Przypomnijmy powszechnie stosowane oznaczenia zbiorów liczbowych.
Zbiór \( \displaystyle \mathbb{N}=\{1, 2, 3, \ldots \} \) nazywamy zbiorem liczb naturalnych lub zbiorem liczb całkowitych dodatnich.
Zbiór \( \displaystyle \mathbb{N}_0 =\{0, 1, 2, 3, \ldots \}=\mathbb{N}\cup \{0\} \) nazywamy zbiorem liczb całkowitych nieujemnych. Wielu nazywa ten zbiór także zbiorem liczb naturalnych. Na ogół nie prowadzi to do nieporozumień.
Z kolei zbiór \( \displaystyle \mathbb{Z}=\{\ldots , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\} \) nazywamy zbiorem liczb całkowitych.
Zbiór \( \displaystyle \mathbb{Q}=\bigg\{\frac{p}{q} : p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}\bigg\}\), czyli zbiór ułamków o całkowitym liczniku i naturalnym mianowniku, nazywamy zbiorem liczb wymiernych.
Literą \( \displaystyle \mathbb{R} \) będziemy oznaczać zbiór liczb rzeczywistych, a literą \( \displaystyle \mathbb{C} \) - zbiór liczb zespolonych.
DEFINICJA 1.2.
Niech \( \displaystyle a \), \( \displaystyle b \) będą dowolnymi elementami zbioru \( \displaystyle \overline{\mathbb{R}} \). Jeśli \( \displaystyle a < b, \) to każdy ze zbiorów:
\( \begin{array}{rll} \displaystyle [a, b] & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}}:a\leq x\leq b\} \\ (a, b) & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}}:a < x < b \} \\ [a, b) & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}}:a \leq x < b \} \\ (a, b] & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}}:a < x\leq b \} \end{array} \)
nazywamy przedziałem o końcach \( \displaystyle a \), \( \displaystyle b \), przedziałem - odpowiednio - domkniętym, otwartym, lewostronnie domkniętym, prawostronnie domkniętym.
Niech \( \displaystyle A \) będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru \( \displaystyle \overline{\mathbb{R}} \).
DEFINICJA 1.3.
Ograniczeniem górnym zbioru \( \displaystyle A \) nazywamy dowolny element zbioru \( \displaystyle \overline{\mathbb{R}} \) nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru \( \displaystyle A \).
DEFINICJA 1.4.
Ograniczeniem dolnym zbioru \( \displaystyle A \) nazywamy dowolny element zbioru \( \displaystyle \overline{\mathbb{R}} \) nie większy od dowolnego elementu zbioru \( \displaystyle A \).
DEFINICJA 1.5.
Najmniejsze ograniczenie górne zbioru \( \displaystyle A\subset \overline{\mathbb{R}} \) nazywamy kresem górnym zbioru \( \displaystyle A \) (lub: supremum zbioru \( \displaystyle A \)) i oznaczamy symbolem \( \displaystyle \sup A \).
DEFINICJA 1.6.
Największe ograniczenie dolne zbioru \( \displaystyle A\subset \overline{\mathbb{R}} \) nazywamy kresem dolnym zbioru \( \displaystyle A \) (lub: infimum zbioru \( \displaystyle A \)) i oznaczamy symbolem \( \displaystyle \inf A \).
DEFINICJA 1.7.
Ciąg o wyrazach \( \displaystyle a_n=a_0 +n r, \) gdzie \( \displaystyle n=0, 1, 2, 3, \ldots \) nazywamy ciągiem arytmetycznym opoczątkowym wyrazie \( \displaystyle a_0 \) i różnicy \( \displaystyle r. \)
DEFINICJA 1.8.
Niech \( \displaystyle a_0\neq 0 \) i \( \displaystyle q\neq 0. \) Ciąg o wyrazach \( \displaystyle a_n=a_0q^n \), gdzie \( \displaystyle n=0, 1, 2, 3, ... \) nazwyamy ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie \( a_0 \) i ilorazie \( q \).
Przypomnijmy, że
Uwaga 1.9.
Jeśli \( \displaystyle a_n \) jest ciągiem arytmetycznym o początkowym wyrazie \( \displaystyle a_0 \) i różnicy \( \displaystyle r \), to
\( \displaystyle a_0 +a_1 +a_2 +\ldots+a_n=\frac{n+1}{2}(a_0+a_n ) \ =\ \frac{n+1}{2}(2a_0+nr). \)
Uwaga 1.10.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \( \displaystyle q\neq 1 \) i dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n=1, 2, 3, \ldots \) zachodzi równość
\( \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n \ =\ \frac{1-q^{n+1}}{1-q}. \)
(Jeśli \( \displaystyle q=1 \), mamy oczywistą równość \( \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n=1+1+1+\ldots +1=n+1. \))
WNIOSEK 1.11.
Jeśli \( \displaystyle a_n \) jest ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie \( \displaystyle a_0 \) i ilorazie \( \displaystyle q\neq 1 \), to
\( \displaystyle a_0 +a_1 +a_2+\ldots +a_n \ =\ a_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}. \)
PRZYKŁAD 1.12.
