Liczba e

Liczba e

Zajmiemy się teraz pewnym przykładem ciągu zbieżnego, którego granica odgrywa ważną rolę w matematyce.

Twierdzenie 5.1. [Liczba \( e \), symbol \( 1^{\infty} \)]

(1) Ciąg \( \displaystyle\{e_n\}\subseteq\mathbb{R} \) o wyrazach \( \displaystyle e_n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n \) jest zbieżny.
Jego granicę oznaczamy przez \( e, \) przy czym

\( e \ \approx\ 2,718281828458563411277850606202642376785584483618617451918618203\ldots. \)

(2) Jeśli \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty, \) to

\( \lim\limits_{n \to +\infty}\bigg(1+\frac{1}{a_n}\bigg)^{a_n} \ =\ e. \)

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat, którego dowód indukcyjny zostawiamy jako proste ćwiczenie.

Lemat 5.2.

Dla każdego \( n\ge 3 \) mamy \( \displaystyle n!>2^{n-1}. \)

Dowód 5.2.

(Ad (1))
Krok 1. Pokażemy, że ciąg \( \displaystyle\{e_n\} \) jest rosnący. W tym celu dla dowolnego \( n\in\mathbb{N} \) obliczymy iloraz:

\( \frac{e_{n+1}}{e_n} \ =\ \frac{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}}{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n} \ =\ \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg) \frac{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}}{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n+1}} \)
\( \ =\ \frac{n+1}{n}\bigg[\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\bigg]^{n+1} \ =\ \frac{n+1}{n}\bigg[1-\frac{1}{(n+1)^2}\bigg]^{n+1}. \)

Stosując nierówność Bernoullego

(patrz uwaga 2.16.) z \( r=n+1\ge 2 \) oraz \( \displaystyle x=-\frac{1}{(n+1)^2}>-1, \) dostajemy

Pokazaliśmy zatem, że

\( \frac{e_{n+1}}{e_n} \ >\ 1 \qquad\forall\ n\ge 1, \)

czyli ciąg \( \displaystyle\{e_n\} \) jest rosnący.

Krok 2. Pokażemy, że ciąg \( \displaystyle\{e_n\} \) jest ograniczony. Ponieważ jest to ciąg liczb dodatnich, więc wystarczy pokazać, że jest on ograniczony z góry. Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona (patrz twierdzenie 1.40.), mamy

\( \begin{array} {lll} \displaystyle e_n & = & \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n \ =\ {n \choose 0} + {n \choose 1}\frac{1}{n} + {n \choose 2}\frac{1}{n^2} + {n \choose 3}\frac{1}{n^3} +\ldots + {n \choose n-1}\frac{1}{n^{n-1}} + {n \choose n} \frac{1}{n^n} \\ & = & 1 +1 +\frac{1}{2!}\frac{n(n-1)}{n^2} +\frac{1}{3!}\frac{n(n-1)(n-2)}{n^3} +\ldots +\frac{1}{(n-1)!}\frac{n(n-1)(n-2)\cdot\ldots\cdot 2}{n^{n-1}} \\ & & +\ \frac{1}{n!}\frac{n(n-1)(n-2)\cdot\ldots\cdot 1}{n^n} \\ & = & 1 +1 +\frac{1}{2!}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg) +\frac{1}{3!}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\bigg(1-\frac{2}{n}\bigg) +\ldots +\frac{1}{(n-1)!}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\cdot\ldots\cdot\bigg(1-\frac{n-2}{n}\bigg) \\ & & +\ \frac{1}{n!}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\cdot\ldots\cdot\bigg(1-\frac{n-1}{n}\bigg) \\ & < & 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}. \end{array} \)

Korzystając z Lematu lematu 5.2., mamy

\( e_n \ < \ 1+1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}. \)

Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz przyklad 1.12.), dostajemy

\( e_n \ < \ 1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}} \ < \ 1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}} \ =\ 3. \)

Pokazaliśmy zatem, że \( \forall n\in\mathbb{N}:\ |e_n| < 3, \)

czyli że ciąg \( \displaystyle\{e_n\} \) jest ograniczony.
Krok 3. Ponieważ ciąg \( \displaystyle\{e_n\} \) jest rosnący i ograniczony, więc korzystając z twiedzenia 4.15., wnioskujemy, że jest on zbieżny.

