punkcie \( \displaystyle (0,0) \), gdyż \( \displaystyle f(x,y)>0 \) w dowolnym punkcie \( \displaystyle (x,y)\neq (0,0) \). Podobnie jak w poprzednim przykładzie przebieg poziomic pozwala ustalić, że funkcja \( \displaystyle f \) w żadnym punkcie płaszczyzny poza punktem \( \displaystyle (0,0) \) nie osiąga ekstremum, bowiem w dowolnie małym otoczeniu każdego punktu \( \displaystyle (x,y)\neq (0,0) \) potrafimy z łatwością wskazać punkty, w których funkcja przyjmuje zarówno wartości mniejsze jak i większe od wartości funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle (x,y) \).
Przykład 6.14.
Niech \( \displaystyle f(x,y)=|x|^{\frac{2}{3}}+|y|^{\frac{2}{3}} \).
Funkcja \( \displaystyle f \) przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, stąd \( \displaystyle \{f=a\}=\emptyset \), gdy \( \displaystyle a < 0 \). Poziomica zerowa \( \displaystyle \{f=0\}=\{(0,0)\} \) składa się tylko z jednego punktu. Gdy \( \displaystyle a>0 \), poziomica \( \displaystyle \{f=a\}=\{|x|^{\frac{2}{3}}+|y|^{\frac{2}{3}}=a\} \) jest krzywą zawartą w kwadracie o wierzchołkach \( \displaystyle (\sqrt{a^3},0) \), \( \displaystyle (0,\sqrt{a^3}) \), \( \displaystyle (-\sqrt{a^3}, 0) \), \( \displaystyle (0, -\sqrt{a^3}) \). Krzywą tę nazywamy asteroidą. Zauważmy, że funkcja osiąga minimum globalne w punkcie \( \displaystyle (0,0) \), gdyż \( \displaystyle f(x,y)>0 \), w dowolnym punkcie \( \displaystyle (x,y)\neq (0,0) \). Podobnie jak w poprzednich przykładach przebieg poziomic pozwala stwierdzić, że jest to jedyne ekstremum tej funkcji na płaszczyźnie \( \displaystyle \mathbb{R}^2 \).
Przykład 6.15.
Niech \( \displaystyle f(x,y)=x y (1-x-y) \).
Poziomicą zerową \( \displaystyle \{f=0\} \) tej funkcji jest suma trzech prostych: \( \displaystyle x=0 \), \( \displaystyle y=0 \) oraz \( \displaystyle x+y=1 \). Zauważmy, że w dowolnie małym otoczeniu któregokolwiek punktu leżącego na tej poziomicy znajdziemy punkty, w których funkcja osiąga zarówno wartości mniejsze jak i większe od zera. Stąd w żadnym punkcie zbioru \( \displaystyle \{f=0\} \) funkcja \( \displaystyle f \) nie osiąga ekstremum. Zwróćmy jednak uwagę, że wnętrze trójkąta o wierzchołkach \( \displaystyle (0,0) \), \( \displaystyle (1,0) \), \( \displaystyle (0,1) \) zawarte jest w zbiorze \( \displaystyle \{f < 0\} \) tych punktów, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne. W sumie mnogościowej z brzegiem trójkąta o podanych wierzchołkach zbiór ten jest zwarty. Z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że we wnętrzu tego trójkąta funkcja \( \displaystyle f \) osiąga minimum. Dalsza analiza przebiegu poziomic we wnętrzu trójkąta nie jest efektywnym narzędziem prowadzącym do precyzyjne określenia, w którym punkcie minimum to jest osiągane, ponieważ kreślenie poziomic \( \displaystyle \{f=a\} \), gdy \( \displaystyle a\neq 0 \), nie jest prostym zadaniem. Warto jednak zauważyć, że żaden punkt leżący na poziomicy zerowej funkcji \( \displaystyle f \) nie może być jej punktem ekstremalnym, gdyż w otoczeniu któregokolwiek punktu z tej poziomicy funkcja przyjmuje zarówno wartości dodatnie jak i ujemne.
