Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklometryczne

Przypomnijmy kilka własności funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens. Żadna z nich nie jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

wykresy

Uwaga 2.27.

Funkcja \( \displaystyle f(x)=\sin x \) zacieśniona do przedziału \( \displaystyle \bigg[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg] \) jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
Funkcja \( \displaystyle f(x)=\cos x \) zacieśniona do przedziału \( \displaystyle [0, \pi] \) jest różnowartościowa, ściśle malejąca.

Funkcja \( \displaystyle f(x)=\mathrm{tg}\, x \) zacieśniona do przedziału \( \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg) \) jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.

Funkcja \( \displaystyle f(x)=\mathrm{ctg}\, x \) zacieśniona do przedziału \( \displaystyle (0, \pi) \) jest różnowartościowa, ściśle malejąca.

wykres x2

Pamiętamy również, że zachodzi

Twierdzenie 2.28. [jedynka trygonometryczna]

Dla dowolnej liczby rzeczywistej \( \displaystyle x \) suma kwadratów cosinusa i sinusa jest równa jedności, tzn. \( \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}: \cos^2 x+\sin^2 x=1 \).

Definicja 2.29.

Funkcję określoną na przedziale \( \displaystyle [-1,1] \) o wartościach w przedziale \( \displaystyle \bigg[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg] \), odwrotną do zacieśnienia funkcji sinus do przedziału \( \displaystyle \bigg[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg] \),nazywamy arcusem sinusem i oznaczamy symbolem \( \displaystyle x\mapsto \arcsin x \).

wykresy

Definicja 2.30

Funkcję określoną na przedziale \( \displaystyle [-1,1] \) o wartościach w przedziale \( \displaystyle [0, \pi] \), odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus do przedziału \( \displaystyle [0, \pi] \), nazywamy arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem \( \displaystyle x\mapsto \arccos x \).

Definicja 2.31.

Funkcję określoną na przedziale \( \displaystyle (-\infty,\infty) \) o wartościach w przedziale \( \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg) \), odwrotną do zacieśnienia funkcji tangens do przedziału \( \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg) \), nazywamy arcusem tangensem i oznaczamy symbolem \( \displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\, x \).

Definicja 2.32.

Funkcję określoną na przedziale \( \displaystyle (-\infty, \infty) \) o wartościach w przedziale \( \displaystyle (0, \pi) \), odwrotną do zacieśnienia funkcji cotangens do przedziału \( \displaystyle (0, \pi) \), nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem \( \displaystyle x\mapsto \mathrm{arc\,ctg}\, x \).

wykres

Funkcje: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.

Uwaga 2.33.

Funkcje arcus sinus i arcus tangens są ściśle rosnące. Funkcje arcus cosinus i arcus cotangens -- ściśle malejące.

Ze wzorów redukcyjnych: \( \displaystyle \sin\bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg)=\cos x \) oraz \( \displaystyle \mathrm{tg}\,\bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg)=\mathrm{ctg}\, x \) wynika, że

Uwaga 2.34.

Dla dowolnej liczby \( \displaystyle -1\leq x\leq 1 \) zachodzi równość \( \displaystyle \arccos x=\frac{\pi}{2}+\arcsin(-x). \)
Dla dowolnej liczby \( \displaystyle -\infty < x < \infty \) zachodzi równość \( \displaystyle \mathrm{arc\,ctg}\, x=\frac{\pi}{2}+\mathrm{arctg}\,(-x). \)