Ten wykład poświęcony jest dwóm najważniejszym twierdzeniom dotyczącym całek wielokrotnych. Twierdzenie Fubiniego pozwala liczyć całki wielokrotne (podwójne, potrójne, itd.) po odpowiednich obszarach za pomocą kolejnego liczenia pewnych całek pojedynczych w odpowiednich granicach. Drugim z twierdzeń jest twierdzenie o zmianie zmiennych w całce, odpowiednik twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla całki jednej zmiennej, także bardzo ważne dla obliczania całek.
Na ćwiczeniach do poprzedniego wykładu policzyliśmy z definicji \( \displaystyle \displaystyle\iint\limits_Kxy\ dxdy=\frac{1}{4}, \) gdzie \( \displaystyle K=[0,1]\times[0,1]. \)
Policzmy teraz \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1xydx, \) traktując \( \displaystyle y \) jako stałą. Dostaniemy oczywiście
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1xydx=y\frac{x^2}{2}\bigg|_0^1=\frac{y}{2}. \)
Następnie policzmy \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1\frac{y}{2}dy, \) czyli całkę "z tego" co otrzymaliśmy wyżej. Dostaniemy
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1\frac{y}{2}dy=\frac{y}{4}\bigg|_0^1=\frac{1}{4}. \)
Policzyliśmy zatem
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dx\right) dy=\frac{1}{4}. \)
Jeśli policzymy "w drugą stronę", czyli najpierw całkę względem \( \displaystyle y \) a potem względem \( \displaystyle x, \) to dostaniemy
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1xydy=x\frac{y^2}{2}\bigg|_0^1=\frac{x}{2}, \)
następnie
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1\frac{x}{2}dy=\frac{x}{4}\bigg|_0^1=\frac{1}{4}, \) zatem także
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dy\right) dx=\frac{1}{4}. \)
Otrzymaliśmy zatem następujące równości:
\( \displaystyle \iint\limits_{[0,1]\times[0,1]}xy\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dx\right) dy \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dy\right) dx. \)
W takim razie możemy zapytać: czy może takie równości zachodzą zawsze? Okazuje się, że (przy rozsądnych założeniach) faktycznie tak jest - mówi o tym Twierdzenie Fubiniego.
Twierdzenie 11.1. [Twierdzenie Fubiniego]
Niech \( \displaystyle K_1 \) będzie kostką w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^n \) a \( \displaystyle K_2 \) kostką w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^m. \) Zmienne w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^n \) oznaczmy przez \( \displaystyle x \) a w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^m \) przez \( \displaystyle y. \) Weźmy funkcję \( \displaystyle f:A\times B\to \mathbb{R}. \) Załóżmy, że dla każdego ustalonego \( \displaystyle y\in B \) funkcja \( \displaystyle f(\cdot,y) \) jest całkowalna w sensie Riemanna na \( \displaystyle A \) oraz że dla każdego ustalonego \( \displaystyle x\in A \) funkcja \( \displaystyle f(x,\cdot) \) jest całkowalna w sensie Riemanna na \( \displaystyle B. \) Wtedy
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_{A\times B}f(x,y)\ dxdy=\displaystyle\int\limits_A\left(\displaystyle\int\limits_B f(x,y) dy\right)dx \ =\ \displaystyle\int\limits_B\left(\displaystyle\int\limits_A f(x,y) dx\right)dy. \)
Rysunek do twierdzenia Fubiniego
Uwaga 11.2.
(1) W szczególności, gdy funkcja \( \displaystyle f(x,y) \) jest ciągła na \( \displaystyle A\times B, \) to obie funkcje \( \displaystyle f(\cdot,y):A\to \mathbb{R} \) i \( \displaystyle f(x,\cdot):B\to \mathbb{R} \) są całkowalne i zachodzą powyższe równości, czyli
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_{A\times B}f(x,y)\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_A\left(\displaystyle\int\limits_B f(x,y) dy\right) dx=\displaystyle\int\limits_B\left(\displaystyle\int\limits_A f(x,y) dx\right)dy. \)
(2) Nietrudno zauważyć, że w twierdzeniu Fubiniego zamiast kostek \( \displaystyle A \) i \( \displaystyle B \) możemy wziąć dowolne zbiory J-mierzalne - bo i tak całkowanie po dowolnych zbiorach J-mierzalnych sprowadziliśmy do całkowania po kostkach (patrz poprzedni wykład).
(3) Całki \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_A\left(\displaystyle\int\limits_B f(x,y) dy\right)dx \) i \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_B\left(\displaystyle\int\limits_A f(x,y) dx\right)dy \) nazywamy całkami iterowanymi.