Wykres funkcji \( \displaystyle f(x,y)=x y (1-x-y) \)
Kartezjusz (1596-1650)
Przykład 6.16.
Niech \( \displaystyle f(x,y)=x^3+y^3-3xy \).
Poziomicą zerową \( \displaystyle \{f=0\} \) tej funkcji jest nieograniczona krzywa, którą nazywamy liściem Kartezjusza. Krzywa ta ma asymptotę o równaniu \( \displaystyle x+y+1=0 \). W pierwszej ćwiartce \( \displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x\geq 0, y\geq 0\} \) tworzy petlę ograniczającą obszar, we wnętrzu którego funkcja \( \displaystyle f \) przyjmuje wartości ujemne. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że we wnętrzu pętli liścia Kartezjusza funkcja \( \displaystyle f \) osiąga minimum. Dalsza analiza przebiegu poziomic nie prowadzi efektywnie do precyzyjne określenia, w którym punkcie minimum to jest osiągane. Warto jednak zauważyć, że w żadnym z punktów liścia Kartezjusza funkcja \( \displaystyle f \) nie może osiągać ekstremum, gdyż w dowolnie małym otoczeniu któregokolwiek punktu tej krzywej funkcja \( \displaystyle f \) osiąga wartości dodatnie jak i ujemne.
Przykład 6.17.
Jakob Bernoulli (1654-1705)
Niech \( \displaystyle f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2 (x^2- y^2) \).
Poziomicą zerową \( \displaystyle \{f=0\} \) tej funkcji jest krzywa, zwana lemniskatą Bernoullego. Przebieg lemniskaty \( \displaystyle \{f=0\} \) najwygodniej zbadać we współrzędnych biegunowych:
\( \displaystyle \begin{align*} (x^2+y^2)^2 & =2 (x^2- y^2) \\ (r^2 \cos^2 \varphi+r^2 \sin^2 \varphi)^2 & =2 (r^2 \cos^2 \varphi-r^2 \sin^2 \varphi) \\ r^4 & =2 r^2 \cos 2 \varphi \\ r=0 & \text{ lub } r=\sqrt{2 \cos 2 \varphi}, \end{align*} \)
przy czym wyrażenie pod znakiem pierwiastka jest nieujemne dla \( \displaystyle \varphi\in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]\cup [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] \). Lemniskata Bernoullego jest więc zawarta w części wspólnej koła o promieniu \( \displaystyle \sqrt{2} \) i dwóch obszarów wyciętych z płaszczyzny półprostymi tworzącymi z osią rzędnych kąty \( \displaystyle -\frac{\pi}{4}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4},\ -\frac{3\pi}{4} \). Zauważmy, że we wnętrzu obszaru ograniczonego lemniskatą Bernoullego funkcja \( \displaystyle f \) osiąga wartości ujemne. Na zewnątrz zaś - dodatnie. Podobnie jak w obu poprzednich przykładach twierdzenie Weierstrassa gwarantuje istnienie minimum lokalnego w obszarze \( \displaystyle \{(x,y): f(x,y)\leq 0\} \) ograniczonym lemniskatą Bernoullego. Z kolei w dowolnie małym otoczeniu każdego punktu poziomicy zerowej \( \displaystyle \{f=0\} \) funkcja przyjmuje zarówno wartości dodatnie jak i ujemne. Funkcja \( \displaystyle f \) nie osiąga więc ekstremum w żadnym punkcie należącym do swojej poziomicy zerowej.
Trzy ostatnie przykłady każą nam szukać doskonalszego narzędzia do precyzyjnego lokalizownia punktów ekstremalnych funkcji wielu zmiennych, gdy analiza przebiegu poziomic jest niewystarczająca. Tym narzędziem są