(Ad (2)) [Dowód nadobowiązkowy]

Niech \( \displaystyle x_n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n+1} \) oraz \( \displaystyle y_n=\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^n. \) Zauważmy, że

\( \begin{array}{lll} \lim\limits_{n \to +\infty} x_n & = & \lim\limits_{n \to +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n+1} \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n\cdot\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg) \ =\ e\cdot 1 \ =\ e, \\ \lim\limits_{n \to +\infty} y_n & = & \lim\limits_{n \to +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^n \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}\cdot\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{-1} \ =\ e\cdot 1 \ =\ e. \end{array} \)

Niech \( \displaystyle\{a_n\} \) będzie dowolnym ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty. \) W celu udowodnienia naszego twierdzenia skorzystamy z twierdzenia 3.25.(5). W tym celu weźmy dowolny podciąg \( \displaystyle\{a_{n_k}\} \) ciągu \( \displaystyle\{a_n\}. \)

Wybierzmy z kolei podciąg \( \displaystyle\big\{a_{n_{k_l}}\big\} \) ciągu \( \displaystyle\{a_{n_k}\}, \) który jest monotonicznie rosnący do \( +\infty \) oraz taki, że

\( \forall l\in\mathbb{N}:\ l \ < \ a_{n_{k_l}} \quad\ \) oraz \( \quad a_{n_{k_l}}+1 \ \le\ a_{n_{k_{l+1}}} \) Dla każdego \( l\in\mathbb{N} \) wyraz \( a_{n_{k_l}} \) jest zawarty w pewnym przedziale \( \displaystyle [N_l,N_l+1) \) o końcach naturalnych (przy czym ciąg \( \displaystyle\{N_l\}_l \) jest silnie rosnący). Korzystając z monotoniczności funkcji potęgowej oraz funkcji wykładniczej (o podstawie większej od \( 1 \)), mamy

\( \begin{array} {ccccccccc} \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{N_l+1}\bigg)^{N_l} & \le & \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{a_{n_{k_l}}}\bigg)^{N_l} & \le & \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{a_{n_{k_l}}}\bigg)^{a_{n_{k_l}}} & \le & \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{a_{n_{k_l}}}\bigg)^{N_l+1} & \le & \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{N_l}\bigg)^{N_l+1} \\ \downarrow & & & & & & & & \downarrow \\ e & & & & & & & & e \end{array} \)

gdzie zbieżności ciągów \( \displaystyle\bigg\{\bigg(1+\frac{1}{N_l+1}\bigg)^{N_l}\bigg\}_{l\in\mathbb{N}} \) i \( \displaystyle\bigg\{\bigg(1+\frac{1}{N_l}\bigg)^{N_l+1}\bigg\}_{l\in\mathbb{N}} \) do liczby \( e \) wynikają z faktów, iż są to podciągi ciągów \( \displaystyle\{x_n\} \)
i \( \displaystyle\{y_n\} \) mających granicę \( e. \) Zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (twierdzenia 4.11.), wnioskujemy, że \( \displaystyle\lim_{larrow+\infty}\bigg(1+\frac{1}{a_{n_{k_l}}}\bigg)^{a_{n_{k_l}}}=e. \)

Ponieważ wystartowaliśmy od dowolnego podciągu \( \displaystyle\{a_{n_k}\} \) ciągu \( \displaystyle\{a_n\}, \) zatem korzystając z twierdzenia 3.25.(5), dostajemy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\bigg(1+\frac{1}{a_n}\bigg)^{a_n}=e. \)

Kolejne twierdzenie będzie przydatne przy wyznaczaniu pewnych granic ciągów. Jego dowód jak i zastosowania pozostawione są na ćwiczenia (patrz zadanie 5.6.).

Twierdzenie 5.3.

Jeśli \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich (to znaczy \( \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n>0 \)), to
(1) jeśli \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a < 1, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0 \);
(2) jeśli \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a>1, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty. \)

Arytmetyka granic niewłaściwych

Arytmetyka granic niewłaściwych

Analogicznie do twierdzeń o "arytmetyce" granic (twierdzenie 4.9.), można sformułować cały szereg twierdzeń dotyczący "arytmetyki" granic niewłaściwych. Poniższe twierdzenie zbiera informacje dotyczące granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów, gdy przynajmniej jeden z ciągów ma granicę niewłaściwą. Podamy dowód jednego z poniższych punktów. Pozostałe dowody można zrobić analogicznie.