Rozważmy zbiór \( \displaystyle S:=\{1+q+q^2+\ldots +q^n, n=1, 2,3, \ldots \} \) skończonych sum kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \( \displaystyle 1 \) i nieujemnym ilorazie \( \displaystyle q \). Zauważmy, że jeśli \( \displaystyle 0 \leq q < 1 \), to
\( \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n \ =\ \frac{1}{1-q}-\frac{q^{n+1}}{1-q} < \frac{1}{1-q}, \)
gdyż \( \displaystyle \frac{q^{n+1}}{1-q}>0 \). Stąd zarówno liczba \( \displaystyle \frac{1}{1-q} \) jak i każda liczba większa od niej są ograniczeniami górnymi zbioru \( \displaystyle S \). Najmniejszym z ograniczeń górnych zbioru \( \displaystyle S \) jest liczba \( \displaystyle \frac{1}{1-q} \), gdyż wartość ułamka \( \displaystyle \frac{q^{n+1}}{1-q} \) może być dowolnie mała i bliska zeru dla dużych liczb naturalnych \( \displaystyle n \). Jeśli natomiast iloraz \( \displaystyle q\geq 1 \), to jedynym ograniczeniem górnym każdej z sum \( \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n \geq 1+1+1+\ldots +1=n+1 \) jest plus nieskończoność. Wówczas też kresem górnym zbioru sum \( \displaystyle S \) jest plus nieskończoność.
Do rozważań dotyczących ciągów i nieskończonych sum składników (szeregów) powrócimy w kolejnych modułach.
Odnotujmy jednak jeszcze następującą uwagę.
Uwaga 1.13.
Jeśli \( \displaystyle |q| < 1 \), to suma nieskończenie wielu składników \( \displaystyle q^n \), \( \displaystyle n=0, 1, 2, 3,\ldots , \) jest równa \( \displaystyle \frac{1}{1-q} \), co zapisujemy: \( \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n+\ldots=\frac{1}{1-q}. \)
PRZYKŁAD 1.14.
Już w szkole podstawowej dowiedzieliśmy się, że
\( \displaystyle 0,(3) \ =\ 0,33333\ldots \ =\ \frac{1}{3}. \)
Zwróćmy uwagę, że okresowe rozwinięcie dziesiętne \( \displaystyle 0,33333\ldots \) wyraża nieskończoną sumę składników
\( \begin{array}{lll} \displaystyle 0+\frac{3}{10^1}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\ldots & = & \displaystyle \frac{3}{10}\bigg(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\ldots\bigg) \\ & = & \displaystyle \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}} =\frac{1}{3}. \end{array} \)
PRZYKŁAD 1.15.
Przypomnijmy jeszcze szkolny sposób zamiany ułamka okresowego na iloraz dwóch liczb całkowitych. Rozważmy na przykład liczbę
\( \displaystyle a \ =\ 78,(1016)=78,10161016101610161016\ldots , \) która wyraża sumę nieskończonej liczby składników
\( \displaystyle a \ =\ 78+\frac{1016}{10^4}+\frac{1016}{10^8}+\frac{1016}{10^{12}}+\ldots. \) Zauważmy też, że różnica
\( \begin{array}{lll} \displaystyle 10000a -a & = & 781016,1016101610161016\ldots -78,1016101610161016\ldots \\ & = & 780938,0000000000000000\ldots \end{array} \)
jest liczbą całkowitą. Stąd \( \displaystyle a=\frac{780938}{9999} \) jest liczbą wymierną.
Rozumując, podobnie jak w powyższym przykładzie, można wykazać ogólnie, że
Uwaga 1.16.
Liczba rzeczywista jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy ma okresowe rozwinięcie dziesiętne.
PRZYKŁAD 1.17.
Liczba
\( \displaystyle 0,12345678910111213141516171819202122\ldots , \)
w której rozwinięciu dziesiętnym znajdują się kolejno cyfry wyrażające następujące po sobie liczby naturalne, nie jest wymierna, gdyż nie ma okresowego rozwinięcia dziesiętnego.
Niech \( \displaystyle A \) i \( \displaystyle B \) będą dowolnymi niepustymi zbiorami.
DEFINICJA 1.18.
Iloczynem kartezjańskim \( \displaystyle A\times B \) zbiorów \( \displaystyle A \) i \( \displaystyle B \) nazywamy zbiór par uporządkowanych \( \displaystyle (a,b) \) takich, że \( \displaystyle a\in A \) i \( \displaystyle b\in B \), tj. \( \displaystyle A\times B:=\{(a,b): a\in A,b\in B\}. \)
Przypomnijmy, że dowolny punkt w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych można jednoznacznie przedstawić za pomocą pary liczb rzeczywistych \( \displaystyle (x,y) \).
