Modele matematyczne, które prowadzą do równań różniczkowych

Opis wielu zagadnień praktycznych korzysta z modeli, w których w naturalny sposób pojawia się zależność od pochodnej. Rozważmy kilka z tych problemów.

wykres

Rysunek do przykładu 13.1.

Przykład 13.1.

(stygnięcie, ogrzewanie pewnej substancji) Z obserwacji wynika, że substancja stygnie (odpowiednio: ogrzewa się) tym szybciej, im większa jest różnica temperatury tej substancji i otoczenia. Jeśli \( \displaystyle x(t) \) oznacza temperaturę substancji w chwili \( \displaystyle t \), obserwację można sformułować następująco: zmiana temperatury substancji \( \displaystyle x(t+h)-x(t) \) po upływie czasu \( \displaystyle h \) od pomiaru temperatury w chwili \( \displaystyle t \) jest proporcjonalna do różnicy temperatur \( \displaystyle x(t)-x^* \), gdzie \( \displaystyle x^* \) oznacza temperaturę otoczenia, co można zapisać za pomocą równości

\( \displaystyle \frac{x(t+h)-x(t)}{h}\approx-\lambda (x(t)-x^*), \ \ x(t_0)=x_0, \)

gdzie \( \displaystyle \lambda>0 \) jest pewną stałą, a \( \displaystyle x_0 \) oznacza temperaturę substancji, którą zanotowaliśmy na początku obserwacji w chwili \( \displaystyle t_0 \). Znak minus, który poprzedza różnicę \( \displaystyle x(t)-x^* \) bierze się stąd, że substancja stygnie (czyli \( \displaystyle x(t+h)-x(t) < 0 \) po upływie czasu \( \displaystyle h>0 \)), gdy ma wyższą temperaturę niż otoczenie (tj. gdy \( \displaystyle x(t)-x^*>0 \)) albo ogrzewa się (czyli \( \displaystyle x(t+h)-x(t)>0 \) po upływie czasu \( \displaystyle h>0 \)), gdy otoczenie ma wyższą temperaturę niż obserwowana substancja (tj. gdy \( \displaystyle x(t)-x^* < 0 \)). Jeśli odcinki czasu pomiędzy kolejnymi pomiarami temperatury będą małe, w granicy zależność, którą sformułowaliśmy, przyjmie postać:

\( \displaystyle \frac{dx}{dt}(t)\ = -\lambda (x(t)-x^*), \ \ x(t_0)=x_0. \)

Nietrudno odgadnąć (na przykład przyjmując wpierw dla ułatwienia zadania, że temperatura otoczenia \( \displaystyle x^*=0 \) jest zerowa), że zależność \( \displaystyle \frac{dx}{dt}(t) = -\lambda x(t) \) spełnia funkcja wykładnicza \( \displaystyle t\mapsto \exp (-\lambda t) \), a także każdy iloczyn tej funkcji przez stałą. Nasze doświadczenie podpowiada nam, że w trakcie obserwacji dwóch identycznych próbek substancji, które stygną w tych samych warunkach (np. dwie identyczne filiżanki kawy stojące obok siebie), po upływie określonego czasu zauważymy, że obie będą mieć taką samą temperaturę. Zbudowany model matematyczny

\( \displaystyle \frac{dx}{dt}(t)\ = -\lambda x(t), \ \ x(t_0)=x_0, \)

dostarcza dokładnie jednego rozwiązania i jest nim funkcja

\( \displaystyle x(t)=x_0 \exp (-\lambda (t-t_0)), \)

która spełnia warunek \( \displaystyle x(t_0)=x_0 \), oznaczający, że temperatura substancji na początku obserwacji wynosiła \( \displaystyle x_0 \).

Otrzymane rozwiązanie możemy również łatwo zmodyfikować tak, aby odpowiadało obserwacji w przypadku, gdy temperatura otoczenia \( \displaystyle x^* \) jest dowolna:

\( \displaystyle x(t)=x^* +(x_0-x^*) \exp (-\lambda (t-t_0)). \) Naszkicujmy rodzinę krzywych, odpowiadających różnym wartościom temperatury początkowej (patrz rysunek powyżej).