Twierdzenie 5.4. [O "arytmetyce" granic niewłaściwych]

(1) \( a+\infty=+\infty, \) dla \( -\infty < a\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty, \) gdzie \( -\infty < a\le+\infty, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}(a_n+b_n)=+\infty. \)

(2) \( a-\infty=-\infty \) dla \( -\infty\le a < +\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty, \) gdzie \( -\infty\le a < +\infty, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}(a_n-b_n)=-\infty. \)

(3) \( a\cdot(\pm\infty)=\pm\infty \) dla \( 0 < a\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=\pm\infty, \) gdzie \( 0 < a\le+\infty, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}(a_n\cdot b_n)=\pm\infty. \)

(4) \( a\cdot(\pm\infty)=\mp\infty \) dla \( -\infty\le a < 0, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=\pm\infty, \) gdzie \( -\infty\le a < 0, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}(a_n\cdot b_n)=\mp\infty. \)

(5) \( \displaystyle\frac{a}{\pm\infty}=0 \) dla \( a\in\mathbb{R}, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a\in\mathbb{R} \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=\pm\infty \) oraz \( b_n\ne 0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=0. \)

(6a) \( \displaystyle\frac{a}{0^+}=+\infty \) dla \( 0 < a\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0, \) gdzie \( 0 < a\le+\infty \) oraz \( b_n>0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty. \)

(6b) \( \displaystyle\frac{a}{0^-}=-\infty \) dla \( 0 < a\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0, \) gdzie \( 0 < a\le+\infty \) oraz \( b_n < 0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty. \)

(7a) \( \displaystyle\frac{a}{0^+}=-\infty \) dla \( -\infty\le a < 0, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0, \) gdzie \( -\infty\le a < 0 \) oraz \( b_n>0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty. \)

(7b) \( \displaystyle\frac{a}{0^-}=+\infty \) dla \( -\infty\le a < 0, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0, \) gdzie \( -\infty\le a < 0 \) oraz \( b_n < 0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty. \)

(8a) \( a^{+\infty}=0 \) dla \( 0^+\le a < 1, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty, \) gdzie \( 0\le a < 1 \) oraz \( a_n>0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=0. \)

(8b) \( a^{-\infty}=+\infty \) dla \( 0^+\le a < 1, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=-\infty, \) gdzie \( 0\le a < 1 \) oraz \( a_n>0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=+\infty. \)

(9a) \( a^{-\infty}=0 \) dla \( 1 < a\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=-\infty, \) gdzie \( 1 < a\le+\infty, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=0. \)

(9b) \( a^{+\infty}=+\infty \) dla \( 1 < a\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty, \) gdzie \( 1 < a\le+\infty, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=+\infty. \)

(10) \( \displaystyle\infty^b=0 \) dla \( -\infty\le b < 0, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=b, \) gdzie \( -\infty\le b < 0, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=0. \)

(11) \( \displaystyle\infty^b=+\infty \) dla \( 0 < b\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=b, \) gdzie \( 0 < b\le+\infty, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=+\infty. \)

Dowód 5.4.(Ad (1)) Załóżmy, że

\( \lim\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ a,\quad \lim\limits_{n \to +\infty} b_n \ =\ b,\quad -\infty < a\le +\infty. \)

Ustalmy dowolne \( M\in\mathbb{R}. \) Ponieważ \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) (gdzie \( -\infty < a\le +\infty \)), więc ciąg \( \displaystyle\{a_n\} \) jest ograniczony od dołu, to znaczy

\( \exists \overline{M}\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\ge \overline{M}. \)

Ponieważ \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty, \) więc

\( \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ b_n\ge M-\overline{M}. \)

Zatem dla dowolnego \( n\ge N \) mamy

\( a_n+b_n \ \ge\ \overline{M}+(M-\overline{M}) \ =\ M. \) Ponieważ \( M\in\mathbb{R} \) było wybrane dowolnie, więc pokazaliśmy, że

\( \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n+b_n\ge M, \)

zatem udowodniliśmy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} (a_n+b_n)=+\infty. \)

Uwaga 5.5. [Symbole nieoznaczone]

Dla pewnych działań na ciągach nie można z góry przewidzieć, jaka jest granica "wynikowa" mimo, że znane są granice poszczególnych ciągów. Dla przykładu rozważmy dwa ciągi \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) rozbieżne do \( +\infty \) i zbadajmy ich różnicę \( \displaystyle\{a_n-b_n\}. \) Okazuje się, że w zależności od konkretnych ciągów \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\}, \) ich różnica może mieć granicę właściwą lub niewłaściwą lub nie mieć granicy. Mówimy wówczas, że \( \displaystyle\infty-\infty \) jest symbolem nieoznaczonym. Oznacza to w szczególności, że dla takiego symbolu nie możemy sformułować twierdzenia analogicznego do twierdzenia 5.4.
Mamy siedem takich symboli nieoznaczonych:

\( \infty-\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \frac{0}{0},\quad \frac{\infty}{\infty},\quad 1^{\infty},\quad \infty^0,\quad 0^0. \)

Przykład 5.6.