Niech \( \displaystyle r=\sqrt{x^2 +y^2} \) będzie odległością punktu \( \displaystyle (x,y) \) od początku układu współrzędnych. Jeśli \( \displaystyle r>0 \), niech \( \displaystyle \varphi \) będzie kątem (skierowanym), jaki tworzą dodatnia półoś osi odciętych (tj.dodatnia półoś osi \( \displaystyle OX \)) z promieniem wodzącym punktu \( \displaystyle (x,y) \). Równość \( \displaystyle r=0 \) jednoznacznie przedstawia początek układu współrzędnych, można przyjąć w tym przypadku, że \( \displaystyle \varphi \) jest dowolną liczbą.
Zauważmy, że \( \displaystyle x=r\cos\varphi \) oraz \( \displaystyle y=r\sin\varphi \).
DEFINICJA 1.19.
Parę liczb \( \displaystyle (r, \varphi) \), gdzie \( \displaystyle r\geq 0 \) oraz \( \displaystyle 0\leq \varphi < 2\pi \), nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu \( \displaystyle (x,y)=(r\cos\varphi, r\sin\varphi) \).
Uwaga 1.20.
Niech dane będą liczby rzeczywiste \( \displaystyle x \) oraz \( \displaystyle y \). Układ równań
\( \left\{\begin{array}{l l} x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi\\ \end{array} \right. \)
z niewiadomymi \( \displaystyle r \), \( \displaystyle \varphi \) spełnia dokładnie jeden promień \( \displaystyle r=\sqrt{x^2 +y^2} \) oraz nieskończona liczba różnych kątów postaci \( \displaystyle \varphi+2k\pi, \) gdzie \( \displaystyle \varphi \) jest kątem między dodatnią półosią odciętych a promieniem wodzącym punktu \( \displaystyle (x,y) \), zaś \( \displaystyle k \) jest dowolną liczbą całkowitą.
DEFINICJA 1.21.
W iloczynie kartezjańskim \( \displaystyle \mathbb{R}^2:=\mathbb{R}\times \mathbb{R} \) definiujemy sumę oraz iloczyn par \( \displaystyle z_1=(x_1 , y_1) \) oraz \( \displaystyle z_2=(x_2 , y_2) \) następująco
\( \displaystyle \begin{align*} z_1 + z_2 & =(x_1 +x_2 ,\ y_1 + y_2) \\ z_1 z_2 & =(x_1 x_2 -y_1 y_2,\ x_1 y_2 + x_2 y_1). \end{align*} \)
DEFINICJA 1.22.
Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy literą \( \displaystyle \mathbb{C}. \)
Uwaga 1.23.
a) Suma i iloczyn liczb zespolonych jest liczbą zespoloną.
b) Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami łącznymi i przemiennymi, tzn.
\( \displaystyle \begin{align*} z+w & = w+z \\ z w & = w z \\ z+(u+w) & = (z+u)+w \\ z(uw) & = (zu)w \end{align*} \)
dla dowolnych liczb zespolonych \( \displaystyle z, u, w. \)
c) Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.
\( \displaystyle z (u+w) \ =\ z u +z w \)
dla dowolnych liczb zespolonych \( \displaystyle z,u \) oraz \( \displaystyle w. \)
DEFINICJA 1.24.
Jeśli \( \displaystyle z=(x,y) \) jest liczbą zespoloną, to pierwszy element \( \displaystyle x \) pary \( \displaystyle (x,y) \) nazywamy częścią rzeczywistą liczby \( \displaystyle z \) i oznaczamy symbolem \( \displaystyle \Re z \) (lub \( \displaystyle \textrm{Re} z \)), a drugi element tej pary - częścią urojoną liczby \( \displaystyle z \) i oznaczamy \( \displaystyle \Im z \) (lub \( \displaystyle \textrm{Im} z \)).
Zauważmy, że każdej liczbie zespolonej \( \displaystyle z \) odpowiada dokładnie jeden punkt \( \displaystyle (\Re z, \Im z) \) w prostokątnym układzie współrzędnych. Tradycyjnie mówimy więc o płaszczyźnie zespolonej \( \displaystyle \mathbb{C}. \) Oś odciętych na płaszczyźnie \( \displaystyle \mathbb{C} \) nazywamy osią rzeczywistą, a oś rzędnych osią urojoną.
DEFINICJA 1.25.
Jednostką urojoną nazywamy liczbę zespoloną \( \displaystyle i=(0,1) \).
Uwaga 1.26.
a) Każdą liczbę zespoloną \( \displaystyle z \) można zapisać w postaci sumy \( \displaystyle z=\Re z + \Im z i. \)
b) Kwadrat jednostki urojonej wynosi \( \displaystyle -1 \), gdyż \( \displaystyle i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1+0i=-1. \)
c) Jeśli \( \displaystyle z_1=x_1 + y_1 i \) oraz \( \displaystyle z_2=x_2+ y_2 i \), to sumę i iloczyn liczb \( \displaystyle z_1, z_2 \) możemy wyznaczyć tak, jak zwykliśmy przekształcać wyrażenia algebraiczne, traktując jednostkę urojoną \( \displaystyle i \) jak parametr i pamiętać, że \( \displaystyle i^2=-1 \). Mamy więc
\( \displaystyle \begin{align*} z_1+z_2 & =(x_1 + y_1 i)+( x_2+ y_2 i) \\ & =(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i \\ & =(x_1+x_2,\ y_1+y_2) \end{align*} \)
oraz
\( \displaystyle \begin{align*} z_1 z_2 & =(x_1 + y_1 i)( x_2+ y_2 i) \\ & =x_1 x_2+(x_1 y_2 +x_2 y_1)i +y_1 y_2 i^2 \\ & =(x_1 x_2 - y_1 y_2)+ (x_1y_2 +x_2 y_1)i \\ & =( x_1 x_2 - y_1 y_2, \ x_1 y_2 +x_2y_1).\end{align*} \)
Uwaga 1.27.
