Definicja i własności całki Riemanna

rycina

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

wykres

Podział kostki \( K \) na mniejsze kostki \( \displaystyle K_1,\ldots,K_s, \) takie że \( \displaystyle K=K_1\cup\ldots\cup K_s. \)

Celem tego wykładu jest zdefiniowanie całki Riemanna z funkcji \( \displaystyle N \) zmiennych po zbiorze ograniczonym w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N. \) Zaczynamy od bardzo naturalnego uogólnienia pojęcia całki Riemanna po przedziale w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R} \) na całkę, po iloczynie kartezjańskim przedziałów (czyli po tak zwanej kostce) w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N. \) Następnie mówimy, jakie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna po kostkach (to znaczy dla jakich funkcji istnieje całka Riemanna z tej funkcji po kostce). Okazuje się, że tymi funkcjami są funkcje ograniczone i ciągłe "na prawie całej" kostce. Do precyzyjnego określenia, co to znaczy "na prawie całej", będą nam potrzebne definicje zbioru miary zero i równości prawie wszędzie. Na zakończenie wykładu powiemy, jak zdefiniować całkę Riemanna nie tylko po kostce, ale też po pewnych zbiorach ograniczonych.

Definicja 10.1.

(1) Kostką w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) będziemy nazywać zbiór \( \displaystyle K:=[a_1,b_1]\times\ldots\times[a_N,b_N], \) czyli iloczyn kartezjański przedziałów \( \displaystyle \displaystyle [a_i,b_i], i=1,\ldots,N. \)

(2) Objętością kostki będziemy nazywać liczbą \( \displaystyle v(K):=(b_1-a_1)\cdot\ldots\cdot (b_N-a_N). \)

(3) Liczbę \( \displaystyle \displaystyle\delta(K):= \max\{(b_1-a_1),\ldots,(b_N-a_N)\} \) (czyli długość najdłuższego boku kostki) nazwiemy średnicą kostki \( \displaystyle K. \) Podzielmy teraz naszą kostkę na mniejsze kostki \( \displaystyle K_1,\ldots,K_s, \) o wnętrzach rozłącznych i takich, że \( \displaystyle K=K_1\cup\ldots\cup K_s. \) Oznaczmy ten zbiór kostek \( \displaystyle K_1,\ldots,K_s \) przez \( \displaystyle P. \)

Definicja 10.2.

(1) Określony wyżej zbiór \( \displaystyle P \) nazywamy podziałem kostki \( \displaystyle K. \)

(2) Liczbę \( \displaystyle \displaystyle\delta(P):= \max\{\delta(K_1),\ldots,\delta(K_s)\} \) nazywamy średnicą podziału \( \displaystyle P. \)

Weźmy teraz ciąg takich podziałów kostki \( \displaystyle K, \) czyli ciąg \( \displaystyle P_1,P_2,P_3,\ldots. \) Niech \( \displaystyle \displaystyle\delta_j \) oznacza średnicę podziału \( \displaystyle P_j. \)

Definicja 10.3.

Ciąg podziałów \( \displaystyle P_1,P_2,P_3,\ldots \) nazwiemy ciągiem normalnym, gdy \( \displaystyle \displaystyle\lim_{j\to\infty}\delta_j=0, \) czyli gdy średnice kolejnych podziałów zmierzają do zera.

Weźmy teraz funkcję ograniczoną \( \displaystyle f: K\to \mathbb{R}. \)
Analogicznie, jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, określamy górną sumę całkową i dolną sumę całkową, a także sumę całkową zależną od punktów pośrednich.

Definicja 10.4.

(1) Dla podziału \( \displaystyle P=\{K_1,\ldots,K_t\} \) kostki \( \displaystyle K \) i funkcji ograniczonej \( \displaystyle f: K\to \mathbb{R} \) definiujemy

\( \displaystyle \begin{align*} m_i(f,P) & = \inf\{f(x), x\in K_i\}, \\ M_i(f,P) & = \sup\{f(x), x\in K_i\}, \end{align*} \)

dla \( \displaystyle i=1,\ldots,t. \)

(2) Dolną sumą całkową odpowiadającą podziałowi \( \displaystyle P \) nazywamy liczbę

\( \displaystyle L(f,P):=\sum_{i=1}^tm_i(f,P)v(K_i). \)

(3) Górną sumą całkową odpowiadającą podziałowi \( \displaystyle P \) nazywamy liczbę