Dla każdego z powyższych symboli nieoznaczonych podamy przykłady ciągów mających granicę, dających w wyniku wykonania wskazanych działań ciągi o różnych granicach \( g\in\overline{\mathbb{R}} \) lub bez granicy.

\( \begin{array}{lll}\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}b_n=+\infty \quad & \displaystyle\infty-\infty \\ \displaystyle a_n=n^2 \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n-b_n)=0 \\ \displaystyle a_n=n^2 \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n-b_n)=+\infty \\ \displaystyle a_n=n \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n-b_n)=-\infty \\ \displaystyle a_n=n \quad & \displaystyle b_n=(n-a)\quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n-b_n)=a \quad (\textrm{gdzie } a\in\mathbb{R}) \\ \displaystyle a_n=n+(-1)^n \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \{a_n-b_n\} \quad \textrm{nie ma granicy} \end{array} \)

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0 & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty\ & \displaystyle 0\cdot\infty \\ \displaystyle a_n=\frac{-1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n\cdot b_n)=-\infty \\ \displaystyle a_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n\cdot b_n)=+\infty \\ \displaystyle a_n=\frac{a}{n} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n\cdot b_n)=a \quad(\textrm{gdzie } a\in\mathbb{R}) \\ \displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \{a_n\cdot b_n\} \quad \textrm{nie ma granicy} \end{array} \)

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0 \quad & \displaystyle \frac{0}{0} \\ \displaystyle a_n=\frac{-1}{n}\quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n^2}\quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty \\ \displaystyle a_n=\frac{1}{n}\quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n^2}\quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty \\ \displaystyle a_n=\frac{a}{n}\quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n}\displaystyle \quad & \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=a \quad (\textrm{gdzie } a\in\mathbb{R}) \\ \displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n}\quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \bigg\{\frac{a_n}{b_n}\bigg\} \quad \textrm{nie ma granicy} \end{array} \)

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty \quad & \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \\ \displaystyle a_n=n^2 \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty \\ \displaystyle a_n=an \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=a \quad (\textrm{gdzie} a\in\mathbb{R}) \\ \displaystyle a_n=n+\frac{(-1)^nn}{2} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \bigg\{\frac{a_n}{b_n}\bigg\}\quad \textrm{nie ma granicy} \end{array} \)

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=1 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty \quad & \displaystyle 1^{\infty} \\ \displaystyle a_n=1+\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=+\infty \\ \displaystyle a_n=1 \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=1 \\ \displaystyle a_n=1+\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=e \\ \displaystyle a_n=1+\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n\ln a \quad & \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=a \quad (\textrm{gdzie } a>1) \\ \displaystyle a_n=1+\frac{(-1)^n}{n} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \{a_n^{b_n}\} \quad \textrm{ nie ma granicy} \end{array} \)

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=\infty \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0 \quad & \displaystyle \infty^0 \\ \displaystyle a_n=2^{n^2} \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=+\infty \\ \displaystyle a_n=n \quad & \displaystyle b_n=0 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=1 \\ \displaystyle a_n=\frac{1}{a^n} \quad & \displaystyle b_n=\frac{-1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=a \quad (\textrm{gdzie } a\in(0,1)) \\ \displaystyle a_n=a^n \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}= a \quad (\textrm{gdzie } a>1) \\ \displaystyle a_n=(3+(-1)^n)^n \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \{a_n^{b_n}\} \quad \textrm{nie ma granicy} \end{array} \)

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0 \quad & \displaystyle 0^0 \\ \displaystyle a_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=1 \\ \displaystyle a_n=0 \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=0 \\ \displaystyle a_n=a^n \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}= a \quad (\textrm{gdzie } a\in (0,1)) \end{array} \)

Granice specjalne

Granice specjalne

W następnym lemacie podamy pewne nierówności liczbowe przydatne w następnym twierdzeniu.