Dowolną liczbę zespoloną \( \displaystyle z=x+i y \) możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej \( \displaystyle z=r(\cos\varphi, \sin\varphi)=r(\cos \varphi +i\sin\varphi) \), gdzie \( \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2} \), a \( \displaystyle \varphi \) jest dowolnym kątem takim, że
\(\left\{\begin{array}{l l} x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi\\ \end{array} \right.\)
Wiemy, że kątów takich jest nieskończenie wiele.
Liczba zespolona \( z \) oraz jej sprzeżenie \( \overline{z} \)
DEFINICJA 1.28.
Jeśli \( \displaystyle z=x+i y=r(\cos\varphi+i \sin\varphi) \), to liczbę \( \displaystyle r:= \sqrt{x^2+y^2} \) nazywamy modułem liczby zespolonej \( \displaystyle z \) i oznaczamy \( \displaystyle |z| \), a każdy z kątów \( \displaystyle \varphi \) takich, że zachodzą równości \( \displaystyle x=r\cos\varphi=r\sin\varphi \), nazywamy argumentem liczby \( \displaystyle z \) i oznaczamy \( \displaystyle \textrm{arg} z \). Najmniejszy nieujemny argument liczby zespolonej \( \displaystyle z \) nazywamy argumentem głównym tej liczby i oznaczamy \( \displaystyle \textrm{Arg} z \).
Wyrażenie \( \displaystyle \cos\varphi+ i \sin\varphi \) będziemy
krótko notować w postaci wykładniczej \( \displaystyle e^{i\varphi} \) lub \( \displaystyle \exp (i\varphi), \) pomijając na razie zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji.
Odtąd liczbę zespoloną o module \( \displaystyle r \) i argumencie \( \displaystyle \varphi \) będziemy zapisywać w postaci trygonometrycznej \( \displaystyle z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) \) lub wykładniczej \( \displaystyle z=re^{i\varphi}. \)
DEFINICJA 1.29.
Sprzężeniem liczby zespolonej \( \displaystyle z=x+iy \) nazywamy liczbę \( \displaystyle \overline{z}=x-iy \).
Uwaga 1.30.
a) Liczba \( \displaystyle \bar z =x-iy \) jest obrazem liczby \( \displaystyle z =x+iy \) w symetrii względem osi rzeczywistej.
b) Dla dowolnej liczby \( \displaystyle z \) zachodzi równość: \( \displaystyle z\bar z=|z|^2. \)
c) Jeśli \( \displaystyle z=re^{i\varphi}, \) to \( \displaystyle \bar z=re^{i(-\varphi)}. \)
d) Jeśli \( \displaystyle z_1=r_1 e^{i\varphi_1} \) oraz \( \displaystyle z_2=r_2 e^{i\varphi_2}, \) to \( \displaystyle z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}, \) to znaczy moduł iloczynu liczb \( \displaystyle z_1, z_2 \) jest iloczynem modułów \( \displaystyle |z_1|=r_1 \) i \( \displaystyle |z_2|=r_2 \) tych liczb, a argument iloczynu liczb zespolonych jest sumą ich argumentów.
Dowód 1.30.
Uwagi a), b), c) wynikają bezpośrednio z definicji sprzężenia i interpretacji geometrycznej liczb zespolonych. Zauważmy, że
\( \displaystyle \begin{align*} r_1 e^{i\varphi_1} r_2 e^{i\varphi_2} & =r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1) r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2) \\ & =r_1 r_2[(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2)+i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2+\cos\varphi_1\sin\varphi_2)] \\ & = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) \\ & =r_1 r_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}.\end{align*} \)
Z punktu d) powyższej uwagi wynika następujące twierdzenie.
Twierdzenie 1.31. [wzór de Moivre'a]
Dla dowolnej liczby zespolonej \( \displaystyle z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) \) i dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n=1, 2, 3, \ldots \) zachodzi równość:
\( \displaystyle z^n \ =\ r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi), \)
którą można również wyrazić w postaci wykładniczej:
\( \displaystyle (re^{i\varphi})^n \ =\ r^n e^{i n \varphi}. \)
Zanotujmy jeszcze nastepujący
Wniosek 1.32.
Jeśli \( \displaystyle w=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\neq 0 \) jest dowolną liczbą zespoloną różną od zera, zaś \( \displaystyle n=1, 2, 3, \ldots \) -- dowolną liczbą naturalną, to równanie \( \displaystyle z^n=w \) spełnia dokładnie \( \displaystyle n \) liczb zespolonych \( \displaystyle z_0, z_1, z_2, \ldots , z_{n-1} \)
\( \displaystyle z_k \ =\ \root{k}\of{r}\bigg(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\bigg), \)
gdzie \( \displaystyle k\in\{0, 1, 2, \ldots , n-1\} \).
