Ciągi liczbowe
W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych. Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony, granice niewłaściwe. Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów, twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w \( \mathbb{R}, \) twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.
Definicja 4.1. [ciąg liczbowy]
Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w \( \mathbb{R} \) (to znaczy w zbiorze liczbowym \( \displaystyle\mathbb{R} \) traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką euklidesową). Piszemy krótko \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}. \)
Ponieważ w zbiorze liczbowym \( \displaystyle\mathbb{R} \) mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.
Definicja 4.2.
(1) Mówimy, że ciąg \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest malejący, jeśli \( \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\ge a_{n+1}. \)
(2) Mówimy, że ciąg \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest silnie malejący, jeśli \( \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n> a_{n+1}. \)
(3) Mówimy, że ciąg \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest rosnący, jeśli \( \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le a_{n+1}. \)
(4) Mówimy, że ciąg \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest silnie rosnący, jeśli \( \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n < a_{n+1}. \)
(5) Mówimy, że ciąg \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R} \) jest monotoniczny, jeśli jest on malejący lub rosnący.
(6) Mówimy, że ciąg \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R} \) jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie malejący lub silnie rosnący.
wykres
W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry (ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy \( \displaystyle\mathbb{R} \) jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące definicje.
Definicja 4.3.
(1) Mówimy, że ciąg \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R} \) jest ograniczony, jeśli \( \displaystyle\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ |a_n|\le M. \)
(2) Mówimy, że ciąg \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R} \) jest ograniczony z dołu, jeśli \( \displaystyle\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\ge M. \)
(3) Mówimy, że ciąg \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R} \) jest ograniczony z góry, jeśli \( \displaystyle\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le M. \)
Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest następujący związek między ograniczonością a ograniczonością z góry i z dołu.
Stwierdzenie 4.4. [O ciągu ograniczonym w \( \displaystyle\mathbb{R} \)]
Jeśli \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest ciągiem to \( \displaystyle\{a_n\} \) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle\{a_n\} \) jest ograniczony z dołu i z góry.
Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w dowolnych przestrzeniach metrycznych. Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w \( \displaystyle\mathbb{R} \) mamy metrykę euklidesową.
Definicja 4.5.
(1) Mówimy, że liczba \( g \) jest granicą ciągu \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}, \) jeśli
\( \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |x_n-g| < \varepsilon \)
i piszemy
\( \begin{array}{lll} \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g \quad & \textrm{lub} & x_n\stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow} g \quad\textrm{lub} \\ \\ x_n\ x \rightarrow [n \to +\infty]{} g \quad & \textrm{lub} & x_n\longrightarrow g \end{array} \)
(2) Mówimy, że ciąg \( \displaystyle\{x_n\} \) jest zbieżny, jeśli
\( \exists g\in \mathbb{R}:\ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g. \)
W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej przestrzeni metrycznej).
Definicja 4.6. [Uzupelnij]
(1) Mówimy, że ciąg liczbowy \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) ma granicę niewłaściwą \( +\infty, \) jeśli
\( \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \ a_n\ge M. \)
Mówimy wówczas, że ciąg \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest rozbieżny do \( +\infty \) i piszemy \( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty. \)
(2) Mówimy, że ciąg liczbowy \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) ma granicę niewłaściwą \( -\infty, \) jeśli
\( \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \ a_n\le M. \)
Mówimy wówczas, że ciąg \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest rozbieżny do \( -\infty \) i piszemy \( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=-\infty. \)
wykres
Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą (w sensie definicji 4.5.), gdyż nie jest to element \( \displaystyle\mathbb{R} \) (nie jest to liczba rzeczywista). Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w terminologii.
Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać "granica właściwa" lub "granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy o granicy niewłaściwej. O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest zbieżny. O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest rozbieżny do \( +\infty \) lub \( -\infty. \) O ciągu który nie ma granicy właściwej mówimy, że jest rozbieżny.
Twierdzenie 4.7. [O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera]
Jeśli \( \displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R} \) są ciągami takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0 \) oraz \( \displaystyle\{b_n\} \) jest ograniczony, to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_nb_n=0. \)
Dowód 4.7.
Niech \( M>0 \) będzie stałą ograniczającą ciąg \( \displaystyle\{b_n\} \) (która istnieje z założenia), to znaczy
\( \forall n\in \mathbb{N}:\ |b_n|\le M. \) Ustalmy \( \displaystyle\varepsilon>0. \) Ponieważ \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0, \) więc
\( \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n|\le\frac{\varepsilon}{M}. \)
Zatem dla \( n\ge N \) mamy
\( |a_nb_n| \le\ \frac{\varepsilon}{M}\cdot M \ =\ \varepsilon. \)
Ponieważ \( \displaystyle\varepsilon>0 \) było dowolne, więc pokazaliśmy, że
\( \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}:\ |a_nb_n|\le\varepsilon, \)
czyli udowodniliśmy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_nb_n=0. \)
Przykład 4.8.