Dowód 11.2.
Dowód twierdzenia Fubiniego przedstawimy tylko dla przypadku, gdy \( \displaystyle K_1 \) i \( \displaystyle K_2 \) są kostkami w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R} \) (czyli \( \displaystyle K_1\times K_2 \) jest kostką (prostokątem) w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2. \) W tym przypadku twierdzenie i dowód łatwo zilustrować rysunkiem (patrz obok). Idea dowodu dla kostek wyżej wymiarowych jest dokładnie taka sama. Dla dodatkowego uproszczenia dowodu założymy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła. A zatem wypiszmy:
Twierdzenie 11.3. [Twierdzenie Fubiniego dla funkcji ciągłej na prostokącie]
Niech \( \displaystyle K=[a,b]\times [c,d] \) będzie kostką w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2. \) Niech \( \displaystyle f: K\to \mathbb{R} \) będzie funkcją ciągłą. Wówczas istnieją całki iterowane \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right)dx \) i \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_c^d\left(\displaystyle\int\limits_a^b f(x,y) dx\right)dy \) oraz zachodzą równości
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right) dx \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d\left(\displaystyle\int\limits_a^b f(x,y) dx\right)dy. \)
Dowód 11.3. [nadobowiązkowy]
Wykażemy istnienie całki \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right) dx \) i równość
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right) dx. \)
Istnienia drugiej z całek iterowanych i drugiej równości dowodzi się analogicznie. Niech \( \displaystyle d_2 \) oznacza metrykę euklidesową w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2, \) czyli
\( \displaystyle d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \ =\ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. \)
Krok I. Istnienie całki \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right) dx. \)
I.1. Zauważmy, że dla dowolnego \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon >0 \) istnieje \( \displaystyle \displaystyle\delta>0 \) takie, że
\( \displaystyle d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)) < \delta\Rightarrow |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2) < \varepsilon, \)
dla \( \displaystyle \displaystyle (x_1,y_1), (x_2,y_2) \) z kostki \( \displaystyle K. \) Faktycznie, skoro funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła, a zbiór \( \displaystyle K \) jest zwarty, to funkcja \( \displaystyle f \) jest jednostajnie ciągła (patrz Analiza matematyczna 1 uwaga 2.39). To dokładnie oznacza, że spełniona jest powyższa implikacja.
I.2. Wykażemy, że funkcja
\( \displaystyle g(x) := \displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy \)
jest funkcją ciągłą.
Ponieważ \( \displaystyle f \) jest funkcją ciągłą, \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy \) istnieje dla dowolnego \( \displaystyle x\in [a,b]. \) Aby wykazać, że \( \displaystyle g \) jest funkcją ciągłą, weźmy dowolne \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0. \) Szukamy \( \displaystyle \displaystyle\delta>0 \) takiego, że spełnione jest wynikanie:
\( \displaystyle |x_1-x_2| < \delta\Rightarrow|g(x_1)-g(x_2)| < \varepsilon. \)
Weźmy teraz \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon':=\frac{\varepsilon}{d-c}. \) Do tego \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon' \) dobierzmy \( \displaystyle \displaystyle\delta \) tak jak w punkcie I.1. Mamy zatem w szczególności:
\( \displaystyle d_2((x_1,y),(x_2,y)) < \delta\Rightarrow |f(x_1,y)-f(x_2,y)| < \varepsilon', \)
czyli, podstawiając do wzoru na \( \displaystyle d \) otrzymujemy
\( \displaystyle |x_2-x_1| < \delta\Rightarrow f(x_1,y)-\varepsilon' < f(x_2,y) < f(x_1,y)+\varepsilon'. \)
Całkując te nierówności stronami (korzystamy z monotoniczności całki Riemanna dla funkcji jednej zmiennej), otrzymujemy:
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_c^d f(x_1,y) dy-\varepsilon'(d-c) < \displaystyle\int\limits_c^df(x_2,y)dy < \displaystyle\int\limits_c^df(x_1,y)dy+\varepsilon'(d-c), \)
czyli
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_c^d f(x_1,y) dy-\varepsilon < \displaystyle\int\limits_c^df(x_2,y)dy < \displaystyle\int\limits_c^df(x_1,y)dy+\varepsilon, \)
zatem
\( \displaystyle |g(x_1)-g(x_2)|=|\displaystyle\int\limits_c^d f(x_1,y)-\displaystyle\int\limits_c^df(x_2,y)dy| < \varepsilon, \)
przy \( \displaystyle |x_2-x_1| < \delta, \) co dowodzi ciągłości funkcji \( \displaystyle g. \)
I.3. Zauważmy, że skoro \( \displaystyle g \) jest funkcją ciągłą na \( \displaystyle \displaystyle [a,b], \) to istnieje \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^bg(x)dx, \) a to dowodzi istnienia całki
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right) dx. \)
Krok II. Równość \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy=\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right) dx. \)
II.1. Z części I dowodu i z założeń twierdzenia wynika, że całki po obu stronach równości istnieją. Wystarczy zatem znaleźć granicę sum całkowych dla pewnego normalnego ciągu podziałów.