Dowód 1.32.
[Szkic] Korzystając ze wzoru de Moivre'a, stwierdzamy, że \( \displaystyle z_k ^n =w, \) a więc każda z liczb \( \displaystyle z_k \) spełnia dane równanie. Zauważmy ponadto, że gdybyśmy nie ograniczyli zakresu parametru \( \displaystyle k \) do zbioru liczb całkowitych nieujemnych od \( \displaystyle 0 \) do \( \displaystyle n-1 \), to i tak nie otrzymalibyśmy więcej pierwiastków danego równania, gdyż \( \displaystyle z_k=z_{k+n} \) ze względu na okresowość funkcji sinus i cosinus.
Uwaga 1.33
Każdy z pierwiastków równania \( \displaystyle z^n=w \) leży na okręgu o środku w punkcie \( \displaystyle 0 \) i promieniu \( \displaystyle \root{n}\of{|w|}. \) Argument pierwiastka \( \displaystyle z_0 \) jest
\( \displaystyle n \)-tą częścią argumentu liczby \( \displaystyle w \), a każdy kolejny pierwiastek ma argument o \( \displaystyle \frac{2\pi}{n} \) większy od poprzedniego, tzn.
\( \displaystyle \begin{align*} \textrm{Arg} z_0 & =\frac{1}{n}\textrm{Arg} w \\ \textrm{Arg} z_{k+1} & =\textrm{Arg} z_{k}+\frac{2\pi}{n}, \textrm{ dla } k=0,1,2,\ldots , n-2.\end{align*} \)
DEFINICJA 1.34.
Każdy z pierwiastków równania \( \displaystyle z^n=w \) nazywamy pierwiastkiem algebraicznym stopnia \( \displaystyle n \) z liczby \( \displaystyle w. \)
PRZYKŁAD 1.35.
Każda z liczb
\( \displaystyle \begin{align*} z_0 & = e^{i\frac{\pi}{4}} & = & \cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4} & = & +\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ z_1 & = e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2})} & = & \cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4} & = & -\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ z_2 & = e^{i(\frac{\pi}{4}+2\frac{\pi}{2})} & = & \cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4} & = & -\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ z_3 & = e^{i(\frac{\pi}{4}+3\frac{\pi}{2})} & = & \cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4} & = & +\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*} \)
jest pierwiastkiem równania \( \displaystyle z^4+1=0. \)
PRZYKŁAD 1.36.
Zastosujmy twierdzenie de Moivre'a do wyznaczenia sum
\( \displaystyle \begin{align*} 1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi \\ 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi.\end{align*} \)
Niech
\( \displaystyle z \ =\ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi. \)
Zauważmy, że - na mocy twierdzenia de Moivre'a - mamy
\( \displaystyle \Re z^k \ =\ \cos k \varphi \quad \ \) oraz \( \quad \Im z^k \ =\ \sin k \varphi \quad\ \) dla dowolnej liczby \( \ k=1, 2, 3,\ldots . \)
Stąd
\( \displaystyle \begin{align*} & 1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi & = & \Re(1+z+z^2+\ldots +z^n) \\ & 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi & = & \Im(1+z+z^2+\ldots +z^n). \end{align*} \)
Dla \( \displaystyle z=e^{i\varphi}\neq 0 \) mamy
\( \displaystyle \begin{align*} 1+z+z^2+\ldots +z^n & =\frac{z^{n+1}-1}{z-1} =\frac{e^{i(n+1)\varphi}-1}{e^{i\varphi}-1}= \frac{e^{i(n+1)\varphi}-1}{e^{i\varphi}-1}\cdot\frac{e^{-i\varphi}-1}{e^{-i\varphi}-1} \\ & =\frac{e^{in\varphi}-e^{i(n+1)\varphi}-e^{-i\varphi}+1}{2-e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}} \\ & =\frac{\cos n\varphi-\cos(n+1)\varphi-\cos\varphi+1}{2(1-\cos{\varphi})}+i\frac{\sin n\varphi-\sin(n+1)\varphi+\sin\varphi+0}{2(1-\cos{\varphi})}\end{align*} \)
Stąd - korzystając ze znanych wzorów na różnicę sinusów, odpowiednio: cosinusów - dostajemy
\( \displaystyle \begin{align*} 1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi & =\frac{\big(\cos n\varphi-\cos(n+1)\varphi\big)+(-\cos\varphi+1)}{2(1-\cos{\varphi})} \\ & =\frac{-2\sin\frac{2n\varphi+\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi-n\varphi-\varphi}{2}+2\sin^2\frac{\varphi}{2}}{4\sin^2\frac{\varphi}{2}} \\ & =\frac{\sin(n+\frac{1}{2})\varphi+\sin\frac{\varphi}{2}}{2\sin\frac{\varphi}{2}}, \textrm{ o ile } \sin\frac{\varphi}{2}\neq 0,\end{align*} \)
oraz
\( \displaystyle \begin{align*} 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi & =\frac{\big(\sin n\varphi-\sin(n+1)\varphi\big)+\sin\varphi}{2(1-\cos{\varphi})} \\ & =\frac{2\cos\frac{2n\varphi+\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi-n\varphi-\varphi}{2}+2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}}{4\sin^2\frac{\varphi}{2}} \\ & =\frac{-\cos(n+\frac{1}{2})\varphi+\cos\frac{\varphi}{2}}{2\sin\frac{\varphi}{2}}, \textrm{ o ile } \sin\frac{\varphi}{2}\neq 0.\end{align*} \)
Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej \( \displaystyle t \) zachodzi nierówność: \( \displaystyle |\cos t|\leq 1 \), \( \displaystyle |\sin t|\leq 1 \), więc
\( \displaystyle \begin{align*} & \Bigg|\sin(n+\frac{1}{2})\varphi+\sin\frac{\varphi}{2}\Bigg|\leq 2 \\ & \Bigg|\cos(n+\frac{1}{2})\varphi-\sin\frac{\varphi}{2}\Bigg|\leq 2. \end{align*} \)
Wykazaliśmy w ten sposób
Wniosek 1.37.
Dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n \) i dowolnych liczb rzeczywistych \( \displaystyle 0 < \varphi < 2\pi \) mamy następujące ograniczenie sum
\( \displaystyle \begin{align*} & |1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi| & \leq \frac{1}{|\sin\frac{\varphi}{2}|} \\ & | 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi| & \leq \frac{1}{|\sin\frac{\varphi}{2}|}.\end{align*} \)
Zauważmy, że wartość ułamka \( \displaystyle \frac{1}{|\sin\frac{\varphi}{2}|} \) nie zależy od liczby \( \displaystyle n \) składników wchodzących w skład powyższych sum cosinusów i sinusów, co stanowi istotę tego oszacowania. Wykorzystamy tę informację, badając zbieżność szeregów w ramach kolejnych modułów.
DEFINICJA 1.38.
Niech \( \displaystyle n\geq k \) będą dowolnymi nieujemnymi liczbami całkowitymi. Symbolem Newtona \( \displaystyle n \) po \( \displaystyle k \) nazywamy wyrażenie
\( \displaystyle {n \choose k} \ =\ \frac{n!}{(n-k)!k!}, \)
gdzie symbolem \( \displaystyle n! \) oznaczamy silnię liczby \( \displaystyle n \) określoną rekurencyjnie: \( \displaystyle 0!=1 \) oraz \( \displaystyle n!=(n-1)! \, n \) dla \( \displaystyle n\geq 1 \).
Przypomnijmy, że
a) Dla \( \displaystyle n=0, 1, 2, \ldots \) zachodzą równości: \( \displaystyle {n \choose 0}=1 \) oraz \( \displaystyle {n \choose 1}=n \).
b) Dla \( \displaystyle n>k \) zachodzi równość \( \displaystyle {n \choose k}+ {n \choose k+1}= {n+1 \choose k+1} \).
Równość ta pozwala na wyznaczać wartość \( \displaystyle {n \choose k} \) zgodnie z regułą nazywaną trójkątem Pascala:
\( \displaystyle {0 \choose 0}\)
\( \displaystyle {1 \choose 0}\quad {1 \choose 1} \)
\( \displaystyle {2 \choose 0}\quad {2 \choose 1}\quad {2 \choose 2} \)
\( \displaystyle {3 \choose 0}\quad {3 \choose 1}\quad {3 \choose 2}\quad {3 \choose 3} \)
\( \displaystyle {4 \choose 0}\quad {4 \choose 1}\quad {4 \choose 2}\quad {4 \choose 3}\quad {4 \choose 4} \)
\( \displaystyle {5 \choose 0}\quad {5 \choose 1}\quad {5 \choose 2}\quad {5 \choose 3}\quad {5 \choose 4}\quad {5 \choose 5} \)
\( \displaystyle {6 \choose 0}\quad {6 \choose 1}\quad {6 \choose 2}\quad {6 \choose 3}\quad {6 \choose 4}\quad {6 \choose 5} \quad {6 \choose 6} \)
\( \displaystyle {7 \choose 0}\quad {7 \choose 1}\quad {7 \choose 2}\quad {7 \choose 3}\quad {7 \choose 4}\quad {7 \choose 5}\quad {7 \choose 6}\quad {7 \choose 7} \)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mianowicie - zgodnie z równością \( \displaystyle {n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1} \) wartość symbolu Newtona \( \displaystyle {n+1 \choose k+1} \) jest sumą dwóch symboli \( \displaystyle {n \choose k} \) oraz \( \displaystyle {n \choose k+1} \), które znajdują się bezpośrednio nad symbolem \( \displaystyle {n+1 \choose k+1} \) w powyższym trójkącie. Reguła ta staje się bardziej czytelna, jeśli zastąpimy symbole \( \displaystyle {n \choose k} \) odpowiadającymi im liczbami naturalnymi. Tak jak to jest przedstawione na animacji obok.
