Obok ciągów zbieżnych, ważną rolę odgrywają także tak zwane ciągi Cauchy'ego. Ciągi Cauchy'ego to takie ciągi, dla których odległości między wyrazami zmierzają do zera. Okazuje się, że w \( \displaystyle\mathbb{R}^N \) z metryką euklidesową, ciągi Cauchy'ego są dokładnie ciągami zbieżnymi. Jednak nie dla każdej przestrzeni z metryką tak jest (patrz uwaga 3.31).
Definicja 3.27. [warunek Cauchy'ego]
Niech \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N \) będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg \( \displaystyle\{x_n\} \) spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli
\( \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N} \ \forall n,m\ge N:\ d(x_n,x_m) < \varepsilon. \)
Warunek Cauchy'ego dla ciągu \( \displaystyle\{x_n\} \) oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby \( \displaystyle\varepsilon>0, \) począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są oddalone od siebie o mniej niż \( \displaystyle\varepsilon. \)
Zacznijmy od prostych faktów.
Stwierdzenie 3.28.
Jeśli \( \{x_n\} \) jest ciągiem Cauchy'ego, to jest ograniczony.
Dowód 3.28.
Weźmy \( \varepsilon=1 \). Wtedy istnieje \( N\in \mathbb{N} \), takie, że dla wszystkich \( n,m\geq N \) mamy \( d(x_n,x_m) < 1 \), w szczególności dla każdego \( n\geq N \), \( d(x_n,x_{N}) < 1 \). Weźmy
\( R:=\max\{d(x_1,x_{N}),d(x_2,x_{N}),...d(x_{N-1},x_{N})\}+1. \)
Wtedy wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w kuli \( K(x_{N},R) \), a więc ciąg jest ograniczony.
Stwierdzenie 3.29.
Jeśli podciąg \( \{x_{n_k}\} \) ciągu Cauchy'ego \( \{x_n\} \) ma granicę \( g \), to ciąg \( \{x_n\} \) ma granicę \( g \).
Dowód 3.29.
Ustalmy \( \varepsilon>0 \). Skoro \( \lim\limits_{k \to +\infty} x_{n_k}=g \), to istnieje \( K\in\mathbb{N} \), takie, że dla każdego \( k\geq K \) mamy \( d(x_{n_k},g) < \frac{\varepsilon}{2} \). Skoro zaś \( \{x_n\} \) jest ciągiem Cauchy'ego, to istnieje \( N\in \mathbb{N} \) takie, że dla wszystkich \( m,n \geq N \) mamy \( d(x_n,x_m) < \frac{\varepsilon}{2} \). Biorąc \( M=\max\{N,K\} \), mamy dla wszystkich \( m\geq M \)
\( d(x_m,g)\leq d(x_m,x_{n_M})+d(x_{n_M},g) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon, \)
a zatem \( g \) jest granicą ciągu \( \{x_n\} \).
Kolejne twierdzenie mówi, że w \( \mathbb{R}^N \) ciągi są zbieżne dokładnie wtedy, gdy spełniają warunek Cauchy'ego.
Twierdzenie 3.30. [zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]
Ciąg \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^N \) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego.
Dowód 3.30.
"\( \Longrightarrow \)"
Wykażemy, że jeśli ciąg \( \{x_n\} \) jest zbieżny, to spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy \( \varepsilon>0 \). Skoro ciąg jest zbieżny do granicy \( g \), to jego wyrazy są od pewnego miejsca odległe od \( g \) o mniej niż \( \frac{\varepsilon}{2} \), czyli
\( \exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N: \ d(x_n,g) < \frac{\varepsilon}{2}. \)
Weźmy teraz dowolne \( m,n>N \). Wtedy \( d(x_n,x_m) \ \le\ d(x_n,g)+d(x_m,g) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon, \)
a zatem ciąg \( \{x_n\} \) spełnia warunek Cauchy'ego.
"\( \Longleftarrow \)"
Ta część dowodu będzie przeprowadzona później, po wprowadzeniu pojęcia zwartości.
Uwaga 3.31.
Dla dowolnie wybranego zbioru z metryką zachodzi tylko jedna implikacja w powyższym twierdzeniu, a mianowicie każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego. Aby pokazać, że przeciwna implikacja nie jest prawdziwa, rozważmy przedział otwarty \( \displaystyle (0,1) \) z metryką euklidesową \( d_2 \) (czyli dla \( x,y\in (0,1) \) ich odległość wynosi \( |x-y| \)). Ciąg \( \displaystyle\{x_n\} \) zadany wzorem \( \displaystyle x_n=\frac{1}{n} \) dla \( n\in\mathbb{N} \) nie jest zbieżny w \( \displaystyle (0,1) \) (dlaczego?), ale spełnia warunek Cauchy'ego. Aby to pokazać, ustalmy dowolne \( \displaystyle\varepsilon>0. \) Wówczas
\( \exists N\in \mathbb{N}:\ \frac{1}{N} < \frac{\varepsilon}{2}. \)
Wówczas dla dowolnych \( n,m\ge N \) mamy
\( d_2(x_n,x_m) \ =\ |x_n-x_m| \ =\ \bigg|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\bigg| \ \le\ \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \ \le\ \frac{1}{N}+\frac{1}{N} \ =\ \frac{2}{N} \ < \ \varepsilon. \)
Pokazaliśmy zatem, że ciąg \( \displaystyle\{x_n\} \) spełnia warunek Cauchy'ego.