Niech \( \displaystyle f:D\mapsto \mathbb{R} \) będzie funkcją określoną na pewnym zbiorze otwartym \( \displaystyle D\subset \mathbb{R}^n \). Załóżmy, że w pewnym punkcie \( \displaystyle a\in D \) istnieją pochodne cząstkowe \( \displaystyle \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \).
Definicja 6.30.
Wektor \( \displaystyle \displaystyle \mathrm{grad}\, f(a)=\bigg(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\bigg)\in \mathbb{R}^n \) nazywamy gradientem funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle a \). Wektor ten oznaczamy też często symbolem nabla: \( \displaystyle \nabla f(a) \). Punkt \( \displaystyle a \), w którym wyznaczamy gradient funkcji \( \displaystyle f \), zapisujemy czasem w formie indeksu dolnego: \( \displaystyle \mathrm{grad}\,_a f \), \( \displaystyle \nabla_a f \).
Uwaga 6.31.
Jeśli funkcje \( \displaystyle f,g: \mathbb{R}^n\supset D\mapsto \mathbb{R} \) mają w punkcie \( \displaystyle a\in D \) pochodne cząstkowe \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \), \( \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_i}(a) \), \( \displaystyle i=1,2,\dots, n \), to
a) \( \displaystyle \mathrm{grad}\, (f+g)(a)=\mathrm{grad}\, f(a) +\mathrm{grad}\, g(a), \)
b) \( \displaystyle \mathrm{grad}\, (f g)(a)=g(a) \mathrm{grad}\, f(a) +f(a) \mathrm{grad}\, g(a). \)
Dowód 6.31.
Korzystając z twierdzenia o pochodnej sumy i iloczynu funkcji \( \displaystyle f,g \), wyznaczamy kolejne współrzędne wektorów \( \displaystyle \mathrm{grad}\,(f+g)(a) \) oraz \( \displaystyle \mathrm{grad}\,(fg)(a) \):
\( \displaystyle \frac{\partial}{\partial x_i}(f+g)(a)=\frac{\partial}{\partial x_i}f(a)+\frac{\partial}{\partial x_i}g(a) \)
oraz
\( \displaystyle \frac{\partial}{\partial x_i}(fg)(a)=g(a)\frac{\partial}{\partial x_i}f(a)+ f(a)\frac{\partial}{\partial x_i}g(a), \)
gdy \( \displaystyle i=1,2,\dots, n \). Stąd otrzymujemy równości a) oraz b).
W ramach następnego modułu wykażemy, że
Uwaga 6.32.
Pochodna kierunkowa w kierunku gradientu jest największa. W fizyce funkcję \( \displaystyle f:\mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R} \) o wartościach liczbowych nazywa się funkcją skalarną, natomiast funkcję \( \displaystyle F: \mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}^3 \) nazywa się polem (wektorowym). Przykładem funkcji skalarnych są np. temperatura, potencjał pola grawitacyjnego. Przykładem pola, które znamy ze szkoły, jest pole grawitacyjne. Jeśli w początku układu współrzędnych w przestrzeni \( \displaystyle \mathbb{R}^3 \) znajduje się punkt materialny o masie \( \displaystyle M \), to - zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona - na dowolny inny punkt materialny położony w punkcie \( \displaystyle \vec{r}=(x,y,z) \) o masie \( \displaystyle m \) działa siła \( \displaystyle F=(F_x, F_y, F_z) \), której składowe wynoszą:
\( \displaystyle \begin{align*} F_x (\vec{r}) & =-k\frac{x}{r^3}, \\ F_y (\vec{r}) & =-k\frac{y}{r^3}, \\ F_z (\vec{r}) & =-k\frac{z}{r^3},\end{align*} \)
gdzie \( \displaystyle k=G m M \) jest iloczynem mas obu punktów materialnych i stałej grawitacji
\( \displaystyle G=6,67259... \cdot 10^{-11} N\cdot m^2\cdot kg^{-2}, \)
natomiast \( \displaystyle r=\|\vec{r}\|_2=\|(x,y,z)\|_2=\sqrt{x^2 +y^2+z^2} \) jest odległością obu punktów. Zwróćmy uwagę, że
\( \displaystyle F(\vec{r})=-\frac{k}{r^3}\vec{r}, \)
stąd
\( \displaystyle \|F(\vec{r})\|_2=\frac{k}{r^3}\|\vec{r}\|_2=\frac{k}{r^3}r=\frac{k}{r^2} \)
siła ta jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości obu punktów materialnych.
