Wszystkie rozpatrywane do tej pory równania były równaniami różniczkowymi rzędu pierwszego. Zajmiemy się teraz pewnym szczególnym przypadkiem równań wyższego rzędu, czyli równaniami liniowymi rzędu \( \displaystyle n \) o stałych współczynnikach, dla których to równań możemy opisać metodę prowadzącą do znalezienia rozwiązań. Należy bowiem zdawać sobie sprawę, że nie ma metod umożliwiających dokładne rozwiązanie dowolnego równania różniczkowego. W praktyce często zadowalamy się rozwiązaniami przybliżonymi. Szukaniem rozwiązań przybliżonych zajmuje się dział matematyki zwany metodami numerycznymi.
Definicja 14.20.
Równanie różniczkowe
\( \displaystyle x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}x'+a_{n}x=0, \)
gdzie \( \displaystyle a_1,\ldots,a_n \) są ustalonymi liczbami rzeczywistymi nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym, rzędu \( \displaystyle n \) o stałych współczynnikach (rrlj-n).
Równanie różniczkowe
\( \displaystyle x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}x'+a_{n}x=f(t), \)
gdzie \( \displaystyle a_1,\ldots,a_n \) są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, a funkcja \( \displaystyle f \) nie jest tożsamościowo równa zero, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym, rzędu \( \displaystyle n \) o stałych współczynnikach (rrlnj-n).
Aby znaleźć rozwiązanie równania liniowego jednorodnego (rrlj-n), oprzemy się na poniższym stwierdzeniu (podamy go bez dowodu).
Stwierdzenie 14.21.
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego jednorodnego rzędu \( \displaystyle n \) o stałych współczynnikach jest kombinacja liniową
\( \displaystyle x=C_1x_1+\ldots+C_nx_n \)
\( \displaystyle n \) rozwiązań szczególnych tego równania ze stałymi dowolnymi \( \displaystyle C_1,\ldots,C_n. \)
Musimy zatem mieć \( \displaystyle n \) liniowo niezależnych rozwiązań równania (rrlj-n), gdzie przez liniową niezależność funkcji rozumiemy fakt, że żadna z tych funkcji nie jest równa kombinacji liniowej pozostałych. Aby znaleźć te rozwiązania, przypuśćmy, że funkcja
\( \displaystyle x(t)=e^{\lambda t} \)
jest szczególnym rozwiązaniem naszego równania. Wstawiając tę funkcję do równania, dostajemy:
\( \displaystyle \lambda^n e^{\lambda t}+a_1\lambda^{n-1}e^{\lambda t}+a_2\lambda^{n-2}e^{\lambda t}+\ldots+a_{n-1}\lambda e^{\lambda t}=0, \)
czyli
\( \displaystyle \lambda^n +a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+\ldots+a_{n-1}\lambda=0. \)
Definicja 14.22.
Równanie
\( \displaystyle \lambda^n +a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+\ldots+a_{n-1}\lambda=0. \) nazywamy równaniem charakterystycznym dla równania (rrlj-n).
Aby znaleźć rozwiązania szczególne \( \displaystyle x_1,\ldots,x_n \) równania różniczkowego (rrlj-n), musimy najpierw rozwiązać równanie charakterystyczne dla tego równania. Rozwiązując, należy znaleźć wszystkie \( \displaystyle n \) pierwiastków tego równania \( \displaystyle \displaystyle\lambda_1,\ldots,\lambda_n \) (mogą być zespolone!). To jak wyglądają rozwiązania \( \displaystyle x_1,\ldots,x_n \), zależy od postaci \( \displaystyle \displaystyle\lambda_1,\ldots,\lambda_n, \) czyli od tego czy są rzeczywiste, czy zespolone, czy pojedyncze, czy wielokrotne.
Przypadek I. Wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są różne.