II.2. Zdefiniujmy normalny ciąg podziałów \( \displaystyle \displaystyle (P_n)_{n\in\mathbb{N}} \), dzieląc każdy z odcinków \( \displaystyle \displaystyle [a,b] \) i \( \displaystyle \displaystyle [c,d] \) na \( \displaystyle n \) równych odcinków, czyli:
\( \displaystyle \begin{align*} a_i^n & = a+\frac{i}{n}(b-a), \quad b_i^n=a_i^n+\frac{1}{n}(b-a),\ i=0,1,\ldots,n-1, \\ c_j^n & = c+\frac{j}{n}(d-c), \quad d_j^n=c_j^n+\frac{1}{n}(d-c),\ j=0,1,\ldots,n-1, \end{align*} \)
a następnie biorąc iloczyn kartezjański tych odcinków:
\( \displaystyle K_{ij}^n :=\ [a_i^n,b_i^n]\times[c_j^n,d_j^n],\ \ i,j=0,\ldots,n-1. \)
Kostkami podziału \( \displaystyle P_n \) są więc kostki \( \displaystyle K_{ij}^n. \) Objętość takiej kostki to \( \displaystyle v(K_{ij}^n)=(b_i^n-a_i^n)(d_j^n-c_j^n). \)
II.3. Weźmy teraz dla każdego podziału ciąg punktów pośrednich, czyli
\( \displaystyle p_{ij}^n\in K_{ij}^n. \)
Utwórzmy sumę całkową:
\( \displaystyle S_n := \sum_{i,j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(b_i^n-a_i^n)(d_j^n-c_j^n). \)
Skoro istnieje całka podwójna, to
\( \displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n \ =\ \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)dxdy. \)
Wystarczy zatem pokazać, że granicą ciągu \( \displaystyle{ \displaystyle S_n} \) jest też \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right)dx. \)
II.4. Pokażemy, że \( \displaystyle \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right)dx. \)
Musimy zatem pokazać, że dla ustalonego \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0 \) istnieje \( \displaystyle N_0\in\mathbb{N} \) takie, że dla \( \displaystyle n\geq N_0 \) mamy
\( \displaystyle \left|\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right)dx-S_n\right| \ < \ \varepsilon. \)
Ustalmy zatem \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0. \) Weźmy \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon':=\frac{\varepsilon}{(b-a)(d-c)}. \) Do tego \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon' \) dobierzmy \( \displaystyle \displaystyle\delta \) tak jak w punkcie I.1. dowodu. Dobierzmy \( \displaystyle N_0 \) takie, by \( \displaystyle \displaystyle\frac{1}{N_0} < \delta. \) W takim razie, jeśli dla \( \displaystyle n>N_0 \) mamy \( \displaystyle \displaystyle (x,y)\in K_{ij}^n, \) to \( \displaystyle d((x,y),p_{ij}^n) < \delta \) a zatem (z I.1.),
\( \displaystyle \left|f(x,y)-f(p_{ij}^n)\right| < \varepsilon', \)
czyli
\( \displaystyle f(x,y)-\varepsilon' < f(p_{ij}^n) < f(x,y)+\varepsilon'. \)
Całkując te nierówności względem \( \displaystyle y \) po przedziale \( \displaystyle \displaystyle [c_{j}^n,d_j^n], \) dostaniemy (dla ustalonego \( \displaystyle x\in [a_i^n,b_i^n] \)):
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_{c_j^n}^{d_j^n}f(x,y)dy-\varepsilon'(d_j^n-c_j^n) < f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n) < \displaystyle\int\limits_{c_j^n}^{d_j^n}f(x,y)dy+\varepsilon'(d_j^n-c_j^n), \)
czyli
\( \displaystyle \left|\displaystyle\int\limits_{c_j^n}^{d_j^n}f(x,y)dy-f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\right| < \varepsilon'(d_j^n-c_j^n). \)
Weźmy teraz sumę powyższych nierówności dla \( \displaystyle j=0,\ldots,n-1 \) (i dla \( \displaystyle x\in [a_i^n,b_i^n] \)). Dostaniemy:
\( \begin{array}{l}\displaystyle \left|\sum_{j=0}^{n-1}\displaystyle\int\limits_{c_j^n}^{d_j^n}f(x,y)dy-\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\right| = \\ = \left|\displaystyle\int\limits_c^df(x,y)dy-\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\right| < \varepsilon'\sum_{j=0}^{n-1}(d_j^n-c_j^n)= \varepsilon'(d-c).\end{array} \)
Tak więc
