Jakob Bernoulli (1654-1705)
Definicja 14.16.
Równanie różniczkowe
\( \displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=q(t)x^r, \quad \) gdzie \( \displaystyle r\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\} \)
nazywamy równaniem różniczkowym Bernoullego (rrB).
Zauważmy, że dla \( \displaystyle r=0 \) lub \( \displaystyle r=1 \) powyższe równanie staje się równaniem różniczkowym liniowym (jednorodnym lub nie).
Równanie różniczkowe Bernoullego rozwiązujemy za pomocą podstawienia
\( \displaystyle x^{1-r}=z \)
i sprowadzenia równania do równania liniowego. Faktycznie, skoro \( \displaystyle z=x^{1-r} \), to \( \displaystyle \displaystyle\dot{z}=(1-r)x^{-r}\dot{x}. \) Mnożąc (rrB) obustronnie przez \( \displaystyle \displaystyle (1-r)x^{-r} \), dostajemy równanie
\( \displaystyle (1-r)x^{-r}\dot{x}+p(t)(1-r)x^{1-r}=q(t)(1-r), \)
i podstawiając, mamy:
\( \displaystyle \dot{z}+(1-r)p(t)z=(1-r)q(t), \)
czyli równanie liniowe rzędu pierwszego z niewiadomą funkcją \( \displaystyle z. \) Takie równanie umiemy już rozwiązać.
Zauważmy też, że jeśli \( \displaystyle 1-r < 0 \), czyli \( \displaystyle r>1 \), to zawsze "gubimy" rozwiązanie \( \displaystyle x\equiv 0 \).
Przykład 14.17.
Rozwiązać równanie
\( \displaystyle 3\dot{x}-x=\frac{t}{x^2}. \)
Zapiszmy to równanie jako
\( \displaystyle \dot{x}-\frac{1}{3}x=\frac{t}{3x^2}. \)
Zatem \( \displaystyle p(t)=-\frac{1}{3}, \ q(t)=\frac{t}{3}, \ r=-2. \)
Nasze równanie, po pomnożeniu obustronnie przez \( \displaystyle 3x^{2} \), zamienia się w równanie
\( \displaystyle 3x^2\dot{x}-x=t, \)
czyli po podstawieniu
\( \displaystyle z=x^{1-r}=x^3, \)
dostajemy równanie liniowe niejednorodne
\( \displaystyle \dot{z}-z=t. \)
Zgodnie ze wzorem na rozwiązanie ogólne równania liniowego podanym w stwierdzeniem 14.13 mamy
\( \displaystyle z(t)=\displaystyle e^{-\int(-1)dt}\displaystyle( C+\int te^{\int (-1) dt} dt), \)
czyli
\( \displaystyle z(t)=Ce^t-(t+1), \)
a zatem rozwiązanie naszego równania Bernoullego to
\( \displaystyle (x(t))^3=Ce^t-(t+1). \)