Niezależnie od tego, czy równanie różniczkowe ma rozwiązanie, które można uzyskać za pomocą algorytmu o skończonej liczbie etapów, czy też nie, może zdarzyć się, że nie potrafimy znaleźć tego rozwiązania, bo po prostu nie znamy algorytmu, bądź nie zależy nam na znalezieniu dokładnego rozwiązania, gdy jest ono dla nas mniej interesujące niż na przykład asymptotyczne zachowanie rozwiązań.
Przykład 13.18.
Powróćmy do przykładu z początku wykładu. Równanie
\( \displaystyle x'=\lambda x(N-x) \)
pojawia się w modelu opisu rozwoju grupy organizmów przy założeniu, że pojemność ekosystemu jest ograniczona. Bez rozwiązywania równania możemy zauważyć, że dwie funkcje stałe \( \displaystyle x(t)=0 \) oraz \( \displaystyle x(t)=N \) spełniają to równanie. Ponadto, gdy \( \displaystyle x>N \), pochodna \( \displaystyle x' < 0 \), czyli funkcja \( \displaystyle t\mapsto x(t) \) maleje, a z kolei, gdy \( \displaystyle 0 < x < N \) mamy \( \displaystyle x'>0 \), czyli funkcja \( \displaystyle t\mapsto x(t) \) rośnie. Zwróćmy uwagę, że z tej prostej obserwacji wynika, że liczebność grupy organizmów rośnie (odpowiednio: maleje), gdy jest ich mniej (odpowiednio: więcej) niż wynosi pojemność ekosystemu. Zauważmy, że wyciągnęliśmy dokładnie ten sam wniosek, który w przykładzie 13.4. pojawił się po analizie wyznaczonego rozwiązania równania różniczkowego.
Pamiętamy, że interpretacją geometryczną pochodnej funkcji jednej zmiennej \( \displaystyle t\mapsto x(t) \) różniczkowalnej w punkcie \( \displaystyle t_0 \) jest współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie \( \displaystyle (t_0, x(t_0)) \). Odwróćmy teraz sytuację i mając dane równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego w postaci normalnej
\( \displaystyle x'(t)=f(t,x(t)), \)
narysujmy wektory zaczepione w punktach \( \displaystyle (t,x) \) należących do dziedziny funkcji \( \displaystyle f \), które tworzą z osią rzędnych (tj. z osią zmiennej \( \displaystyle t \)) kąt, którego tangens jest równy \( \displaystyle f(t,x) \).
Otrzymamy w ten sposób obraz
\( \displaystyle \mathbb{R}^2 \supset \mathrm{dom}\, f\ni (t,x)\mapsto (t,x)+\big(1, f(t,x)\big)\in \mathbb{R}^2, \)
pola wektorowego
\( \displaystyle \mathbb{R}^2 \supset\mathrm{dom}\, f\ni (t,x)\mapsto \big(1, f(t,x)\big)\in \mathbb{R}^2, \)
którego przebieg jest ściśle związany z przebiegiem rozwiązań danego równania. Zgodnie z interpretacją pochodnej, wektor \( \displaystyle [1, f(t,x)] \) zaczepiony w punkcie \( \displaystyle (t_0, x_0) \) jest styczny w tym punkcie do wykresu funkcji \( \displaystyle t\mapsto x(t) \) będącej rozwiązaniem problemu początkowego Cauchy'ego
\( \displaystyle x'=f(x,t), \ \ x(t_0)=x_0. \)
Jeśli więc nawet nie potrafimy rozwiązać danego równania różniczkowego w postaci dokładnej, możemy (np. wspierając się programem do obliczeń symbolicznych Maple, Mathematica lub innym, który pozwala kreślić wykresy) narysować pole wektorowe związane z danym równaniem i na podstawie obrazu pola wektorowego określić w przybliżeniu przebieg rozwiązań równania różniczkowego.
Rysunek do przykładu 13.19.
Często zamiast szkicować wektory
\( \displaystyle \mathbb{R}^2 \supset\mathrm{dom}\, f\ni (t,x)\mapsto \big(1, f(t,x)\big)\in \mathbb{R}^2, \)
rezygnujemy z informacji o długości wektora i rysujemy na płaszczyźnie zmiennych \( \displaystyle (t,x) \) odcinki o takiej samej długości (np. jednostkowej), nachylone do osi zmiennej \( \displaystyle t \) pod kątem, którego tangens wynosi \( \displaystyle f(t,x) \). Tę reprezentację równania różniczkowego nazywamy polem kierunków równania różniczkowego.
Zauważmy, że jeśli w równaniu \( \displaystyle x'=f(t,x) \) funkcja \( \displaystyle (t,x)\mapsto f(t,x) \) nie zależy od zmiennej \( \displaystyle t \), pole kierunków zacieśnione do którejkolwiek prostej \( \displaystyle t=Const \) jest takie samo. Stąd w przypadku równań typu \( \displaystyle x'=f(x) \) do analizowania pola kierunków i przebiegu rozwiązań równania różniczkowego wystarczy prosta zmiennej \( \displaystyle x \).
Przykład 13.19.
Pole wektorowe związane z równaniem \( \displaystyle x'=2 \).
Przykład 13.20.
Pole wektorowe związane z równaniem \( \displaystyle x'=t \).
Zwróćmy uwagę, że rysując gęściej wektory pola kierunków związanego z danym równaniem, otrzymujemy lepsze wyobrażenie o przebiegu krzywych \( \displaystyle t\mapsto (t, x(t)) \), które stanowią rozwiązanie równania.
Przykład 13.21.
Pole wektorowe związane z równaniem \( \displaystyle x'=x-t \).
Podobnie jak poprzednio: im więcej wektorów pola, tym lepsze wyobrażenie o przebiegu rozwiązania równania różniczkowego.
Pole wektorowe związane z równaniem \( \displaystyle x'=x^2-t \).
Równania tego nie da się rozwiązać za pomocą algorytmu o skończonej liczbie etapów. Jednak, zgodnie z twierdzeniem Picarda, dla każdego punktu \( \displaystyle (t_0, x_0) \) na płaszczyźnie istnieje dokładnie jedno rozwiązanie problemu Cauchy'ego:
\( \displaystyle \left\{\begin{align*} x'=x^2-t \\ x(t_0)=x_0. \end{align*} \right. \)
Rysując pole kierunków, możemy wyobrazić sobie przebieg krzywych stanowiących rozwiązanie problemu Cauchy'ego dla poszczególnych punktów \( \displaystyle (t_0, x_0) \).
Rysunek do przykładu 13.22.
Przykład 13.23.
Pole wektorowe związane z równaniem \( \displaystyle x'=\ln |x| \).
Także tego równania nie potrafimy rozwiązać dokładnie za pomocą algorytmu o skończonej liczbie etapów.
Rysując pole kierunków, możemy jednak z łatwością wyobrazić sobie przebieg rozwiązań tego równania.