Definicja 14.18.
Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje \( \displaystyle M, N :D\to \mathbb{R}, \) klasy \( \displaystyle {\cal C}^1, \) gdzie \( \displaystyle D \) jest obszarem jednospójnym w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2. \) Równanie różniczkowe
\( \displaystyle M(t,x)dt+N(t,x)dx=0 \)
nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym (rrz), jeśli w \( \displaystyle D \) zachodzi
\( \displaystyle \frac{\partial M}{\partial x}=\frac{\partial N}{\partial t}. \)
Często definiuje się też równanie różniczkowe zupełne jako takie równanie, że pole wektorowe \( \displaystyle F(t,x)=(M(t,x),N(t,x)) \) jest polem potencjalnym. Jak wiemy, w obszarach jednospójnych te warunki są równoważne (patrz uwaga 12.17. stwierdzeniem 12.19.).
Metoda rozwiązywania równań różniczkowych zupełnych jest dokładnie taka, jak metoda szukania potencjału dla pola potencjalnego (patrz ćwiczenie 12.4.). Aby rozwiązać (rrz), wystarczy znaleźć taką funkcję \( \displaystyle \displaystyle\varrho(t,x) \), by
\( \displaystyle M(t,x)=\frac{\partial \varrho}{\partial t}(t,x) \)
i
\( \displaystyle N(t,x)=\frac{\partial \varrho}{\partial x}(t,x). \)
Jeśli znajdziemy takie \( \displaystyle \displaystyle\varrho(t,x) \), to rozwiązaniem ogólnym (rrz) będzie
\( \displaystyle \varrho(t,x)=C, \)
ze stałą dowolną \( \displaystyle C. \)
(Dowód powyższego faktu pomijamy, wymaga bowiem wprowadzenia pojęcia różniczki zupełnej).
Aby znaleźć \( \displaystyle \displaystyle\varrho(t,x), \) całkujemy funkcję \( \displaystyle M(t,x) \) po zmiennej \( \displaystyle t. \) Dostajemy wtedy
\( \displaystyle \varrho(t,x)=\int M(t,x)dt + g(x), \)
gdzie \( \displaystyle g \) jest pewną, na razie nieznaną, funkcją klasy \( \displaystyle {\cal C}^1. \) Aby wyznaczyć \( \displaystyle g \), liczymy pochodną po \( \displaystyle x \) z obu stron powyższego równania. Dostajemy:
\( \displaystyle N(x,t)=\frac{\partial (\int M(t,x)dt)}{\partial x}+g'(x). \)
Porównując te strony tego równania, wyznaczamy \( \displaystyle g'(x), \) a całkując, dostajemy \( \displaystyle g(x), \) a zatem także \( \displaystyle \displaystyle\varrho(x,y). \)
Przykład 14.19.
Rozwiązać równanie różniczkowe
\( \displaystyle (t+x)dt+(t-x)dx=0. \)
Mamy \( \displaystyle M(t,x)=t+x, \ N(t,x)=t-x. \) Zachodzi
\( \displaystyle \frac{\partial M}{\partial x}=1=\frac{\partial N}{\partial t}, \)
a więc równanie jest zupełne. Wyznaczmy \( \displaystyle \displaystyle\varrho(x,y). \) Mamy
\( \displaystyle \varrho(x,y)=\frac{1}{2}t^2+tx+g(x). \)
Licząc pochodną po \( \displaystyle x \) i porównując z \( \displaystyle N \), dostaniemy:
\( \displaystyle t-x=N(t,x)=\frac{\partial \bigg(\frac{1}{2}t^2+tx+g(x)\bigg)}{\partial x}=t+g'(x), \)
skąd
\( \displaystyle g'(x)=-x, \)
a więc
\( \displaystyle g(x)=-\frac{1}{2}x^2+C, \)
czyli
\( \displaystyle \varrho(t,x)=\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{2}x^2+C. \)