Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Definicja 13.9.
Zagadnienie
\( \displaystyle \left\{\begin{align*} x'(t) & =f(t, x(t)) \\ x(t_0) & =x_0\end{align*} \right . \)
polegające na znalezieniu takiego rozwiązania \( \displaystyle t\mapsto x(t) \) równania różniczkowego \( \displaystyle x'(t)=f(t, x(t)) \), które spełnia warunek początkowy \( \displaystyle x(t_0)=x_0 \) (gdzie \( \displaystyle x_0 \) jest zadaną wartością, którą szukane rozwiązanie ma przyjmować w ustalonej chwili początkowej \( \displaystyle t_0 \)) nazywamy
problemem początkowym Cauchy'ego.
Powstaje naturalne pytanie, czy zawsze problem Cauchy'ego ma rozwiązanie i czy jest ono jednoznaczne? Przypomnijmy, że problem
\( \displaystyle \left\{\begin{align*} & \frac{dx}{dt}(t)\ = -\lambda x(t) \\ & x(t_0)=x_0,\end{align*} \right. \)
który rozwiązaliśmy opisując proces stygnięcia (ogrzewania), ma zawsze rozwiązanie
\( \displaystyle x(t)=x^* +(x_0-x^*) \exp (-\lambda (t-t_0)) \)
i jest ono jednoznaczne. Jednak nasze doświadczenie (np. związane z prognozowaniem pogody) podpowiada nam, że nie wszystkie procesy, które przebiegają w czasie, obok nas, mają jednoznaczne rozwiązanie, którego rezultat można przewidzieć w chwili \( \displaystyle t \) na podstawie warunku początkowego. Rozważmy prosty przykład.
Przykład 13.10.
Rozważmy problem początkowy Cauchy'ego
\( \displaystyle \left\{\begin{align*} & \frac{dx}{dt}(t)\ = \sqrt{x(t)} \\ & x(t_0)=x_0,\end{align*}\right. \)
Łatwo zauważyć, że równanie \( \displaystyle x'=\sqrt{x} \) spełnia funkcja stała \( \displaystyle x(t)=0 \). Ponadto po zapisaniu równania w postaci różniczkowej \( \displaystyle \frac{dx}{\sqrt{x} }=dt \) wskazujemy rodzinę funkcji, które je spełniają:
\( \displaystyle 2\sqrt{x}=t+C, \)
gdzie \( \displaystyle C \) jest stałą (zauważmy, że równanie to ma sens tylko jeśli \( \displaystyle t+C\geq 0 \)). Stąd \( \displaystyle x(t)=\big(\frac{t+C}{2}\big)^2 \), o ile \( \displaystyle t+C\geq 0 \). A więc problem Cauchy'ego
a) ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy \( \displaystyle x_0>0 \):
\( \displaystyle x(t)=\left\{\begin{align*} & \frac{1}{4}(t+C)^2, & \; t>-C \\ & 0, & \; t\leq -C\end{align*} \right. \, \quad \text{ gdzie } \ C=2\sqrt{x_0}-t_0, \)
b) nie ma rozwiązania, gdy \( \displaystyle x_0 < 0, \)
c) ma dwa rozwiązania
\( \displaystyle x=0 \quad \text{ oraz }\quad x(t)=\left\{\begin{align*} & \frac{1}{4}(t-t_0)^2, & \; t>t_0 \\ & 0, & \; t\leq t_0\end{align*} \right.\, \)
gdy \( \displaystyle x_0=0 \).
Okazuje się jednak, że przy naturalnych założeniach o funkcji \( \displaystyle f \) problem Cauchy'ego ma rozwiązanie i jest ono jednoznaczne.
Twierdzenie 13.11.
(twierdzenie Picarda) Jeśli funkcja \( \displaystyle \mathbb{R}^2\ni (t,x)\mapsto f(t,x)\in \mathbb{R} \) jest ciągła w pewnym otoczeniu \( \displaystyle (t_0-a, t_0+a)\times (x_0-b, x_0+b) \) punktu \( \displaystyle (t_0, x_0) \) i spełnia warunek Lipschitza względem drugiej zmiennej, tzn.
\( \displaystyle \exists L : \forall x_1, x_2\in (x_0-b, x_0+b) : \ |f(t, x_1)-f(t, x_2)|\leq L|x_1-x_2|, \text{ dla } t\in (t_0-a, t_0+a), \)
to problem początkowy Cauchy'ego
\( \displaystyle \left\{\begin{align*} & x'(t)\ = f(t, x(t)) \\ & x(t_0)=x_0,\end{align*} \right. \)
ma rozwiązanie i jest ono jedyne.