Lemat 5.7.

Zachodzą następujące nierówności liczbowe:
(1) \( \displaystyle\forall x\ge 0:\ \sin x\le x, \)
(2) \( \displaystyle \forall 0 < |x| < \frac{\pi}{2}:\ \bigg|\frac{\sin x}{x}-1\bigg| < x^2. \)

wykres

Dowód 5.7. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Wobec rysunku znajdującego się obok mamy następujące nierówności między polami:

\( P_{\triangle OAB} \ < \ P_{⊲ OAB} \ < \ P_{\triangle OAC}, \)
gdzie:
\( P_{\triangle OAB} \) oznacza pole trójkąta \( OAB, \)
\( P_{⊲ OAB} \) oznacza pole wycinka koła \( OAB, \)
\( P_{\triangle OAC} \) oznacza pole trójkąta \( OAC. \)

Podstawiając wzory na poszczególne pola, dostajemy:

\( \frac{1\cdot \sin x}{2} \ < \ \frac{x}{2\pi}\cdot\pi \ < \ \frac{1\cdot\mathrm{tg}\, x}{2}. \)

Zatem

\( \sin x \ < \ x \ < \ \mathrm{tg}\, x \quad\textrm{dla}\ 0 < x < \frac{\pi}{2}. \)

Zatem dla \( \displaystyle x\in \bigg(0,\frac{\pi}{2}\bigg) \) nierówność (1) jest udowodniona. Zauważmy, że dla \( x=0 \) zachodzi równość, natomiast dla \( x>1 \) nierówność jest oczywista, gdyż \( \displaystyle\sin x\le 1 < x. \) Zatem pokazaliśmy nierówność (1) dla dowolnego \( x\ge 0. \)
(Ad (2)) Powróćmy raz jeszcze do wyprowadzonych w pierwszej części nierówności

\( \sin x \ < \ x \ < \ \mathrm{tg}\, x \quad\textrm{dla}\ 0 < x < \frac{\pi}{2}. \)

Pierwsza z powyższych nierówności implikuje, że

\( 0 \ \le\ 1-\frac{\sin x}{x}. \)

Druga z powyższych nierówności implikuje, że

\( x\cos x \ \le\ \frac{\sin x}{\cos x}\cos x \)

\( x\cos x\le \sin x \)

\( 1-\frac{\sin x}{x} \ \le\ 1-\cos x. \)

Zatem łącząc dwie otrzymane nierówności, dostajemy

\( 0 \ \le\ 1-\frac{\sin x}{x} \ \le\ 1-\cos x, \)

przy czym

\( 1-\cos x \ =\ 2\sin^2\frac{x}{2} \ < \ 2\bigg(\frac{x}{2}\bigg)^2 \ < \ x^2 \)

(gdzie wykorzystaliśmy udowodnioną już nierówność \( \displaystyle\sin x < x \)). Zatem ostatecznie

\( 0 \ \le\ 1-\frac{\sin x}{x} \ < \ x^2, \) skąd dostajemy dowodzoną nierówność

Podamy teraz granice pewnych funkcji specjalnych. Znajomość tych granic będzie przydatna do rozwiązywania zadań.

Twierdzenie 5.8. [Granice specjalne]

(1) \( \displaystyle\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} n^p= \{ \begin{array} {ll} +\infty & \quad p>0, \\ 1 & \quad p=0, \\ 0 & \quad p < 0; \end{array} . \)

(2) jeśli \( a>1 \) oraz \( \displaystyle\alpha\ge 0, \) to \( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{n^{\alpha}}{a^n}=0 \);

Wykres ciągu \( \bigg\{\frac{1}{\sqrt{n}}\bigg\} \)

Wykres ciągu \( \bigg\{\frac{\sqrt{n}}{2^n}\bigg\} \)

(3) jeśli \( a\in\mathbb{R} \) to \( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a^n}{n!}=0 \);

(4) jeśli \( a>0, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt[n]{a}=1 \);

Wykres ciągu \( \bigg\{\frac{2^n}{n!}\bigg\} \)

Wykres ciągu \( \{\sqrt[n]{2}\} \)

(5) \( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt[n]{n}=1 \);

(6) jeśli \( a>0, \) to \( \displaystyle\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a^n=\left \{ \begin{array} {ll} \textrm{nie\ istnieje} & \quad a\le -1, \\ 0 & \quad |a| < 1, \\ 1 & \quad a=1, \\ +\infty & \quad a>1. \end{array} . \right . \)

Wykres ciągu \( \{\sqrt[n]{n}\} \)

Wykres ciągu \( \bigg\{\frac{1}{2^n}\bigg\} \)

(7) \( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1 \).