Obliczyć granicę \( \displaystyle \lim\limits_{ n \to +\infty}\frac{\sin n}{n} \).
wykres
Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu \( \displaystyle\{b_n\} \) leżą pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) (przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę \( g \) (właściwą lub niewłaściwą), to ciąg \( \displaystyle\{b_n\} \) ma tę samą granicę \( g. \)
Twierdzenie 4.11. [O trzech ciągach]
Jeśli \( \displaystyle\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\subseteq\mathbb{R} \) są ciągami takimi, że
\( \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=\lim\limits_{n \to +\infty} c_n=g\in\overline{\mathbb{R}} \quad\textrm{oraz}\quad \)
\( \exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\le b_n\le c_n, \)
to
\( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=g. \)
Dowód 4.11.
Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy \( g\in\mathbb{R} \). Załóżmy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=\lim\limits_{n \to +\infty} c_n=g \) oraz \( \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\le b_n\le c_n. \)
Należy pokazać, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=g. \) W tym celu ustalmy dowolne \( \displaystyle\varepsilon>0. \) Z definicji granicy ciągu mamy
\( \begin{align*} & & \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-g| < \varepsilon, \quad \textrm{czyli} \quad g-\varepsilon < a_n < g+\varepsilon,\\ & & \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |c_n-g| < \varepsilon, \quad \textrm{czyli} \quad g-\varepsilon < c_n < g+\varepsilon.\ \end{align*} \)
Niech \( N_3=\max\{N,N_1,N_2\}. \) Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że
\( \forall n\ge N_3:\ g-\varepsilon\ < \ a_n \ \le\ b_n\ \le\ c_n\ < \ g+\varepsilon, \)
zatem
\( \forall n\ge N_3:\ |b_n-g| < \varepsilon, \)
co dowodzi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=g. \)
Przykład 4.12.
Obliczyć granicę ciągu \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} [2+(-1)^n]\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}. \)
Niech \( \displaystyle x_n=[2+(-1)^n]\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}. \)
Zauważmy, że \( x_n=y_n b_n, \) gdzie \( y_n =2+(-1)^n \) oraz \( \displaystyle b_n=\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}. \) W celu obliczenia \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n \) zauważmy, że
\( \displaystyle\frac{3n^2}{4n^4+3n^4+n^4} \le \displaystyle\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \displaystyle\frac{3n^2+2n^2}{4n^4} \)
\( \displaystyle\frac{3n^2}{8n^4} \le \displaystyle\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \displaystyle\frac{5n^2}{4n^4} \)
\( \displaystyle\frac{3}{8}\frac{1}{n^2} \le \displaystyle\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \displaystyle\frac{5}{4}\frac{1}{n^2} \)
granica ciągu \( \displaystyle\frac{3}{8}\frac{1}{n^2} \) oraz \( \displaystyle\frac{5}{4}\frac{1}{n^2} \) wynosi zero. Zbieżności te wynikają z twierdzenia o granicy iloczynu ciągu (patrz twierdzenie 4.9. (3)), to znaczy
\( \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{n^2} \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{3}{8}\cdot\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1}{n} \ =\ \frac{3}{8}\cdot 0\cdot 0 \ =\ 0 \)
i podobnie \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{5}{4}\frac{1}{n^2}=0. \)
Teraz, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz twierdzenie 4.11) dostajemy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0. \)
Odnośnie ciągu \( \displaystyle\{y_n\} \) zauważmy, że
\( \forall n\in\mathbb{N}:\ 1 \ \le\ y_n \ \le\ 3, \)
a zatem ciąg \( \displaystyle\{y_n\} \) jest ograniczony.
W końcu, korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz twierdzenie 4.7.) dostajemy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=0. \)
Kolejne twierdzenie mówi, w jaki sposób nierówności między wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych ciągów i na odwrót. Mianowicie, jeśli \( \{a_n\} \) i \( \{b_n\} \) są dwoma ciągami mającymi granice (właściwe lub niewłaściwe) oraz wyrazy ciągu \( \{b_n\} \) są większe lub równe od wyrazów ciągu \( \{a_n\} \), to nierówność ta zachodzi także dla granic ciągów. Na odwrót, jeśli granica ciągu \( \{b_n\} \) jest silnie większa od granicy ciągu \( \{a_n\} \), to nierówność ta zachodzi także dla wyrazów ciągów \( \{a_n\} \) i \( \{b_n\} \), przynajmniej od pewnego miejsca.