Przedstawimy szkic dowodu tego twierdzenia. Zawiera on bowiem ciekawą ideę, która pozwala opracować praktyczną metodę numerycznego rozwiązywania równania różniczkowego za pomocą ciągu kolejnych przybliżeń rozwiązania danego równania.
Dowód 13.11.
[szkic] Zauważmy, że funkcja \( \displaystyle t\mapsto x(t) \) spełnia podany problem początkowy Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione jest równanie całkowe z niewiadomą \( \displaystyle t\mapsto x(t) \)
\( \displaystyle x(t)-x(t_0)=\int_{t_0}^t f(s, x(s))ds, \)
czyli
\( \displaystyle x(t)=x_0+\int_{t_0}^t f(s, x(s))ds. \)
Niech
\( \displaystyle X:=\{x:[t_0-\alpha, t_0+\alpha]\ni t\mapsto x(t)\in [x_0-\beta, x_0+\beta], \text{ ciągła }\} \)
będzie przestrzenią funkcji ciągłych na przedziale \( \displaystyle [t_0-\alpha, t_0+\alpha] \) o wartościach w przedziale \( \displaystyle [x_0-\beta, x_0+\beta] \), gdzie \( \displaystyle \alpha < a \), \( \displaystyle \beta < b \). Przestrzeń \( \displaystyle X \) jest przestrzenią metryczną zupełną z metryką zadaną przez normę supremum, tj.
\( \displaystyle d(x_1, x_2)=\|x_1-x_2\|:=\sup\{|x_1(t)-x_2(t)|, t\in [t_0-\alpha, t_0+\alpha]\}. \)
Określmy na tej przestrzeni odwzorowanie:
\( \displaystyle P: X\ni x\mapsto P(x), \qquad {\rm gdzie}\;\; P(x)(t):=x_0+\int_{t_0}^t f(s, x(s))ds. \)
Wykazuje się (pomijamy szczegóły, które można znaleźć np. w podręczniku Ryszarda Rudnickiego, Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001), że można dobrać stałe \( \displaystyle \alpha \) oraz \( \displaystyle \beta \) tak, że
przyjmuje wartości w przestrzeni \( \displaystyle X \), tzn.
\( \displaystyle \|P(x(t))-x_0\| < \beta; \)
mniejszą od 1), tzn. istnieje stała \( \displaystyle M < 1 \) taka, że
\( \displaystyle \|P(x_1)-P(x_2)\|\leq M \|x_1-x_2\|, \)
dla dowolnych \( \displaystyle x_1, x_2 \) z przestrzeni \( \displaystyle X \). Na mocy twierdzenia Banacha o punkcie stałym w przestrzeni \( \displaystyle X \) istnieje dokładnie jeden punkt \( \displaystyle x^* \), do którego zmierza ciąg iteracji odwzorowania \( \displaystyle P \):
\( \displaystyle \begin{align*} & x_0 \\ & x_1=P(x_0) \\ & x_2=P(x_1) \\ & x_3=P(x_2) \\ & \vdots \\ & x_{n+1}=P(x_n) \\ & \downarrow n\to \infty \\ & x^*.\end{align*} \)
Punkt \( \displaystyle x^* \) jest punktem stałym odwzorowania \( \displaystyle P \), tzn. \( \displaystyle P(x^*)=x^* \), czyli
\( \displaystyle P(x^* (t))=x_0+\int_{t_0}^t f(s, x^* (s))ds, \)
co oznacza, że jest rozwiązaniem danego problemu Cauchy'ego i rozwiązanie to jest jedyne, gdyż (na mocy twierdzenia Banacha o punkcie stałym) ciąg iteracji \( \displaystyle x_{n+1}=P(x_n) \) zawsze zmierza do tego samego punktu \( \displaystyle x^* \) (punktu stałego odwzorowania \( \displaystyle P \), który jest jedyny) niezależnie od wyboru pierwszego punktu \( \displaystyle x_0 \) w ciągu iteracji, byleby został on wybrany z przestrzeni \( \displaystyle X \), w której
odwzorowanie \( \displaystyle P \) jest zwężające.
Uwaga 13.12.
Założenie o spełnianiu przez funkcję \( \displaystyle (t,x)\mapsto f(t,x) \) warunku Lipschitza jest istotne. Funkcja \( \displaystyle (t,x)\mapsto \sqrt{x} \) nie spełnia warunku Lipschitza względem drugiej zmiennej w otoczeniu punktu \( \displaystyle x_0 \). Przypomnijmy, że problem
\( \displaystyle \left\{\begin{align*} & \frac{dx}{dt}(t)\ = \sqrt{x(t)} \\ & x(t_0)=0,\end{align*}\right.\)
ma rozwiązanie, ale nie jest ono jednoznaczne.