\( \displaystyle \left|\displaystyle\int\limits_c^df(x,y)dy-\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\right| \ < \ \varepsilon'(d-c). \)
Całkując tę nierówność po przedziałach \( \displaystyle \displaystyle [a_i^n,b_i^n], \) a następnie sumując wszystkie całki dla \( \displaystyle i=0,\ldots,n-1, \) dostaniemy
\( \begin{array}{l} \displaystyle \left|\sum_{i=0}^{n-1}\displaystyle\int\limits_{a_i^n}^{b_i^n}(\displaystyle\int\limits_c^df(x,y)dy)dx- \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)(b_i^n-a_i^n)\right| \\ \displaystyle < \sum_{i=0}^{n-1}\varepsilon'(d-c)(b_i^n-a_i^n),\end{array} \)
a zatem, po zsumowaniu
\( \begin{array}{l}\displaystyle \left|\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right)dx-\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)(b_i^n-a_i^n)\right| \\ < \varepsilon'(d-c)(b-a)=\varepsilon, \end{array} \)
co należało dowieść.
Uwaga 11.4. [Zapis całek iterowanych]
Całki iterowane, na przykład \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right)dx, \) będziemy, w celu uniknięcia pisania dużej ilości nawiasów, zapisywali tak:
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b dx\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy, \)
podobnie, zamiast \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d\left(\displaystyle\int\limits_p^qf(x,y,z)dz\right)dy\right)dx, \) napiszemy
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b dx\displaystyle\int\limits_c^d dy\displaystyle\int\limits_p^qf(x,y,z)dz. \)
Przykład 11.5.
Policzyć całkę
\( \displaystyle \iint\limits_K (xy-y^2)dxdy, \)
gdzie \( \displaystyle K=[1,2]\times[3,4]. \)
Nasza funkcja jest ciągła na prostokącie, zatem możemy zastosować twierdzenie Fubiniego. Otrzymamy
\( \displaystyle \begin{align*} \iint\limits_K xy-y^2 dxdy & = \displaystyle\int\limits_1^2dx\displaystyle\int\limits_3^4(xy-y^2)dy \ =\ \displaystyle\int\limits_1^2\left((x\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})\bigg|_3^4\right)dx \\ & =\displaystyle\int\limits_1^2\left(\frac{7x}{2}-\frac{37}{3}\right)dx \ =\ \left(\frac{7x^2}{4}-\frac{37x}{3}\right)\bigg|_1^2=-\frac{85}{12}. \end{align*} \)
Am2.m11.w.r02
Najczęściej spotykanymi obszarami, po których będziemy chcieli całkować, nie są jednak kostki, tylko tak zwane zbiory normalne. Zdefiniujmy:
Definicja 11.6.
(1) Niech \( \displaystyle \displaystyle [a,b] \) będzie odcinkiem w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}, \) niech \( \displaystyle h_1:[a,b]\to \mathbb{R} \) i \( \displaystyle h_2:[a,b]\to \mathbb{R} \) będą funkcjami ciągłymi na \( \displaystyle \displaystyle [a,b] \) takimi, że \( \displaystyle h_1(x) < h_2(x), x\in [a,b]. \) Wtedy zbiór
\( \displaystyle D := \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : a\leq x\leq b, h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\} \)
nazywamy zbiorem normalnym względem osi \( \displaystyle Ox. \)
(2) Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem osi \( \displaystyle Oy. \)
(3) Zbiór \( \displaystyle D \) zawarty w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3 \) jest normalny względem współrzędnej \( \displaystyle z, \) jeśli istnieje pewien zbiór normalny \( \displaystyle A \) zawarty w płaszczyźnie \( \displaystyle xy \) oraz istnieją dwie funkcje \( \displaystyle g_1, g_2 :A\to\mathbb{R} \) takie, że \( \displaystyle g_1(x,y) < g_2(x,y) \) oraz
\( \displaystyle D \ =\ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : (x,y)\in A, g_1(x,y) \ \leq\ z\leq g_2(x,y)\}. \)
(4) Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem pozostałych współrzędnych.
(5) Zbiorem normalnym będziemy nazywać zbiór normalny względem jakiejś współrzędnej. Zbiorem regularnym będziemy nazywać zbiór, który można podzielić na sumę zbiorów regularnych o rozłącznych wnętrzach.
