Analogicznie do twierdzeń o "arytmetyce" granic (twierdzenie 4.9.), można sformułować cały szereg twierdzeń dotyczący "arytmetyki" granic niewłaściwych. Poniższe twierdzenie zbiera informacje dotyczące granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów, gdy przynajmniej jeden z ciągów ma granicę niewłaściwą. Podamy dowód jednego z poniższych punktów. Pozostałe dowody można zrobić analogicznie.
Twierdzenie 5.4. [O "arytmetyce" granic niewłaściwych]
(1) \( a+\infty=+\infty, \) dla \( -\infty < a\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty, \) gdzie \( -\infty < a\le+\infty, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}(a_n+b_n)=+\infty. \)
(2) \( a-\infty=-\infty \) dla \( -\infty\le a < +\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty, \) gdzie \( -\infty\le a < +\infty, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}(a_n-b_n)=-\infty. \)
(3) \( a\cdot(\pm\infty)=\pm\infty \) dla \( 0 < a\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=\pm\infty, \) gdzie \( 0 < a\le+\infty, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}(a_n\cdot b_n)=\pm\infty. \)
(4) \( a\cdot(\pm\infty)=\mp\infty \) dla \( -\infty\le a < 0, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=\pm\infty, \) gdzie \( -\infty\le a < 0, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}(a_n\cdot b_n)=\mp\infty. \)
(5) \( \displaystyle\frac{a}{\pm\infty}=0 \) dla \( a\in\mathbb{R}, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a\in\mathbb{R} \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=\pm\infty \) oraz \( b_n\ne 0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=0. \)
(6a) \( \displaystyle\frac{a}{0^+}=+\infty \) dla \( 0 < a\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0, \) gdzie \( 0 < a\le+\infty \) oraz \( b_n>0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty. \)
(6b) \( \displaystyle\frac{a}{0^-}=-\infty \) dla \( 0 < a\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0, \) gdzie \( 0 < a\le+\infty \) oraz \( b_n < 0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty. \)
(7a) \( \displaystyle\frac{a}{0^+}=-\infty \) dla \( -\infty\le a < 0, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0, \) gdzie \( -\infty\le a < 0 \) oraz \( b_n>0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty. \)
(7b) \( \displaystyle\frac{a}{0^-}=+\infty \) dla \( -\infty\le a < 0, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0, \) gdzie \( -\infty\le a < 0 \) oraz \( b_n < 0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty. \)
(8a) \( a^{+\infty}=0 \) dla \( 0^+\le a < 1, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty, \) gdzie \( 0\le a < 1 \) oraz \( a_n>0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=0. \)
(8b) \( a^{-\infty}=+\infty \) dla \( 0^+\le a < 1, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=-\infty, \) gdzie \( 0\le a < 1 \) oraz \( a_n>0 \) dla \( n\in\mathbb{N}, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=+\infty. \)
(9a) \( a^{-\infty}=0 \) dla \( 1 < a\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=-\infty, \) gdzie \( 1 < a\le+\infty, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=0. \)
(9b) \( a^{+\infty}=+\infty \) dla \( 1 < a\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty, \) gdzie \( 1 < a\le+\infty, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=+\infty. \)
(10) \( \displaystyle\infty^b=0 \) dla \( -\infty\le b < 0, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=b, \) gdzie \( -\infty\le b < 0, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=0. \)
(11) \( \displaystyle\infty^b=+\infty \) dla \( 0 < b\le+\infty, \) to znaczy
jeśli \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) są ciągami liczbowymi takimi, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty \) i \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=b, \) gdzie \( 0 < b\le+\infty, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=+\infty. \)
Dowód 5.4.(Ad (1)) Załóżmy, że
\( \lim\limits_{n \to +\infty} a_n \ =\ a,\quad \lim\limits_{n \to +\infty} b_n \ =\ b,\quad -\infty < a\le +\infty. \)
Ustalmy dowolne \( M\in\mathbb{R}. \) Ponieważ \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) (gdzie \( -\infty < a\le +\infty \)), więc ciąg \( \displaystyle\{a_n\} \) jest ograniczony od dołu, to znaczy
\( \exists \overline{M}\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\ge \overline{M}. \)
Ponieważ \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty, \) więc
\( \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ b_n\ge M-\overline{M}. \)
Zatem dla dowolnego \( n\ge N \) mamy
\( a_n+b_n \ \ge\ \overline{M}+(M-\overline{M}) \ =\ M. \) Ponieważ \( M\in\mathbb{R} \) było wybrane dowolnie, więc pokazaliśmy, że
\( \forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n+b_n\ge M, \)
zatem udowodniliśmy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} (a_n+b_n)=+\infty. \)
Uwaga 5.5. [Symbole nieoznaczone]
Dla pewnych działań na ciągach nie można z góry przewidzieć, jaka jest granica "wynikowa" mimo, że znane są granice poszczególnych ciągów. Dla przykładu rozważmy dwa ciągi \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\} \) rozbieżne do \( +\infty \) i zbadajmy ich różnicę \( \displaystyle\{a_n-b_n\}. \) Okazuje się, że w zależności od konkretnych ciągów \( \displaystyle\{a_n\} \) i \( \displaystyle\{b_n\}, \) ich różnica może mieć granicę właściwą lub niewłaściwą lub nie mieć granicy. Mówimy wówczas, że \( \displaystyle\infty-\infty \) jest symbolem nieoznaczonym. Oznacza to w szczególności, że dla takiego symbolu nie możemy sformułować twierdzenia analogicznego do twierdzenia 5.4.