Niezależnie od temperatury początkowej \( \displaystyle x_0 \) (w momencie \( \displaystyle t_0=0 \)) wszystkie krzywe \( \displaystyle t\mapsto x^* +(x_0-x^*) \exp (-\lambda t) \) zmierzają asymptotycznie do prostej \( \displaystyle x=x^* \), co odpowiada wielokrotnie czynionej przez nas obserwacji: wraz z upływem czasu wszystkie przedmioty, które znajdują się w pewnym pomieszczeniu (a nie są w jakiś sposób izolowane przed ciepłem), osiągają

temperaturę otoczenia.

Niemal każda dziedzina nauki (fizyka, chemia, biologia, ekonomia, demografia, meteorologia i wiele innych) tworzy modele, w których pojawiają się zależności od funkcji i jej pochodnej (lub pochodnych wyższego rzędu).

(ruch jednostajnie przyśpieszony, spadek swobodny) Z opisem ruchu punktu materialnego, który spada swobodnie w polu grawitacyjnym, spotkaliśmy się już w szkole na lekcjach fizyki. Można przyjąć, że przyśpieszenie ziemskie jest (w pobliżu powierzchni Ziemi) wielkością stałą \( \displaystyle g=9.81 \frac{m}{s^2} \). Pamiętając, że przyśpieszenie jest pochodną rzędu drugiego funkcji położenia \( \displaystyle t\mapsto x(t) \), otrzymujemy równanie

\( \displaystyle x''(t)=g, \)

które po jednokrotnym całkowaniu spełnia przyjmuje postać

\( \displaystyle x'(t)=gt+v_0, \)

gdzie \( \displaystyle v_0 \) jest prędkością w chwili \( \displaystyle t_0=0 \). Kolejne całkowanie prowadzi do znanego wzoru na położenie punktu materialnego w chwili \( \displaystyle t \) w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

\( \displaystyle x(t)=\frac{1}{2}gt^2+v_0t+x_0, \)

gdzie \( \displaystyle x_0 \) jest położeniem

punktu w chwili początkowej \( \displaystyle t_0=0 \).

Przykład 13.3.

(rozwój kolonii bakterii, prawo Malthusa) Obserwacja grupy jednakowych organizmów (np. kolonii bakterii), rozwijających się i rozmnażających w środowisku, w którym jest nieograniczona ilość pożywienia i nie ma naturalnych wrogów, prowadzi do obserwacji, że liczba nowo powstałych organizmów w jednostce czasu jest proporcjonalna do liczby organizmów w danej chwili. Prowadzi to do równania

\( \displaystyle \frac{x(t+h)-x(t)}{h}\approx \lambda x(t), \)

w którym \( \displaystyle x(t) \) oraz \( \displaystyle x(t+h) \) oznaczają liczebność grupy organizmów w chwili \( \displaystyle t \) oraz po upływie czasu \( \displaystyle h \), natomiast \( \displaystyle \lambda \) jest stałą charakteryzującą tempo rozmnażania się danej grupy organizmów. Przy \( \displaystyle h\to 0 \) otrzymujemy równanie różniczkowe

\( \displaystyle x'=\lambda x, \)

które spełnia funkcja

\( \displaystyle x(t)=N_0 \exp(\lambda t), \)

gdzie stała \( \displaystyle N_0 \) oznacza liczebność grupy organizmów na początku obserwacji w chwili \( \displaystyle t=0 \). Otrzymane równanie stanowi ilustrację prawa Malthusa, które głosi, że wzrost liczebności organizmów jest wykładniczy.

wykresy

rysunki

Rysunek do przykładu 13.4.

Przykład 13.4.

(zmodyfikowany model rozwoju grupy organizmów) W realnym świecie wykładniczy wzrost liczby organizmów obserwujemy rzadko. W sytuacji, gdy ilość pożywienia jest ograniczona, rozwój grupy organizmów lepiej niż prawo Malthusa opisuje równanie

\( \displaystyle x'=\lambda x(N-x), \)

gdzie \( \displaystyle N \) jest pewną stałą. Jest to równanie Bernoullego \( \displaystyle x'-N\lambda x=-\lambda x^2 \) (omawiamy je szerzej w ramach następnego modułu). Łatwo spostrzec, że spełniają je dwie funkcje stałe \( \displaystyle x(t)=N \) oraz \( \displaystyle x(t)=0 \). Po podstawieniu \( \displaystyle z=\frac{1}{x} \) otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne (które także omawiamy w ramach następnego modułu)