Twierdzenie 4.13. [O dwóch ciągach]
Jeśli \( \displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R} \) są ciągami takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}} \) oraz \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}}, \) to prawdziwe są implikacje:
(1) \( \displaystyle\bigg[a=+\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[b=+\infty\bigg] \);
(2) \( \displaystyle\bigg[b=-\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[a=-\infty\bigg] \);
(3) \( \displaystyle\bigg[\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[a\le b\bigg] \);
(4) \( \displaystyle\bigg[a < b\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n < b_n\bigg]. \)
Dowód 4.13. [nadobowiązkowy]
(Ad (1)) Zakładamy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty \) oraz \( \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n. \)
Ustalmy dowolne \( M>0. \) Ponieważ \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty, \) więc
\( \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\ge M. \)
Zatem dla dowolnego \( n\ge N \) mamy
\( b_n \ \ge\ a_n \ \ge\ M. \) Ponieważ \( M>0 \) było dowolne, więc pokazaliśmy, że
\( \forall M>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ b_n\ge M, \)
a to oznacza, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty. \)
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu (1).
(Ad (3)) Niech \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}},\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}} \) oraz \( \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n. \)
"Przypadek \( 1^o. \)" Niech \( a,b\in\mathbb{R}. \)
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że \( a>b. \) Ustalmy \( \displaystyle\varepsilon=\frac{a-b}{2}>0. \) Z definicji granicy ciągu mamy
\( \begin{align*} & & \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a| < \frac{a-b}{2}, \\ & & \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b| < \frac{a-b}{2}, \end{align*} \) i w szczególności
\( \begin{align*} & & \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ a_n>\frac{a+b}{2}, \\ & & \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ b_n < \frac{a+b}{2}, \end{align*} \)
Niech \( k=\max \{N_1,N_2\}. \) Wówczas dla wyrazów \( a_k \) i \( b_k \) mamy
\( a_k \ >\ \frac{a+b}{2} \ >\ b_k, \)
co jest sprzeczne z założeniem. Zatem pokazaliśmy, że \( a\le b. \)
"Przypadek \( 2^o. \)" \( a=+\infty \) lub \( b=-\infty. \) Wówczas teza wynika z (1) lub (2).
"Przypadek \( 3^o. \)" \( a=-\infty \) lub \( b=+\infty. \) Wówczas zawsze zachodzi nierówność \( a\le b. \)
(Ad (4)) "Przypadek \( 1^o. \)" Niech \( a,b\in\mathbb{R}. \) Ustalmy \( \displaystyle \varepsilon=\frac{b-a}{2}. \) Ponieważ \( b>a \), więc \( \varepsilon>0 \). Z definicji granicy ciągu mamy
\( \begin{align*} & & \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a| < \frac{b-a}{2}, \\ & & \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b| < \frac{b-a}{2}. \end{align*} \) Niech \( N=\max\{N_1,N_2\}. \) W szczególności mamy
\( \forall n\ge N:\ a_n \ < \ \frac{a+b}{2} \ < \ b_n, \)
co należało pokazać.
"Przypadek \( 2^o. \)" \( a=-\infty. \) Niech \( \displaystyle\varepsilon=1 \) i \( M=b-1. \) Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej mamy
\( \begin{align*} & & \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1: a_n < b-1, \\ & & \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2: |b_n-b| < 1. \end{align*} \)
Niech \( N=\max\{N_1,N_2\}. \) W szczególności mamy
\( \forall n\ge N:\ a_n \ < \ b-1 \ < \ b_n, \)
co należało pokazać.
"Przypadek \( 3^o. \)" \( b=+\infty. \) Dowód jest analogiczny jak w przypadku \( 2^o. \)
Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego (ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu (patrz rysunek w twierdzeniu 4.15).
Twierdzenie 4.14.