Definicja 6.33.
Pole wektorowe \( \displaystyle F:\mathbb{R}^3\supset D \mapsto \mathbb{R}^3 \) nazywamy polem potencjalnym, jeśli istnieje funkcja skalarna \( \displaystyle U:D\mapsto \mathbb{R} \) taka, że \( \displaystyle \mathrm{grad}\, U(a)=F(a) \) w dowolnym punkcie \( \displaystyle a \) zbioru otwartego \( \displaystyle D\subset \mathbb{R}^3 \).
Funkcję \( \displaystyle U \) nazywamy wówczas potencjałem pola wektorowego \( \displaystyle F \).
Uwaga 6.34.
Pole grawitacyjne \( \displaystyle \displaystyle F(\vec{r})=-\frac{k}{r^3}\vec{r} \) jest polem potencjalnym. Potencjałem tego pola jest funkcja skalarna \( \displaystyle U(\vec{r})=\frac{k}{r} \), gdzie (jak powyżej) \( \displaystyle \vec{r}=(x,y,z) \)
oraz \( \displaystyle r=\|\vec{r}\|_2=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \).
Dowód 6.34.
Policzmy pochodne cząstkowe funkcji \( \displaystyle U(x,y,z)=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{k}{r} \) określonej w zbiorze otwartym \( \displaystyle D=\mathbb{R}^3 \setminus \{0\} \), czyli wszędzie w przestrzeni \( \displaystyle \mathbb{R}^3 \) poza początkiem układu współrzędnych. Mamy
\( \displaystyle \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}U(\vec{r}) & =\frac{\partial}{\partial x}\frac{k}{r}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{\partial r}{\partial x}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{2 x}{2 r}=-\frac{k}{r^3}x \\ \frac{\partial}{\partial y}U(\vec{r}) & =\frac{\partial}{\partial y}\frac{k}{r}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{\partial r}{\partial y}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{2 y}{2 r}=-\frac{k}{r^3}y \\ \frac{\partial}{\partial z}U(\vec{r}) & =\frac{\partial}{\partial z}\frac{k}{r}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{\partial r}{\partial z}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{2 z}{2 r}=-\frac{k}{r^3}z,\end{align*} \)
czyli
\( \displaystyle \begin{align*} \mathrm{grad}\, U(\vec{r}) & = \mathrm{grad}\, U(x,y,z)=(-\frac{k}{r^3} x, -\frac{k}{r^3} y, -\frac{k}{r^3} z) \\ & =-\frac{k}{r^3} (x,y,z)=-\frac{k}{r^3} \vec{r} \\ & = F(\vec{r}).\end{align*} \)
Definicja 6.35.
Dywergencją pola wektorowego \( \displaystyle F=(F_x, F_y, F_z):\mathbb{R}^3\supset D\mapsto \mathbb{R}^3 \) w punkcie \( \displaystyle a\in D \) nazywamy liczbę
\( \displaystyle \mathrm{div}\, F(a)=\frac{\partial F_x}{\partial x}(a)+\frac{\partial F_y}{\partial y}(a)+\frac{\partial F_z}{\partial z}(a), \)
o ile istnieją pochodne cząstkowe \( \displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial x}(a), \ \frac{\partial F_y}{\partial y}(a), \ \frac{\partial F_z}{\partial z}(a) \). Jeśli w dowolnym punkcie \( \displaystyle a\in D \) dywergencja \( \displaystyle \mathrm{div}\, F(a)=0 \), to pole wektorowe \( \displaystyle F \) nazywamy polem bezźródłowym.
Uwaga 6.36.
Pole grawitacyjne \( \displaystyle \displaystyle F(\vec{r})=-\frac{k}{r^3}\vec{r} \) jest polem bezźródłowym w \( \displaystyle \mathbb{R}^3\setminus\{0\} \).
Dowód 6.36.