\( \displaystyle z'+\lambda N z=\lambda, \)

które spełnia każda funkcja postaci

\( \displaystyle z(t)=\frac{1}{N}+C\exp(-\lambda N t), \)

gdzie \( \displaystyle C \) jest stałą. Jej wartość można określić, biorąc pod uwagę liczebność grupy \( \displaystyle N_0 \) w chwili \( \displaystyle t=0 \), czyli biorąc \( \displaystyle z(0)=\frac{1}{N_0} \). Otrzymamy stąd \( \displaystyle C=\frac{1}{N_0}-\frac{1}{N} \). Ostatecznie więc rozwiązaniem równania \( \displaystyle x'=\lambda x(N-x) \) jest funkcja

\( \displaystyle x(t)= (\frac{1}{N}+(\frac{1}{N_0}-\frac{1}{N}) \exp(-\lambda N t))^{-1}. \)

Rozwiązanie stałe \( \displaystyle x(t)=N \) jest szczególnym przypadkiem otrzymanego rozwiązania, gdy \( \displaystyle N=N_0 \).

Warto zwrócić uwagę na parę własności tego rozwiązania. Mamy \( \displaystyle x(t)\to N \), gdy \( \displaystyle t\to \infty \), niezależnie od liczebności grupy w chwili początkowej. Stała \( \displaystyle N \) ma naturalną interpretację biologiczną: jest to pojemność ekosystemu, zależna od m.in. ilości pożywienia dostępnego grupie organizmów na określonym obszarze. Ponadto, jeśli \( \displaystyle N_0 < N \) (odpowiednio: \( \displaystyle N_0>N \)), to liczebność grupy \( \displaystyle t\mapsto x(t) \) rośnie (odpowiednio: maleje) i zmierza asymptotycznie do \( \displaystyle N \). Zauważmy także, że żadne z rozwiązań \( \displaystyle t\mapsto x(t) \) nie zmierza do zera, gdy tylko \( \displaystyle N_0>0 \).

Przykład 13.5.

(równanie sprężyny, prawo Hooke'a) Zgodnie z prawem Hooke'a siła, którą należy wywrzeć na ciało sprężyste, aby je odkształcić, jest wprost proporcjonalna do wielkości odkształcenia. Prawo to w przypadku jednowymiarowym (np. ściskanie i rozciąganie sprężyny) opisuje równanie

\( \displaystyle x''=-k^2x, \)

gdzie \( \displaystyle x \) jest wielkością odkształcenia, a \( \displaystyle k^2 \) jest stałą charakteryzującą ciało, które ulega odkształceniu sprężystemu. Otrzymane równanie (równanie liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach, które szerzej omawiamy w kolejnym module) spełnia każda funkcja postaci

\( \displaystyle x(t)=A \cos(kt)+B\sin (kt), \)

gdzie \( \displaystyle A, B \) są stałymi, których wartość można określić na podstawie np. położenia \( \displaystyle x_0 \) i prędkości \( \displaystyle v_0 \) w chwili początkowej \( \displaystyle t=0 \). Mamy bowiem \( \displaystyle x'(t)=-Ak \sin(kt)+Bk\cos (kt) \), skąd

\( \displaystyle \left\{\begin{align*} x_0 & =x(0)=A \cos(k\cdot 0)+B\sin (k\cdot 0)=A \\ v_0 & =x'(0)=-Ak \sin(k\cdot 0)+Bk\cos (k\cdot 0)=Bk,\end{align*}\right . \)

czyli \( \displaystyle A=x_0 \), \( \displaystyle B=\frac{v_0}{k} \). Zatem ruch końca sprężyny, który w chwili \( \displaystyle t=0 \) odchylono o \( \displaystyle x_0 \) i puszczono z prędkością początkową \( \displaystyle v_0 \), opisuje równanie

\( \displaystyle x(t)=x_0 \cos(kt)+\frac{v_0}{k}\sin (kt). \)

Zauważmy, że otrzymana funkcja jest okresowa o okresie \( \displaystyle T=\frac{2\pi}{k} \) i ma stałą amplitudę, co w przypadku realnej sprężyny nie jest prawdą. Nasz model zaniedbuje bowiem tarcie, na

skutek którego ruch zanika (amplituda maleje do zera), gdy \( \displaystyle t\to \infty \).

W ramach ćwiczeń omawiamy także rozpad promieniotwórczy izotopu oraz zagadnienie ciągłej kapitalizacji odsetek. Problemy te także prowadzą do konstrukcji modeli matematycznych, w których głównym narzędziem jest pewne równanie różniczkowe.