Przypomnijmy, że symbole Newtona \( \displaystyle {n \choose k} \) stanowią współczynniki rozwinięcia wyrażenia \( \displaystyle (a+b)^n \) zgodnie ze wzorem dwumianowym Newtona.
Twierdzenie 1.40.
Dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n=1,2,3,\ldots \) i dowolnych liczb \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \) zachodzi równość
\( \displaystyle \begin{align*} (a+b)^n & =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k} \\ & =\binom{n}{0}a^{n}b^{0}+\binom{n}{1}a^{n-1}b^{1}+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\ldots +\binom{n}{n-1}a^{1}b^{n-1}\binom{n}{n}a^{0}b^{n}.\end{align*} \)
Zauważmy, że dla \( \displaystyle n=2,\ 3 \) wzór Newtona ma postać
\( \displaystyle \begin{align*} (a+b)^2 & =a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2 & =a^2-2ab+b^2 \\ (a+b)^3 & =a^3+3a^b+3ab^2+b^3 \\ (a-b)^3 & =a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\end{align*} \)
Wzory te pamiętamy ze szkoły pod nazwą wzorów skróconego mnożenia.
PRZYKŁAD 1.41.
Trójkąt Pascala możemy na przykład wykorzystać do efektywnego wyznaczenia rozwinięcia sumy
\( \displaystyle \begin{align*}(a+b)^7= & \sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}a^{7-k}b^k \\ = & \binom{7}{0}a^{7}b^0+\binom{7}{1}a^{7-1}b^1+\binom{7}{2}a^{7-2}b^2+\ldots +\binom{7}{6}a^{7-6}b^6+\binom{7}{7}a^{7-7}b^7 \\ = & a^7 +7a^6 b+21 a^5 b^2 +35 a^4 b^3 +35 a^3 b^4 +21a^2 b^5 +7 ab^6+b^7.\end{align*} \)
Niech \( \displaystyle f: X\mapsto Y \) będzie dowolną funkcją określoną na zbiorze \( \displaystyle X \) o wartościach w zbiorze \( \displaystyle Y. \) Przypomnijmy kilka pojęć z teorii mnogości.
DEFINICJA 1.42.
Funkcję \( \displaystyle f: X\mapsto Y \) nazywamy iniekcją zbioru \( \displaystyle X \) w zbiór \( \displaystyle Y \), jeśli jest różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów \( \displaystyle x,y\in X \) z równości \( \displaystyle f(x)=f(y) \) wynika, że \( \displaystyle x=y. \)
DEFINICJA 1.43.
Funkcję \( \displaystyle f: X\mapsto Y \) nazywamy suriekcją zbioru \( \displaystyle X \) na zbiór \( \displaystyle Y \), jeśli każdy element zbioru \( \displaystyle Y \) jest wartością funkcji \( \displaystyle f, \) to znaczy, że dla dowolnego elementu \( \displaystyle y\in Y \) istnieje element \( \displaystyle x\in X \) taki, że \( \displaystyle y=f(x). \)
DEFINICJA 1.44.
Funkcję \( \displaystyle f: X\mapsto Y \) nazywamy bijekcją zbioru \( \displaystyle X \) na zbiór \( \displaystyle Y \), jeśli jest iniekcją i suriekcją.
DEFINICJA 1.45.
Mówimy, że zbiory \( \displaystyle X, Y \) są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru \( \displaystyle X \) na zbiór \( \displaystyle Y \). Mówimy też wtedy, że zbiory \( \displaystyle X \), \( \displaystyle Y \) są tej samej mocy, co zapisujemy krótko \( \displaystyle \text{card}X=\text{card}Y \) lub \( \displaystyle \#X=\#Y \). Jeśli zbiór zawiera skończoną liczbę elementów równą \( \displaystyle n \) (innymi słowy: jeśli jest równoliczny ze zbiorem \( \displaystyle \{1, 2, 3, \ldots , n\} \)), to mówimy, że jest zbiorem mocy \( \displaystyle n \), co zapisujemy \( \displaystyle \text{card}A =n \) lub \( \displaystyle \# A =n \).
PRZYKŁAD 1.46.
a) Można wykazać, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych i ze zbiorem liczb wymiernych.
b) Również każdy nieskończony podzbiór zbioru liczb naturalnych (na przykład zbiór liczb parzystych, zbiór liczb nieparzystych, zbiór liczb pierwszych) jest równoliczny z całym zbiorem liczb naturalnych.
DEFINICJA 1.47.
Zbiór \( \displaystyle A \) równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiorem przeliczalnym. Mówimy też, że moc zbioru przeliczalnego \( \displaystyle A \) jest równa alef zero, co zapisujemy \( \displaystyle card\, A =\aleph_0 \) lub \( \displaystyle \# A =\aleph_0 \).
DEFINICJA 1.48.
Zbiór nieskończony, który nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, nazywamy zbiorem nieprzeliczalnym.