(8)

\( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{\sin x_n}{x_n}=1, \) gdzie \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}\setminus\{0\} \) jest dowolnym ciągiem takim, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=0. \)

Wykres ciągu \( \{2^n\} \)

Wykres ciągu \( \bigg\{\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\bigg\} \)

Dowód 5.8. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Gdy \( p>0, \) to mamy do czynienia z symbolem \( \displaystyle\infty^p \) (z \( p>0 \)). Z twierdzenia 5.4. (11) wynika, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} n^p=+\infty. \)

Gdy \( p=0, \) to ciąg jest stały oraz \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} n^0=\lim\limits_{n \to +\infty} 1=1. \)

Gdy \( p < 0, \) to mamy do czynienia z symbolem \( \displaystyle\infty^p \) (z \( p < 0 \)). Z twierdzenia 5.4. (10) wynika, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} n^p=0. \)
(Ad (2)) Niech \( \displaystyle c_n=\frac{n^{\alpha}}{a^n} \) dla \( n\in\mathbb{N}. \) Liczymy

\( \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{c_{n+1}}{c_n} \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{(n+1)^{\alpha}a^n}{a^{n+1}n^{\alpha}} \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty} \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{\alpha}\cdot\frac{1}{a} \ =\ \frac{1}{a}. \)

Ponieważ \( a>1, \) więc \( \displaystyle \frac{1}{a} < 1. \) Korzystając z twierdzenia 5.3., wnioskujemy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} c_n=0. \)
(Ad (3)) Na początku policzmy granicę ciągu \( \displaystyle\{c_n\}, \) gdzie \( \displaystyle c_n=\bigg|\frac{a^n}{n!}\bigg| \) (gdzie \( a\in\mathbb{R} \)). Policzmy

\( \frac{c_{n+1}}{c_n} \ =\ \frac{|a|}{n+1} \ =\ |a|\cdot\frac{1}{n+1}. \)

Z (1) wiemy, że ostatni ciąg dąży do \( 0, \) zatem \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}=0. \) Korzystając z Twierdzenia twierdzenia 5.3., wnioskujemy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} c_n=0. \) Z kolei korzystając z twierdzenia 4.9. (7), wnioskujemy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a^n}{n!}=0. \)
(Ad (4)) Przypadek \( 1^o. \) Gdy \( 0 < a\le 1. \)

Wówczas \( \displaystyle\{\sqrt[n]{a}\} \) jest ciągiem niemalejącym i ograniczonym, zatem zbieżnym (z twierdzenia 4.15.) oraz

\( g \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a} \ =\ \sup_{n\in\mathbb{N}}\sqrt[n]{a} \ \le\ 1 \)

(patrz twierdzenie 4.14.). Zatem \( \displaystyle\sqrt[n]{a}\le g, \) a więc

\( \forall n\in\mathbb{N}:\ a\le g^n. \)

Pokażemy, że \( g=1. \) Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że \( g < 1. \) Wówczas przechodząc do granicy w powyższej nierówności dostajemy

\( a \ \le\ \lim\limits_{n \to +\infty} g^n \ =\ 0, \)

sprzeczność z założeniem, że \( a>0. \) Zatem \( g=1 \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a}=1. \)
Przypadek \( 1^o. \) Gdy \( a>1. \)

Wówczas \( \displaystyle 0 < \frac{1}{a} < 1, \) więc z udowodnionej już części dostajemy, że

\( \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{a}} \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{a}} \ =\ 1, \) skąd wynika, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a}=1. \)

(Ad (5)) Ustalmy dowolny \( \displaystyle\varepsilon>0. \) Oznaczmy \( \displaystyle\eta\ \stackrel{df}{=}\ \sqrt{1+\varepsilon}>1. \) Ponieważ

\( \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{n+1}{n} \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty} \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg) \ =\ 1, \)

zatem

\( \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ \frac{n+1}{n} < \eta. \)

Korzystając z (4), wiemy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt[n]{N_1}=1, \) zatem

\( \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall N\ge N_2:\ \sqrt[n]{N_1} < \eta. \)