\( \displaystyle U(f,P) :=\sum_{i=1}^tM_i(f,P)v(K_i). \)

(4) W każdej z kostek wybierzmy dowolny punkt \( \displaystyle x_i\in K_i. \) Dostajemy ciąg punktów pośrednich, \( \displaystyle x_1,\ldots,x_t. \)
Sumą całkową (funkcji \( \displaystyle f \) dla podziału \( \displaystyle P \) i punktów pośrednich \( \displaystyle x_1,\ldots,x_t \)) nazywamy liczbę

\( \displaystyle S(f,P,x_1,\ldots,x_t)=\sum_{i=1}^tf(x_i)v(K_i). \)

wykresy

Weźmy teraz normalny ciąg \( \displaystyle P_1,P_2,\ldots. \) podziałów kostki \( \displaystyle K. \) Dla każdego podziału \( \displaystyle P_j \) wybierzmy ciągpunktów pośrednich \( \displaystyle x_1^j,\ldots,x_{t_j}^j. \) Weźmy sumę całkową \( \displaystyle S(f, P,x_1^j,\ldots,x_{t_j}^j). \) Możemy teraz postawić następującą definicję:

Definicja 10.5.

Niech \( \displaystyle f: K\to \mathbb{R} \) będzie funkcją ograniczoną. Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest całkowalna w sensie Riemanna na kostce \( \displaystyle K, \) jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów \( \displaystyle P_1,P_2,\ldots., \) istnieje granica

\( \displaystyle \lim_{j\to\infty} S(f, P,x_1^j,\ldots,x_{t_j}^j) \)

i granica ta nie zależy ani od wyboru ciągu podziałów, ani od wyboru punktów pośrednich.

Powyższą granicę oznaczamy

\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_Kf(x)dx \)

i nazywamy

całką Riemanna funkcji \( \displaystyle f \) po kostce \( \displaystyle K. \)

Uwaga 10.6.

Można wykazać, że funkcja ograniczona \( \displaystyle f \) jest całkowalna na kostce \( \displaystyle K \) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu podziałów normalnych \( \displaystyle P_1,P_2,\ldots \) mamy

\( \displaystyle \lim_{j\to\infty}(U(f,P_j)-L(f,P_j))=0, \)

jak również można wykazać, że wtedy istnieją i są równe granice \( \displaystyle \displaystyle\lim_{j\to\infty}L(f,P_j)=\lim_{j\to\infty}U(f,P_j)=\displaystyle\int\limits_Kf(x)dx. \)

Uwaga 10.7.

W literaturze można spotkać też zapis \( \displaystyle \displaystyle\int\limits_K\cdots \displaystyle\int\limits f(x_1,\ldots,x_N)dx_1\ldots dx_N, \) my będziemy raczej pisać \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kf(x)dx, \) pamiętając, że zapis \( \displaystyle x \) oznacza tu \( \displaystyle \displaystyle (x_1,\ldots,x_N), \) a \( \displaystyle dx=dx_1\ldots dx_N. \) Wyjątek zrobimy natomiast dla tradycyjnego zapisu całki dwóch i trzech zmiennych, zapisując wtedy

\( \displaystyle \iint\limits_K f(x,y)dxdy \qquad \) lub \( \displaystyle \qquad \iiint\limits_K f(x,y,z)dxdydz. \)

Wnioskiem z definicji jest poniższe stwierdzenie o liniowości całki:

Stwierdzenie 10.8.

Niech \( \displaystyle K \) będzie kostką w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) a \( \displaystyle f \) i \( \displaystyle g \) funkcjami całkowalnymi w sensie Riemanna na \( \displaystyle K. \) Niech \( \displaystyle a,\displaystyle b \) będą stałymi rzeczywistymi. Wtedy

\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_K(af(x)+bg(x))dx=a\displaystyle\int\limits_Kf(x)dx+b\displaystyle\int\limits_Kg(x)dx. \)

Nietrudno też zobaczyć, że prawdziwe jest poniższe stwierdzenie.

Stwierdzenie 10.9.

Niech \( \displaystyle K_1 \) i \( \displaystyle K_2 \) będą dwoma kostkami w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) o rozłącznych wnętrzach. Wówczas dla każdej funkcji całkowalnej, mamy

\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_{K_1\cup K_2}f(x)dx=\displaystyle\int\limits_{K_1}f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{K_2}f(x)dx. \)

Oczywiście to stwierdzenie nie jest prawdziwe, gdy nie założymy, że kostki mają wnętrza rozłączne.