Mamy siedem takich symboli nieoznaczonych:
\( \infty-\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \frac{0}{0},\quad \frac{\infty}{\infty},\quad 1^{\infty},\quad \infty^0,\quad 0^0. \)
Przykład 5.6.
Dla każdego z powyższych symboli nieoznaczonych podamy przykłady ciągów mających granicę, dających w wyniku wykonania wskazanych działań ciągi o różnych granicach \( g\in\overline{\mathbb{R}} \) lub bez granicy.
\( \begin{array}{lll}\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}b_n=+\infty \quad & \displaystyle\infty-\infty \\ \displaystyle a_n=n^2 \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n-b_n)=0 \\ \displaystyle a_n=n^2 \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n-b_n)=+\infty \\ \displaystyle a_n=n \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n-b_n)=-\infty \\ \displaystyle a_n=n \quad & \displaystyle b_n=(n-a)\quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n-b_n)=a \quad (\textrm{gdzie } a\in\mathbb{R}) \\ \displaystyle a_n=n+(-1)^n \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \{a_n-b_n\} \quad \textrm{nie ma granicy} \end{array} \)
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0 & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty\ & \displaystyle 0\cdot\infty \\ \displaystyle a_n=\frac{-1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n\cdot b_n)=-\infty \\ \displaystyle a_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n\cdot b_n)=+\infty \\ \displaystyle a_n=\frac{a}{n} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}(a_n\cdot b_n)=a \quad(\textrm{gdzie } a\in\mathbb{R}) \\ \displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \{a_n\cdot b_n\} \quad \textrm{nie ma granicy} \end{array} \)
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0 \quad & \displaystyle \frac{0}{0} \\ \displaystyle a_n=\frac{-1}{n}\quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n^2}\quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty \\ \displaystyle a_n=\frac{1}{n}\quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n^2}\quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty \\ \displaystyle a_n=\frac{a}{n}\quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n}\displaystyle \quad & \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=a \quad (\textrm{gdzie } a\in\mathbb{R}) \\ \displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n}\quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \bigg\{\frac{a_n}{b_n}\bigg\} \quad \textrm{nie ma granicy} \end{array} \)
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty \quad & \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \\ \displaystyle a_n=n^2 \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty \\ \displaystyle a_n=an \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=a \quad (\textrm{gdzie} a\in\mathbb{R}) \\ \displaystyle a_n=n+\frac{(-1)^nn}{2} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \bigg\{\frac{a_n}{b_n}\bigg\}\quad \textrm{nie ma granicy} \end{array} \)
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=1 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} b_n=+\infty \quad & \displaystyle 1^{\infty} \\ \displaystyle a_n=1+\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=+\infty \\ \displaystyle a_n=1 \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=1 \\ \displaystyle a_n=1+\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=e \\ \displaystyle a_n=1+\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n\ln a \quad & \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=a \quad (\textrm{gdzie } a>1) \\ \displaystyle a_n=1+\frac{(-1)^n}{n} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \{a_n^{b_n}\} \quad \textrm{ nie ma granicy} \end{array} \)
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=\infty \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0 \quad & \displaystyle \infty^0 \\ \displaystyle a_n=2^{n^2} \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=+\infty \\ \displaystyle a_n=n \quad & \displaystyle b_n=0 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=1 \\ \displaystyle a_n=\frac{1}{a^n} \quad & \displaystyle b_n=\frac{-1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=a \quad (\textrm{gdzie } a\in(0,1)) \\ \displaystyle a_n=a^n \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}= a \quad (\textrm{gdzie } a>1) \\ \displaystyle a_n=(3+(-1)^n)^n \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \{a_n^{b_n}\} \quad \textrm{nie ma granicy} \end{array} \)
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0 \quad & \displaystyle 0^0 \\ \displaystyle a_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=1 \\ \displaystyle a_n=0 \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}=0 \\ \displaystyle a_n=a^n \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n^{b_n}= a \quad (\textrm{gdzie } a\in (0,1)) \end{array} \)