Jeśli \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest ciągiem, to
(1) jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) jest rosnący, to \( \displaystyle\{a_n\} \) ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz
\( \lim\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}; \)
(2) jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) jest malejący, to \( \displaystyle\{a_n\} \) ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz
\( \lim\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \inf\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}. \)
Dowód 4.14. [nadobowiązkowy]
(Ad (1)) Załóżmy, że \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest ciągiem rosnącym oraz niech
\( g\ \stackrel{df}{=}\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\} \)
(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem \( \displaystyle\mathbb{R} \) lub wynosi \( +\infty, \) gdyż zbiór jest niepusty). Pokażemy, że \( g \) jest granicą ciągu \( \displaystyle\{a_n\}. \)
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek \( 1^o. \) Niech \( g\in\mathbb{R}. \) Ustalmy dowolne \( \displaystyle\varepsilon>0. \) Z własności supremum mamy, że
\( \exists N\in\mathbb{N}:\ g-\varepsilon < a_N \)
(de facto z własności supremum wynika, że takich indeksów \( N \) istnieje nieskończenie wiele, ale nam wystarczy wybór jednego z nich). Ponieważ ciąg \( \displaystyle\{a_n\} \) jest rosnący oraz \( \displaystyle\forall n\in N:\ a_n\le g \) (z definicji supremum), więc
\( \forall n\ge N:\ g-\varepsilon < a_N\le a_n\le g. \)
Ponieważ \( \displaystyle\varepsilon>0 \) był dowolnie wybrany, więc pokazaliśmy, że
\( \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-g|\ < \ \varepsilon. \) zatem pokazaliśmy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=g. \)
Przypadek \( 2^o. \) Niech \( g=+\infty. \) Ustalmy \( M\in\mathbb{R}. \) Z definicji supremum mamy, że
\( \exists N\in\mathbb{N}: M < a_N \)
(bo w przeciwnym razie byłoby \( g\le M \), sprzeczność).
Ponieważ ciąg \( \displaystyle\{a_n\} \) jest rosnący, więc
\( \forall n\ge N:\ M < a_N\le a_n. \)
Ponieważ \( M\in\mathbb{R} \) było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że
\( \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ M\ < \ a_n. \)
Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=g. \)
(Ad (2)) Dowód jest analogiczny jak dla (1).
wykres
Twierdzenie 4.15. [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]
(1) Jeśli \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.
(2) Jeśli \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.
Dowód 4.15.
(Ad (1)) Jeśli ciąg \( \displaystyle\{a_n\} \) jest rosnący, to z twierdzenia 4.14 (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz
\( \lim\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}. \)
Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc
\( \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\} \ < \ +\infty, \)
zatem granica jest właściwa, czyli ciąg jest zbieżny.
(Ad (2)) Dowód analogiczny jak w (1).
(Ad (3)) Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2) (to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony). W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.
Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez założenia monotoniczności). Wynika to z twierdzenia 3.25.
grafika
Twierdzenie 4.16. [Bolzano-Weierstrassa]
Każdy ciąg ograniczony \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) zawiera podciąg zbieżny.
W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat:
Lemat 4.17.
Każdy ciąg liczbowy \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) zawiera podciąg monotoniczny.
Dowód 4.17.
[Szkic] Dla ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) zdefiniujmy następujący zbiór:
\( Z \ \stackrel{df}{=}\ \bigg\{ n\in\mathbb{N}:\ \forall m\in\mathbb{N} \ \big[m>n\Longrightarrow a_m>a_n\big] \bigg\}. \)
Możliwe są dwa przypadki.
Jeśli \( \displaystyle\# Z=\infty \) (to znaczy zbiór \( Z \) jest nieskończony), to możemy z ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) wybrać podciąg rosnący (wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu \( \displaystyle\{a_n\}, \) których indeksy należą do zbioru \( Z \)).
Jeśli \( \displaystyle\# Z < \infty \) (to znaczy zbiór \( Z \) jest skończony), to możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób. Niech \( n_1\in\mathbb{N} \) będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze zbioru \( Z. \) Ponieważ \( n_1\not\in Z, \) więc
\( \exists n_2>n_1:\ a_{n_2}\le a_{n_1}. \)
Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy \( n_1 < \ldots < n_k, \) to z definicji zbioru \( Z \) i faktu, że \( n_k\not\in Z \) wynika, że
\( \exists n_{k+1}>n_k:\ a_{n_{k+1}}\le a_{n_k}. \)
Skonstruowany w ten sposób podciąg \( \displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}} \) jest malejący.
wykres
Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa:
Dowód 4.16.
Niech \( \displaystyle\{a_n\}\in\mathbb{R} \) będzie ciągiem ograniczonym. Z lematu 4.17. wynika, że możemy z niego wybrać podciąg monotoniczny \( \displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}. \) Oczywiście podciąg \( \displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}} \) jest także ograniczony, zatem z twierdzenia 4.15. (3) wynika, że podciąg \( \displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}} \) jest zbieżny.
Wniosek 4.18.
Z każdego ciągu liczbowego \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą).
Dowód 4.18.
Z lematu 4.17. wiemy, że z ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) można wybrać podciąg monotoniczny. Jeśli jest on ograniczony, to z >twierdzenia 4.15. wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą). Jeśli zaś jest nieograniczony, to skoro jest monotoniczny, to granicą jest \( +\infty \) lub \( -\infty \).