Przypadek I.A. \( \displaystyle \displaystyle\lambda_1,\ldots,\lambda_n \) są liczbami rzeczywistymi. Wówczas mamy rozwiązanie szczególne
\( \displaystyle x_1(t)=e^{\lambda_1t},\ldots,x_n(t)=e^{\lambda_nt} \)
i rozwiązanie ogólne naszego (rrlj-n) ma postać
\( \displaystyle x(t)=C_1e^{\lambda_1t}+\ldots+C_ne^{\lambda_nt}. \)
Przypadek I.B. Wśród \( \displaystyle \displaystyle\lambda_1,\ldots,\lambda_n \) są liczby zespolone. Przyjmijmy, że \( \displaystyle \displaystyle\lambda_1=a+ib, b\neq 0. \) Zauważmy, że skoro \( \displaystyle a+ib \) jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to jest nim także \( \displaystyle a-ib \) (bo \( \displaystyle a_1,\ldots,a_n \) są rzeczywiste; dla naszego równania pierwiastków zespolonych jest zatem zawsze parzysta ilość). Niech \( \displaystyle \displaystyle\lambda_2=a-ib. \) Wówczas dostajemy dwa liniowo niezależne rozwiązania szczególne postaci
\( \displaystyle x_1(t)=e^{at}\cos bt, \ x_2(t)=e^{at}\sin bt. \)
Niech zatem \( \displaystyle \displaystyle\lambda_1=a_1+ib_1,\ldots,\lambda_{2s}=a_{s}-ib_{s} \) będą pierwiastkami zespolonymi, a \( \displaystyle \displaystyle\lambda_{2s+1},\ldots,\lambda_n \) rzeczywistymi (może nie być żadnego). Wtedy rozwiązanie ogólne naszego (rrlj-n) ma postać
\( \displaystyle \begin{align*} x(t) & = e^{a_1t}(C_1\cos b_1t+C_2\sin b_1t)+e^{a_2t}(C_3\cos b_2t+C_4\sin b_2t)+\ldots \\ & +e^{a_1{2s}t}(C_{2s-1}\cos b_{s}t+C_{2s}\sin b_st)+ +C_{2s+1}e^{\lambda_{2s+1}t}+\ldots+C_ne^{\lambda_nt}. \end{align*} \)
Przypadek II. Wśród pierwiastków równania charakterystycznego są pierwiastki wielokrotne.
Przypadek II.A Niech pierwiastek \( \displaystyle \displaystyle\lambda_1 \) będzie \( \displaystyle k \)-krotnym rzeczywistym pierwiastkiem równania charakterystycznego. Odpowiada mu wtedy \( \displaystyle k \) liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych:
\( \displaystyle x_1(t)=e^{\lambda_1t},\ x_2(t)=te^{\lambda_1t},\ldots,x_k(t)=t^{k-1}e^{\lambda_1t}. \)
Przypadek II.B Niech pierwiastek \( \displaystyle \displaystyle\lambda_1=a+ib \) będzie \( \displaystyle k \)-krotnym pierwiastkiem zespolonym równania charakterystycznego. Wtedy \( \displaystyle a-ib=\lambda_2 \) także jest \( \displaystyle k \)-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego i odpowiada im \( \displaystyle 2k \) liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych:
\( \displaystyle \begin{array}{lll} x_1(t) & = & \displaystyle e^{at}\cos bt,\ x_2(t)=e^{at}\sin bt, \ x_3(t)=te^{at}\cos bt,\ x_4(t)=te^{at}\sin bt,\ldots, \\ x_{2k-1}(t) & = & \displaystyle t^{k-1}e^{at}\cos bt,\ x_{2k}(t)=t^{k-1}e^{at}\sin bt. \end{array} \)
Zauważmy, że za każdym razem dostajemy w sumie \( \displaystyle n \) rozwiązań \( \displaystyle x_1,\ldots,x_n \) - bo suma ilości wszystkich pierwiastków równania stopnia \( \displaystyle n, \) liczonych wraz z krotnościami wynosi \( \displaystyle n. \) Rozwiązanie ogólne (rrlj-n) znajdujemy zatem, biorąc kombinację liniową
\( \displaystyle x=C_1x_1+\ldots+C_nx_n. \)
Przykład 14.23.
Rozwiązać równanie:
\( \displaystyle x^{(2)}-5x'+6x=0 \)
Wypisujemy równanie charakterystyczne:
\( \displaystyle \lambda^2-5\lambda+6=0. \)
Równanie to ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste
\( \displaystyle \lambda_1=2,\ \lambda_2=3. \)
Rozwiązania szczególne to
\( \displaystyle x_1(t)=e^{2t},\ x_2(t)=e^{3t}, \)
zatem rozwiązanie ogólne to
\( \displaystyle x(t)=C_1e^{2t}+C_2e^{3t}. \)
Przykład 14.24.