Niech \( N\ \stackrel{df}{=}\ \max\{N_1,N_2\}. \) Wówczas dla dowolnego \( n\ge N \) mamy

\( 1 \ \le\ \sqrt[n]{n} \ =\ \sqrt[n]{N_1}\sqrt[n]{\frac{N_1+1}{N_1}\cdot\frac{N_1+2}{N_1+1}\cdot\ldots\cdot\frac{n}{n-1}} \ < \ \eta\cdot\sqrt[n]{\eta^{n-N_1}} \ < \ \eta^2 \ =\ 1+\varepsilon, \)

czyli

\( \forall n\ge N:\ |\sqrt[n]{n}-1| \ < \ \varepsilon. \)

Ponieważ \( \displaystyle\varepsilon>0 \) było dowolne, więc pokazaliśmy, że

\( \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |\sqrt[n]{n}-1| \ < \ \varepsilon, \)

zatem \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt[n]{n}=1. \)

(Ad (6)) Gdy \( |a| < 1, \) to mamy znany nam ciąg geometryczny zbieżny do zera (patrz przykład 3.22.).

Gdy \( a=1, \) to ciąg \( \displaystyle\{1^n\} \) jest ciągiem stałym, którego wszystkie wartości wynoszą \( 1, \) zatem \( \displaystyle\lim\limits_{n \to + \infty} a^n=1. \)

Gdy \( a>1, \) to dla dowolnej liczby \( M>0, \) ustalając \( N>log_aM \) dla każdego \( n\ge N, \) mamy

\( a^n \ \ge\ a^N \ \ge\ a^{\log_aM} \ =\ M, \) zatem pokazaliśmy, że

\( \forall M>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a^n\ge M, \)

co oznacza, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a^n=+\infty. \)

Gdy \( a\le -1, \) to zauważmy, że \( a^{2k}\ge 1 \) oraz \( a^{2k-1}\le -1 \) (dla dowolnego \( k\in\mathbb{N} \)). Zatem ciąg \( \displaystyle\{a^n\} \) nie ma granicy (ani właściwej ani niewłaściwej).

(Ad (7)) Wykorzystamy tu temat 5.7. Podstawiając \( x=\frac{1}{n} \) w nierówności z lematu, mamy

\( \forall n\in\mathbb{N}:\ \bigg|\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}-1\bigg| \ < \ \frac{1}{n^2}. \) Ponieważ \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2}=0, \) więc korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach, mamy

\( \lim\limits_{n \to +\infty} \bigg(\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}-1\bigg) \ =\ 0, \) a zatem

\( \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \ =\ 1, \) co należało dowieść.

(Ad (8)) Ponieważ \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=0, \) więc od pewnego miejsca wyrazy ciągu \( \displaystyle\{x_n\} \) są w przedziale \( \displaystyle \bigg(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg), \) to znaczy

\( \exists N\in\mathbb{N}:\ x_n\in \bigg(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg)\setminus\{0\}. \)

Z tematu 5.7 wnioskujemy zatem, że

\( \forall n\ge N:\ \bigg|\frac{\sin x_n}{x_n}-1\bigg| \ < \ x_n^2. \)

Ponieważ mamy \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n^2=0, \) więc korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach, mamy

\( \lim\limits_{n \to +\infty} \bigg(\frac{\sin x_n}{x_n}-1\bigg) \ =\ 0, \)

a zatem

\( \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\sin x_n}{x_n} \ =\ 1, \)

co należało dowieść.

Granica górna i granica dolna

Granica górna i granica dolna

wykres

Jak już wiemy nie wszystkie ciągi mają granicę. Na przykład ciągi \( a_n=(-1)^n \) i \( b_n=(-1)^nn \) nie mają granic nawet niewłaściwych. Zauważmy jednak, że z tych ciągów można wybrać podciągi, które mają granice (właściwe lub niewłaściwe) (na przykład \( \{a_{2n}\} \) i \( \{b_{2n}\} \)).

Co więcej, z poprzedniego wykładu (patrz wniosek 4.18.) wiemy, że z każdego ciągu liczbowego można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą). Takie \( a\in\overline{\mathbb{R}} \), które są granicami jakichś podciągów danego ciągu będziemy nazywać punktami skupienia wyjściowego ciągu.

Postawmy następującą definicję. Definicja 5.9.