Twierdzenie 1.49. Zbiór liczb rzeczywistych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
PRZYKŁAD 1.50.
a) Jeśli \( \displaystyle a < b \) są dowolnymi elementami zbioru \( \displaystyle \overline{\mathbb{R}} \), to każdy z przedziałów \( \displaystyle [a,b],(a,b],[a,b),(a,b), \) jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
b) Co więcej, można również wykazać, że zbiór punktów płaszczyzny \( \displaystyle \mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R} \) jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
DEFINICJA 1.51.
Zbiór \( \displaystyle A \) równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiorem mocy continuum, co zapisujemy \( \displaystyle card\, A =c \) lub \( \displaystyle \# A =c. \)
PRZYKŁAD 1.52.
Niech
\( \displaystyle a \ =\ (0,a_1\ a_2\ a_3 \ \ldots)_3 \ =\ 0+\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{9}+\frac{a_3}{27}+\ldots, \)
gdzie \( \displaystyle a_i \in \{0, \ 1, \ 2 \} \), będzie ciągiem cyfr rozwinięcia w systemie trójkowym (tj. pozycyjnym systemie o podstawie 3) liczby z przedziału \( \displaystyle [0,1] \). Rozważmy kolejno zbiory
\( \begin{array}{rll} \displaystyle C_0 & = & [0,1] \\ C_1 & = & \{a\in C_0 : a_1 \neq 1\} \\ C_2 & = & \{a\in C_1 : a_2 \neq 1\} \\ C_3 & = & \{a\in C_2 : a_3 \neq 1\} \\ \vdots & = & \vdots \\ C_{n+1} & = & \{a\in C_n : a_{n+1} \neq 1\} \end{array} \)
i tak dalej. Zauważmy, że
\( \displaystyle C_1 \ =\ \bigg[\frac{0}{3},\frac{1}{3}\bigg]\cup\bigg[\frac{2}{3},\frac{3}{3}\bigg]\subset C_0 \)
to zbiór liczb z przedziału \( \displaystyle [0,1] \), które w rozwinięciu trójkowym nie mają cyfry 1 na pierwszym miejscu po przecinku, zaś
\( \displaystyle C_2 \ =\ \bigg[\frac{0}{9},\frac{1}{9}\bigg]\cup\bigg[\frac{2}{9},\frac{3}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{6}{9},\frac{7}{9}\bigg]\cup\bigg[\frac{8}{9},\frac{9}{9}\bigg]\subset C_1 \)
to zbiór liczb z przedziału \( \displaystyle [0,1] \), które w rozwinięciu trójkowym nie mają cyfry 1 ani na pierwszym, ani na drugim miejscu po przecinku, a ogólnie
\( \displaystyle C_{n} \ =\ \{a\in C_{n-1} : a_{n} \neq 1\} \ \subset\ C_{n-1},\quad n>1, \)
to zbiór liczb z przedziału \( \displaystyle [0,1] \), które w rozwinięciu trójkowym nie mają cyfry 1 po przecinku na żadnym z miejsc od pierwszego aż do \( \displaystyle n \)-tego włącznie.
Zauważmy, że liczbę \( \displaystyle \frac{1}{3} \) można zapisać w systemie trójkowym jako \( \displaystyle (0,10000\ldots )_{3} \) bądź też bez użycia cyfry \( \displaystyle 1 \) za pomocą trójkowego ułamka okresowego: \( \displaystyle (0,02222\ldots)_{3} \). Podobnie \( \displaystyle \frac{1}{9}=0,010000\ldots =(0,0022222\ldots)_{3} \). Stąd liczby \( \displaystyle \frac{1}{3} \), \( \displaystyle \frac{1}{9} \),... ., należą do zbiorów \( \displaystyle C_1, C_2,\ldots \), pomimo że ich ich zapis trójkowy zawiera cyfrę 1. Można je bowiem zapisać również nie używając jedynki.
Z definicji zbiorów \( \displaystyle C_i \) wynika, że
\( \displaystyle \ldots \subset C_{n+1}\subset C_{n}\subset \ldots \subset C_{2} \subset C_{1} \subset C_{0}. \)
Dowodzi się (zob. twierdzenie Cantora o zstępującym ciągu zbiorów domkniętych w przestrzeni zupełnej), że część wspólna \( \displaystyle C_0 \cap C_1 \cap C_2 \cap C_3 \cap \ldots \) nieskończenie wielu zbiorów \( \displaystyle C_n \) jest zbiorem niepustym. Zbiór ten zawiera tylko te liczby z przedziału \( \displaystyle [0,1] \), które można zapisać w systemie trójkowym bez użycia cyfry 1.
DEFINICJA 1.53.
Zbiór
\( \displaystyle C \ =\ \{a=(0, a_1\ a_2\ a_3 \ \ldots)_{3}=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{9}+\frac{a_3}{27}+\ldots , a_i\in \{0,2\} \} \)
tych liczb z przedziału \( \displaystyle [0,1] \), które w systemie trójkowym da się zapisać bez użycia cyfry 1, nazywamy trójkowym zbiorem Cantora.
Uwaga 1.54.
Zbiór Cantora jest równoliczny ze zbiorem wszystkich nieskończonych ciągów o wyrazach w zbiorze dwuwartościowym: \( \displaystyle \{ 0, 2\} \). Jest więc nieprzeliczalny.