Definicje normalności i regularności można oczywiście uogólnić na więcej wymiarów, ale nie będziemy tego robić.
Jak już wspomnieliśmy, w praktyce najczęściej będziemy chcieli całkować funkcje po zbiorach normalnych. Wypiszmy więc, jak w przypadku takich zbiorów wygląda twierdzenie Fubiniego.
Niech zatem \( \displaystyle A \) będzie zbiorem normalnym w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 \) zadanym jako
\( \displaystyle A :=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : a\leq x\leq b, h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\}, \)
gdzie \( \displaystyle h_1,h_2 \) są jak w definicji. Niech \( \displaystyle D \) będzie zbiorem normalnym w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3 \) danym jako
\( \displaystyle D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : (x,y)\in A, g_1(x,y)\leq z\leq g_2(x,y)\}, \)
gdzie \( \displaystyle g_1,g_2 \) są jak w definicji. Mamy:
Twierdzenie 11.7. [Twierdzenie Fubiniego dla zbiorów normalnych w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 \) i \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3 \))]
(1) Jeśli \( \displaystyle f:A\to \mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, to
\( \displaystyle \iint\limits_Af(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^bdx\displaystyle\int\limits_{h_1(x)}^{h_2(x)}f(x,y)dy. \)
(2) Jeśli \( \displaystyle f:D\to \mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, to
\( \displaystyle \iiint\limits_D f(x,y,z)dxdydz \ =\ \displaystyle\int\limits_a^bdx\displaystyle\int\limits_{h_1(x)}^{h_2(x)}dy\displaystyle\int\limits_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}f(x,y,z)dz. \)
Dowód tej wersji Twierdzenia Fubiniego można dostać jako wniosek z ogólnej wersji twierdzenia (dowodząc, że zbiory regularne są J-mierzalne) albo można udowodnić to twierdzenie bezpośrednio, nieco modyfikując dowód twierdzenia 11.3.
Możemy teraz policzyć następującą całkę.
Przykład 11.8.
Policzyć całkę
\( \displaystyle \iint\limits_T (x^2y) dxdy, \)
gdzie \( \displaystyle T \) jest trójkątem ograniczonym prostymi: \( \displaystyle y=x, y=2x-3, y=1. \)
Zauważmy, że zbiór \( \displaystyle T \) jest normalny względem osi \( \displaystyle Ox. \) Ponieważ jednak funkcja ograniczająca ten zbiór od dołu jest sklejeniem dwóch funkcji (\( \displaystyle y=1 \) oraz \( \displaystyle y=2x-3 \)), to wygodniej będzie podzielić \( \displaystyle T \) na dwa zbiory normalne (o rozłącznych wnętrzach). Pierwszy z tych zbiorów to trójkąt \( \displaystyle T_1 \) ograniczony prostymi: \( \displaystyle y=x, y=1, x=2, \) a drugi to trójkąt \( \displaystyle T_2 \) ograniczony prostymi: \( \displaystyle y=x, y=2x-3, x=2.\displaystyle T \) jest więc zbiorem regularnym. Z twierdzenia Fubiniego mamy:
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \iint\limits_Tf(x,y)dxdy & = & \displaystyle \iint\limits_{T_1}f(x,y)dxdy+\iint\limits_{T_2}f(x,y)dxdy \\ & = & \displaystyle\int\limits_1^2dx\displaystyle\int\limits_1^xx^2ydy+\displaystyle\int\limits_2^3dx\displaystyle\int\limits_{2x-3}^x x^2y dy \\ & = & \displaystyle\int\limits_1^2\bigg(\frac{1}{2}x^2y^2\bigg)\bigg|_1^x dx+\displaystyle\int\limits_2^3\displaystyle\int\limits_{2x-3}^x \bigg(\frac{1}{2}x^2y^2\bigg)\bigg|_{2x-3}^x dx \\ & = & \displaystyle\int\limits_1^2\bigg(\frac{1}{2}x^2(x^2-1)\bigg)dx+\displaystyle\int\limits_2^3\bigg(-\frac{3}{2}x^2(x^2-4x+3)\bigg)dx \\ & = & \bigg(\frac{1}{10}x^5-\frac{1}{6}x^3\bigg)\bigg|_1^2+\bigg(\frac{-3}{10}x^5+\frac{3}{2}x^4-\frac{3}{2}x^3\bigg)\bigg|_2^3 \ =\ \frac{57}{10}+\frac{29}{15} \ =\ \frac{229}{30}. \end{array} \)
Wykres funkcji \( f(x,y)=x^2y \) nad \( T \)