Niech \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) będzie ciągiem.
(1) Mówimy, że \( a\in\overline{\mathbb{R}} \) jest punktem skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\}, \) jeśli istnieje podciąg \( \displaystyle\{a_{n_k}\} \) taki, że \( \displaystyle\lim\limits_{k \to +\infty} a_{n_k}=a. \)
(2) Granicą dolną ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) nazywamy

\( \liminf\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \mathop{\underline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ \stackrel{df}{=}\ \inf S, \)

gdzie \( S\subseteq\overline{\mathbb{R}} \) jest zbiorem punktów skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\}. \)
(3) Granicą górną ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) nazywamy

\( \limsup\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \mathop{\overline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ \stackrel{df}{=}\ \sup S, \)

gdzie \( S\subseteq\overline{\mathbb{R}} \) jest zbiorem punktów skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\}. \)

wykres

{{przyklad|5.10.||

Obliczyć granicę dolną i górną dla ciągu \( \displaystyle\{a_n\}, \) gdzie \( \displaystyle a_n=(2+(-1)^n)n\sin\frac{1}{n}. \)

Ponieważ \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} n\sin\frac{1}{n}=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1 \) (patrz twierdzenie 5.8. (7)), \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_{2n}=3 \) oraz \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_{2n+1}=1, \) zatem jedynymi punktami skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) są liczby \( 1 \) i \( 3. \) Zatem

\( \mathop{\underline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ 1, \qquad \mathop{\overline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ 3. \)

Dla ciągów zbieżnych zarówno granica górna jak i granica dolna są równe granicy. Okazuje się, że jest również na odwrót, to znaczy, jeśli policzymy granicę dolną i granicę górną i okaże się, że są sobie równe, to ten ciąg jest zbieżny. Dokładniej, zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 5.11.

Jeśli \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest ciągiem liczbowym, to \( \displaystyle\{a_n\} \) ma granicę \( g\in\overline{\mathbb{R}} \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle\liminf\limits_{n \to +\infty} a_n=\limsup\limits_{n \to +\infty} a_n=g. \)

Dowód 5.11. [nadobowiązkowy]

Niech \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) będzie ciągiem liczbowym.
"\( \displaystyle\Longrightarrow \)":
Jeśli \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=g\in\overline{\mathbb{R}}, \) to dla dowolnego podciągu \( \displaystyle\big\{a_{n_k}\big\} \) ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) także \( \displaystyle\lim\limits_{k \to +\infty} a_{n_k}=g \) (patrz twierdzenie 3.25.). Zatem jedynym punktem skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\} \) jest \( g \) oraz

\( \mathop{\underline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ \mathop{\overline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ g, \) co należało pokazać.
"\( \displaystyle\Longleftarrow \)":
Załóżmy teraz, że \( \displaystyle\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n=\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n \to +\infty} a_n=g\in\overline{\mathbb{R}}. \) Oznacza to w szczególności, że \( g \) jest jedynym punktem skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\}. \)
Przypadek \( 1^o. \) Załóżmy, że \( g\in\mathbb{R}. \)
Należy pokazać, że

\( \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon). \)

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

\( \exists \varepsilon>0\ \forall N\in\mathbb{N}\ \exists n\ge N:\ a_n\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon). \)

Możemy wówczas skonstruować podciąg \( \displaystyle\big\{a_{n_k}\big\} \) ciągu \( \displaystyle\{a_n\}, \) którego elementy nie leżą w przedziale \( \displaystyle (g-\varepsilon,g+\varepsilon), \) w następujący sposób:

\( \begin{align*} \exists n_1\ge 1 & & a_{n_1}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon), \\ \exists n_2> n_1 & & a_{n_2}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon), \\ \exists n_3> n_2 & & a_{n_3}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon), \\ \ldots & & \end{align*} \)

Z Wniosku 4.18. wiemy, że z tego ciągu można wybrać podciąg mający granicę \( \displaystyle\overline{g} \) (właściwą lub niewłaściwą). Oczywiście \( \displaystyle\overline{g}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon) \), czyli \( \displaystyle\overline{g}\ne g. \) Zatem otrzymaliśmy sprzeczność z faktem, że \( g \) jest jedynym punktem skupienia ciągu \( \displaystyle\{a_n\}. \)

Przypadek \( 2^o \) i \( 3^o. \) Załóżmy, że \( g=+\infty \) lub \( g=-\infty. \)
Dowód w tych dwóch przypadkach jest podobny do dowodu przypadku \( 1^o \) i pozostawiamy go jako ćwiczenie.