W dowolnym punkcie \( \displaystyle \vec{r}=(x,y,z)\neq 0 \) mamy
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial x}(\vec{r}) & = & \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\bigg(-\frac{k}{r^3} x\bigg)=-k\bigg(\frac{\partial x}{\partial x}\frac{1}{r^3}+x\frac{\partial }{\partial x}\frac{1}{r^3}\bigg) \\ & = & \displaystyle -k\bigg(\frac{1}{r^3}+x\cdot \frac{(-3)}{r^4}\frac{\partial r}{\partial x}\bigg)=-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3x^2}{r^5}\bigg) \end{array} \)
i podobnie
\( \displaystyle \displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial y}(\vec{r})=-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3y^2}{r^5}\bigg) \text{ oraz } \frac{\partial F_z}{\partial z}(\vec{r})=-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3z^2}{r^5}\bigg). \)
Stąd
\( \displaystyle \begin{align*} \mathrm{div}\, F(\vec{r}) & =\frac{\partial F_x}{\partial x}(\vec{r})+\frac{\partial F_y}{\partial y}(\vec{r})+\frac{\partial F_z}{\partial z}(\vec{r}) \\ & =-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3x^2}{r^5}\bigg)-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3y^2}{r^5}\bigg)-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3z^2}{r^5}\bigg) \\ & =-k\bigg(\frac{3}{r^3}- \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}\bigg)=-k\bigg(\frac{3}{r^3}- \frac{3r^2}{r^5}\bigg)=0.\end{align*} \)
Definicja 6.37.
Rotacją pola wektorowego \( \displaystyle F=(F_x, F_y, F_z):\mathbb{R}^3\supset D\mapsto \mathbb{R}^3 \) w punkcie \( \displaystyle a\in D \)
nazywamy wektor
\( \displaystyle \mathrm{rot}\, F(a)=\bigg(\frac{\partial F_z}{\partial y}(a)-\frac{\partial F_y}{\partial z}(a), \ \frac{\partial F_x}{\partial z}(a)-\frac{\partial F_z}{\partial x}(a), \ \frac{\partial F_y}{\partial x}(a)-\frac{\partial F_x}{\partial y}(a) \bigg). \)
Wektor ten oznaczamy też czasem symbolem \( \displaystyle \nabla\times F(a) \). Jeśli w każdym punkcie \( \displaystyle a\in D \) rotacja \( \displaystyle \mathrm{rot}\, F(a)=0 \), to pole wektorowe \( \displaystyle F \) nazywamy bezwirowym.
Uwaga 6.38.
Pole grawitacyjne \( \displaystyle \displaystyle F(\vec{r})=-\frac{k}{r^3}\vec{r} \) jest polem bezwirowym w \( \displaystyle \mathbb{R}^3\setminus\{0\} \).
Dowód 6.38.
W dowolnym punkcie \( \displaystyle \vec{r}=(x,y,z)\neq 0 \) mamy
\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}F_z(\vec{r})=\frac{\partial }{\partial y}\bigg(-k\frac{1}{r^3}z\bigg)=-kz\frac{\partial }{\partial y}\bigg(\frac{1}{r^3}\bigg)=-kz\frac{(-3)}{r^4}\frac{\partial r }{\partial y}=3kz \frac{y}{r^5}=zy\frac{3k}{r^5} \)
oraz podobnie
\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial z}F_y(\vec{r})=yz\frac{3k}{r^5}. \)
Pierwsza współrzędna wektora rotacji jest więc równa zeru, gdyż
\( \displaystyle \frac{\partial F_z}{\partial y}(\vec{r})-\frac{\partial F_y}{\partial z}(\vec{r})=zy\frac{3k}{r^5}-yz\frac{3k}{r^5}=0. \)
W ten sam sposób sprawdzamy, że również druga i trzecia współrzędna wektora rotacji zerują się:
\( \displaystyle \begin{align*} \frac{\partial F_x}{\partial z}(\vec{r})-\frac{\partial F_z}{\partial x}(\vec{r}) & =xz\frac{3k}{r^5}-zx\frac{3k}{r^5}=0 \\ \frac{\partial F_y}{\partial x}(\vec{r})-\frac{\partial F_x}{\partial y}(\vec{r}) & =yx\frac{3k}{r^5}-xy\frac{3k}{r^5}=0.\end{align*} \)
Stąd \( \displaystyle \mathrm{rot}\, F(\vec{r})=0 \), dla \( \displaystyle \vec{r}\neq 0 \).