Rozwiązać równanie:
\( \displaystyle x^{(2)}-4x'+4x=0 \)
Wypisujemy równanie charakterystyczne:
\( \displaystyle \lambda^2-4\lambda+4=0. \)
Równanie to ma jeden pierwiastek podwójny (\( \displaystyle k=2 \))
\( \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=2. \)
Zatem rozwiązania szczególne to
\( \displaystyle x_1(t)=e^{2t},\ x_2(t)=te^{2t}, \)
a rozwiązanie ogólne to
\( \displaystyle x(t)=C_1e^{2t}+C_2te^{2t}. \)
Przykład 14.25.
Rozwiązać równanie:
\( \displaystyle x^{(2)}+x=0 \)
Wypisujemy równanie charakterystyczne:
\( \displaystyle \lambda^2+\lambda=0. \)
Równanie to ma (dwa sprzężone) pierwiastki zespolone
\( \displaystyle \lambda_1=i, \ \lambda_2=-i, \) tak więc tu \( \displaystyle a=0, \ b=1. \)
Zatem rozwiązania szczególne to
\( \displaystyle x_1(t)=\cos t,\ x_2(t)=\sin t, \)
a rozwiązanie ogólne to
\( \displaystyle x(t)=C_1\cos t+C_2\sin t. \)
Powiemy teraz, jak znaleźć rozwiązania niektórych równań różniczkowych liniowych niejednorodnych rzędu \( \displaystyle n, \) (rrlnj-m). Ograniczymy się do tych sytuacji, kiedy można zastosować tak zwaną metodę przewidywań.
Bez dowodu podamy następujące stwierdzenie:
Stwierdzenie 14.26.
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego niejednorodnego rzędu \( \displaystyle n \) o stałych współczynnikach:
\( \displaystyle x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}x'+a_{n}x=f(t) \)
jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego
\( \displaystyle x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}x'+a_{n}x=0 \)
i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.
To właśnie do znalezienia tego szczególnego rozwiązania będziemy stosować metodę przewidywań. Okazuje się, że dla pewnych funkcji \( \displaystyle f(t) \) można przewidzieć postać rozwiązania szczególnego.
Przypadek 1. Funkcja
\( \displaystyle f(t)=e^{at}P(t), \)
gdzie \( \displaystyle P(t) \) jest wielomianem zmiennej \( \displaystyle t \) oraz liczba \( \displaystyle a \) nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego.
Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci
\( \displaystyle x_1(t)=Q(t)e^{at}, \)
gdzie \( \displaystyle Q \) (którego współczynniki musimy wyznaczyć) jest wielomianem tego samego stopnia co \( \displaystyle P. \)
Przypadek 2. Funkcja
\( \displaystyle f(t)=e^{at}P(t), \)
gdzie \( \displaystyle P(t) \) jest wielomianem zmiennej \( \displaystyle t \) oraz liczba \( \displaystyle a \) jest pierwiastkiem \( \displaystyle k \)-krotnym równania charakterystycznego.
Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci
\( \displaystyle x_1(t)=t^kQ(t)e^{at}, \)
gdzie \( \displaystyle Q \) jest wielomianem tego samego stopnia co \( \displaystyle P. \)
Przypadek 3. Funkcja
\( \displaystyle f(t)=e^{at}(P_1(t)\cos t+P_2(t)\sin t), \)
gdzie \( \displaystyle P_1(t) \) i \( \displaystyle P_2(t) \) są wielomianami zmiennej \( \displaystyle t \) oraz liczba \( \displaystyle a+ib \) nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego.
Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci
\( \displaystyle x_1(t)=e^{at}(Q_1(t)\cos t+Q_2(t)\sin t), \)
gdzie \( \displaystyle Q_1 \) i \( \displaystyle Q_2 \) są wielomianami stopnia równego \( \displaystyle \displaystyle\max\{\deg P_1, \deg P_2\}. \)
Przypadek 4. Funkcja
\( \displaystyle f(t)=e^{at}(P_1(t)\cos t+P_2(t)\sin t), \)
gdzie \( \displaystyle P_1(t) \) i \( \displaystyle P_2(t) \) są wielomianami zmiennej \( \displaystyle t \) oraz liczba \( \displaystyle a+ib \) jest pierwiastkiem \( \displaystyle k \)-krotnym równania charakterystycznego.
Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci
\( \displaystyle x_1(t)=e^{at}t^{k}(Q_1(t)\cos t+Q_2(t)\sin t), \)
gdzie znowu \( \displaystyle Q_1 \) i \( \displaystyle Q_2 \) są wielomianami stopnia równego \( \displaystyle \displaystyle\max\{\deg P_1, \deg P_2\}. \)
W każdym z powyższych przypadków współczynniki nieznanych wielomianów wyliczymy, wstawiając \( \displaystyle x_1(t) \) do naszego równania niejednorodnego.
Uwaga 14.27.
W przypadku, gdy funkcja \( \displaystyle f(t) \) w równaniu niejednorodnym jest sumą funkcji opisanych w przypadkach \( \displaystyle 1,\ldots,4, \) powiedzmy \( \displaystyle f=f_1+\ldots+f_s, \) to szukamy najpierw \( \displaystyle s \) rozwiązań szczególnych dla równań niejednorodnych z prawymi stronami równymi \( \displaystyle f_1,\ldots,f_s. \) Znajdujemy \( \displaystyle s \) funkcji \( \displaystyle x_{11},\ldots,x_{1s}. \) Szukane rozwiązanie szczególne to
\( \displaystyle x_1=x_{11}+\ldots+x_{1s}, \)
co wynika z liniowości naszego równania.
Przykład 14.28.
Rozwiązać równanie
\( \displaystyle x^{(2)}-x=\sin t + te^t. \)
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne
\( \displaystyle x^{(2)}-x=0. \)
Równanie charakterystyczne to
\( \displaystyle \lambda^{2}-1=0, \)
z rozwiązaniami \( \displaystyle \displaystyle\lambda_1=1, \lambda_2=-1. \) Tak więc rozwiązanie ogólne równania jednorodnego to
\( \displaystyle x_o(t)=C_1e^{t}+C_2e^{-t}. \)
Szukamy teraz rozwiązań szczególnych, najpierw dla równania
\( \displaystyle x^{(2)}-x=\sin t. \)
Tu \( \displaystyle a=0, b=1, \) zatem \( \displaystyle a+ib=i \) nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego. Przewidujemy zatem rozwiązanie szczególne w postaci:
\( \displaystyle x_{11}(t)=A\sin t+B\cos t. \)
To \( \displaystyle x_{11} \) wstawiamy do równania \( \displaystyle x^{(2)}-x=\sin t. \) Dostajemy:
\( \displaystyle -A\sin t-B\cos t-A\sin t-B\cos t=\sin t, \)
skąd dostajemy układ równań
\( \displaystyle -2A=1,\ -2B=0, \)
czyli \( \displaystyle A=-\frac{1}{2}, \ B=0. \) Tak więc
\( \displaystyle x_{11}(t)=-\frac{1}{2}\sin t. \)
Rozwiążemy teraz równanie
\( \displaystyle x^{(2)}-x= te^t. \)
Tu \( \displaystyle a=1 \) i liczba \( \displaystyle 1 \) jest (jednokrotnym) pierwiastkiem równania charakterystycznego. Wielomian \( \displaystyle P(t) \) ma stopień \( \displaystyle 1. \) Rozwiązania szczególnego szukamy zatem w postaci
\( \displaystyle x_{12}(t)=t(At+B)e^t. \)
Współczynniki \( \displaystyle A \) i \( \displaystyle B \) wyznaczymy, wstawiając \( \displaystyle x_{12} \) do równania \( \displaystyle x^{(2)}-x= te^t. \) Dostaniemy
\( \displaystyle e^t(At^2+4At+Bt+2B+2A)-(At^2+Bt)e^t=e^t(4At+2B+2A)=te^t, \)
skąd
\( \displaystyle 4A=1, \ 2A+2B=0 \) zatem \( \displaystyle A=\frac{1}{4}, \ B=-\frac{1}{4}, \)
czyli
\( \displaystyle x_{12}(t)=(\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{4}t)e^t. \)
Sumując, dostajemy rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego:
\( \displaystyle x_1(t)=-\frac{1}{2}\sin t+(\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{4}t)e^t. \)
Tak więc rozwiązanie ogólne naszego równania to:
\( \displaystyle x(t)=x_o(t)+x_1(t)=C_1e^{t}+C_2e^{-t}-\frac{1}{2}\sin t+(\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{4}t)e^t. \)